27.1 反比例函数的概念（知识清单，知识点&6易错&6题型）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了反比例函数概念的知识体系。从反比例函数定义出发，明确其三种等价形式（分式、乘积、指数形式）及隐含条件，进而掌握用待定系数法求解析式的步骤，结合实际问题中的数量关系构建学习支架。 知识链路按定义理解、形式转换、解析式求解到实际应用的逻辑展开，每个知识点配有易错警示和方法技巧。通过多样题型（判断关系、求参数、解析式等），培养学生抽象能力（形式转换）、模型意识（实际问题建模）和运算能力（代入求k值），助力构建完整认知框架。

第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 🔷知识点一　反比例函数的定义 定义：一般地，形如的函数叫作反比例函数，其中是自变量，其取值范围是不等于的一切实数。 ⚠️特别提醒 反比例函数有三个非常重要的隐含条件： ①，如果不能满足这一点，则该函数就不是反比例函数； ②自变量，分母不能等于; ③函数值，因为分子中的不等于，所以函数值更不可能等于。 💡 拓展延伸 反比例函数一共有三种等价形式，要学会根据题目给出的条件灵活转换： ①分式形式：； ②乘积形式（该形式比较容易用于列方程）：； ③指数形式： 通过对以上三种形式的观察，不难发现与的乘积永远等于，只要能确定反比例函数经过的某个点坐标，就可以将其横纵坐标相乘求出。 📌 归纳总结 ①反比例函数定义：形如的函数，其中； ②反比例函数的三种形式：（ⅰ）分式形式：；（ⅱ）乘积形式：；（ⅲ）指数形式：； ③横纵坐标相乘得到反比例函数中的。 🔷知识点二　求反比例函数解析式 已知条件：函数图象上一个点坐标。 步骤：①假设反比例函数解析式为； ②将已知点坐标代入，求得； ③将求得的代回到假设的反比例函数解析式即可。 💡 拓展延伸 ①“反比例函数”与“反比例关系”不等价： 例：如果说“与成反比”，可写成；如果说“与成反比”，则需要将其假设为。 ②待定系数法的反向应用：已知与成反比例，且时，求时的值。可以先将相乘，求出之后，再代入。当然，也可以直接列如下式子：，求出。 📌 归纳总结 求反比例函数的解析步骤：①设解析式；②代点求；③代回整合。 易错点 1 忽略 · 错例：函数是反比例函数，直接说为任意实数； · 错因：只关注的指数为，忘了系数不能为 的本质； · 规避方法：反比例函数有两个基础条件：①指数为；②系数。列式时可以先写出“由题意得”。 易错点 2 忘记和 · 错例：求出的解析式为，直接写“取全体实数”； · 错因：受一次函数“的取值范围为全体实数”的影响，认为反比例函数的自变量取值范围也和一次函数一样； · 规避方法：求解析式后，在反比例函数解析式后面补上“”，形成条件反射。 易错点 3 代入坐标求时符号出错 · 错例：已知点，算成（忘了负负得正或写错符号）； · 错因：正负数乘法不熟练，或忽略“和异号时为负，同号时为正”的规律； · 规避方法：先看、是同号还是异号，预判的正负，再计算相乘。 易错点 4 混淆“成反比例”与“是反比例函数” · 错例：题中说“与成反比例”，仍假设； · 错因：对“谁与谁成比例”中的变量识别不清，只是会机械地套用模板； · 规避方法：强调“与谁成反比，谁就在分母位置”。与成反比。 易错点 5 待定系数法设解析式时漏写 · 错例：设，直接求，不加任何说明； · 错因：认为“反正求出来不会等于 ”，思维缺乏严谨性； · 规避方法：一定要求先写“设反比例函数解析式为”，再代入求解。 易错点 6 实际问题中忽略自变量取值范围 · 错例：矩形面积为定值，长与宽成反比，求解析式后不写； · 错因：建模后仍用纯数学视角，不代入实际背景； · 规避方法：列完解析式后，可以追问自己“在本题中能取负数（或根据题目条件也可以判断能否取大于某个正整数，亦或是分数之类）吗？能取 吗？”然后写下相应约束条件。 · 题型一：用反比例函数描述数量关系 📝方法技巧 判断两个变量是否成反比例关系，只需验证它们的乘积是否为定值。若 （ 为常数且 ），则称  与  成反比例关系。 方法步骤： ①从实际问题中提取两个变量； ②根据题意写出它们之间的数量关系式； ③判断该关系式是否符合  的形式（即乘积为定值）； ④若符合，则为反比例关系；若符合 ，则为正比例关系。 重点关注：注意区分“反比例关系”（乘积为定值）与“正比例关系”（比值为定值）。常见的反比例关系模型有如下：路程一定时，速度与时间成反比；面积一定时，长与宽成反比；体积一定时，底面积与高成反比。 1.（26-27九年级上·北京·课前预习）下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 2．（2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 3．（2026·河南·模拟预测）智能物联给我们的生活提供了诸多便利，如图甲是一个智能照明灯的工作原理图．工作电路中灯泡L的规格均为“”；控制电路中的电源电压大小可调，是光敏电阻，其阻值随光照强度（光照强度的单位为，光越强光照强度越大）变化的图像如乙图所示．当天色变暗，光敏电阻上的光照强度小于或等于时，工作电路启动，电灯L发光．电磁铁线圈的电阻忽略不计．电流（），电压（）和电阻（）之间的关系为，则以下说法错误的是（     ） A．当天色变暗，光敏电阻的阻值将变大 B．光照强度与光敏电阻的关系不是反比例关系 C．当工作电路启动，光敏电阻的阻值为 D．当天色逐渐变暗时，控制电路中的电流将增大 4．（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 5．（25-26八年级下·河南南阳·期中）三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B．C． D． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 8．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 9．（2023·四川乐山·中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则__________． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________． 题型二：根据定义判断是否是反比例函数 📝方法技巧 严格对照反比例函数的定义——形如 （ 为常数，）的函数称为反比例函数。判断时需要将表达式化为标准形式。 方法步骤： ①观察解析式是否为分式形式，且分母是否为关于  的一次单项式； ②将表达式整理为  或  的形式； ③确认 ； ④排除正比例函数（）、一次函数（，）、二次函数（）及其他非整式形式。 重点关注：反比例函数有三种等价形式——、、，因此有时候需要判断哪个是反比例函数的时候，不要只抓着这一种形式，还要思考一下是否会出现其它两种形式。此外，分母必须为  的一次单项式，不能是  或  等形式。 1．（23-24九年级上·河北邢台·期末）下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京·课前预习）下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·江苏扬州·阶段检测）下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·山东淄博·阶段检测）下列函数中，y不是x的反比例函数是（     ） A． B． C． D． 6．（2022九年级下·湖南益阳·专题练习）在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．（2026·山西大同·模拟预测）小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 9．（2023·福建·模拟预测）已知抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，那么下列说法一定正确的是（　　） A．若，则b有最小值 B．若，则b有最大值 C．对于任意，b的最值不变 D．若，则b是关于a的反比例函数 题型三：根据反比例函数的定义求参数 📝方法技巧 利用反比例函数定义的两个必要条件列方程（组）求参数： ①自变量  的指数为 （即次数为 ）； ②比例系数 （即  前的系数不为 0）。 方法步骤： ①若函数形式为 ，令指数 ，解得  的值； ②将求出的  代入系数 ，确保 ； ③两者都满足的值即为所求，若有多个值需逐一验证。 重点关注：两个条件缺一不可——指数为  是必要条件，系数不为 0 是保证反比例函数成立的大前提。不过比较容易出错的地方在于：求出多个参数值时，忘记验证系数是否为 0。 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 2．（21-22八年级下·山东泰安·期末）若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 3．（22-23九年级上·湖南湘潭·期中）若函数 是反比例函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·黑龙江绥化·期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 题型四：求反比例函数值 📝方法技巧 反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于 ，即 。已知横坐标求纵坐标时，只需将横坐标代入  即可。 方法步骤： ①确定反比例函数的解析式 （或已知  值）； ②将点的横坐标  代入解析式； ③计算对应的纵坐标 ； ④若判断点是否在图象上，则验证  是否成立。 重点关注：代入时注意 ；若  和  异号，则  为负值；若  和  同号，则  为正值；计算乘积时注意符号。如果需要判断点是否在图象上，验证点的横纵坐标的乘积是否等于 即可。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 题型五：由反比例函数值求自变量 📝方法技巧 已知反比例函数值  求自变量 ，本质是解方程 ，等价于 （）。 方法步骤： ①确定反比例函数解析式 ； ②将已知的  代入解析式； ③解方程 ，得 ； ④若题目要求判断点是否在图象上，则验证 。 重点关注：反比例函数中 ，所以  不能为 0；若  为负值，则  与  异号。该题型与“求函数值”互为逆运算，核心都是利用  这一乘积关系。 1．（2026·重庆·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 3．（2024·云南·模拟预测）点在反比例函数的图象上，则a的值是（    ） A．4 B． C． D．1 4．（2024·海南海口·二模）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（　　） A． B． C．3 D．4 5．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 题型六：求反比例函数解析式 📝方法技巧 利用待定系数法求反比例函数解析式。反比例函数  中只有一个待定系数 ，因此只需知道图象上一个点的坐标即可确定解析式。 方法步骤： ①设反比例函数解析式为 （）； ②将已知点的坐标  代入，得 ； ③将  值代回，写出解析式 。 特殊情形： · 若题目说“ 与  成反比例”，则应设 ； · 若题目说“ 与  成反比例”，则应设 ； · 若结合几何条件（如中点、矩形面积），则需要先利用几何知识求出点的坐标，再代入求 。 重点关注：设解析式时务必注明 ；“成反比例”与“是反比例函数”不完全等同，前者强调变量间的乘积关系，后者是具体函数形式；求出的解析式应标注自变量 。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 4．（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 5．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 6．（21-22九年级下·山西·阶段检测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 7．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 9．（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 10．（25-26九年级下·四川自贡·阶段检测）已知y与成反比例，且其函数图象经过点．求y与x的函数关系式； 11．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时， 求y的值． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 🔷知识点一　反比例函数的定义 定义：一般地，形如的函数叫作反比例函数，其中是自变量，其取值范围是不等于的一切实数。 ⚠️特别提醒 反比例函数有三个非常重要的隐含条件： ①，如果不能满足这一点，则该函数就不是反比例函数； ②自变量，分母不能等于; ③函数值，因为分子中的不等于，所以函数值更不可能等于。 💡 拓展延伸 反比例函数一共有三种等价形式，要学会根据题目给出的条件灵活转换： ①分式形式：； ②乘积形式（该形式比较容易用于列方程）：； ③指数形式： 通过对以上三种形式的观察，不难发现与的乘积永远等于，只要能确定反比例函数经过的某个点坐标，就可以将其横纵坐标相乘求出。 📌 归纳总结 ①反比例函数定义：形如的函数，其中； ②反比例函数的三种形式：（ⅰ）分式形式：；（ⅱ）乘积形式：；（ⅲ）指数形式：； ③横纵坐标相乘得到反比例函数中的。 🔷知识点二　求反比例函数解析式 已知条件：函数图象上一个点坐标。 步骤：①假设反比例函数解析式为； ②将已知点坐标代入，求得； ③将求得的代回到假设的反比例函数解析式即可。 💡 拓展延伸 ①“反比例函数”与“反比例关系”不等价： 例：如果说“与成反比”，可写成；如果说“与成反比”，则需要将其假设为。 ②待定系数法的反向应用：已知与成反比例，且时，求时的值。可以先将相乘，求出之后，再代入。当然，也可以直接列如下式子：，求出。 📌 归纳总结 求反比例函数的解析步骤：①设解析式；②代点求；③代回整合。 易错点 1 忽略 · 错例：函数是反比例函数，直接说为任意实数； · 错因：只关注的指数为，忘了系数不能为 的本质； · 规避方法：反比例函数有两个基础条件：①指数为；②系数。列式时可以先写出“由题意得”。 易错点 2 忘记和 · 错例：求出的解析式为，直接写“取全体实数”； · 错因：受一次函数“的取值范围为全体实数”的影响，认为反比例函数的自变量取值范围也和一次函数一样； · 规避方法：求解析式后，在反比例函数解析式后面补上“”，形成条件反射。 易错点 3 代入坐标求时符号出错 · 错例：已知点，算成（忘了负负得正或写错符号）； · 错因：正负数乘法不熟练，或忽略“和异号时为负，同号时为正”的规律； · 规避方法：先看、是同号还是异号，预判的正负，再计算相乘。 易错点 4 混淆“成反比例”与“是反比例函数” · 错例：题中说“与成反比例”，仍假设； · 错因：对“谁与谁成比例”中的变量识别不清，只是会机械地套用模板； · 规避方法：强调“与谁成反比，谁就在分母位置”。与成反比。 易错点 5 待定系数法设解析式时漏写 · 错例：设，直接求，不加任何说明； · 错因：认为“反正求出来不会等于 ”，思维缺乏严谨性； · 规避方法：一定要求先写“设反比例函数解析式为”，再代入求解。 易错点 6 实际问题中忽略自变量取值范围 · 错例：矩形面积为定值，长与宽成反比，求解析式后不写； · 错因：建模后仍用纯数学视角，不代入实际背景； · 规避方法：列完解析式后，可以追问自己“在本题中能取负数（或根据题目条件也可以判断能否取大于某个正整数，亦或是分数之类）吗？能取 吗？”然后写下相应约束条件。 · 题型一：用反比例函数描述数量关系 📝方法技巧 判断两个变量是否成反比例关系，只需验证它们的乘积是否为定值。若 （ 为常数且 ），则称  与  成反比例关系。 方法步骤： ①从实际问题中提取两个变量； ②根据题意写出它们之间的数量关系式； ③判断该关系式是否符合  的形式（即乘积为定值）； ④若符合，则为反比例关系；若符合 ，则为正比例关系。 重点关注：注意区分“反比例关系”（乘积为定值）与“正比例关系”（比值为定值）。常见的反比例关系模型有如下：路程一定时，速度与时间成反比；面积一定时，长与宽成反比；体积一定时，底面积与高成反比。 1.（26-27九年级上·北京·课前预习）下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 2．（2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 3．（2026·河南·模拟预测）智能物联给我们的生活提供了诸多便利，如图甲是一个智能照明灯的工作原理图．工作电路中灯泡L的规格均为“”；控制电路中的电源电压大小可调，是光敏电阻，其阻值随光照强度（光照强度的单位为，光越强光照强度越大）变化的图像如乙图所示．当天色变暗，光敏电阻上的光照强度小于或等于时，工作电路启动，电灯L发光．电磁铁线圈的电阻忽略不计．电流（），电压（）和电阻（）之间的关系为，则以下说法错误的是（     ） A．当天色变暗，光敏电阻的阻值将变大 B．光照强度与光敏电阻的关系不是反比例关系 C．当工作电路启动，光敏电阻的阻值为 D．当天色逐渐变暗时，控制电路中的电流将增大 【答案】D 【详解】A：当天色变暗，光照强度减小，此时电阻变大，故A说法正确，不符合题意； B：当光照强度为时，电阻为，当光照强度为时，电阻为，，因此光照强度与光敏电阻的关系不是反比例关系，故B说法正确，不符合题意； C：当光照强度为时，电阻为，故C说法正确，不符合题意； D：光照强度降低时，电阻变大，因此在中，会变小，故D说法错误，符合题意． 4．（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 5．（25-26八年级下·河南南阳·期中）三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】先根据面积公式推导出函数关系式，再结合边长和高都是正数确定函数图像所在的象限． 【详解】解：根据题意可知，，即， 可知函数图像为位于第一象限的反比例函数． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．正确求出反比例函数解析式是解题关键． 根据糖果的总数不变来列式． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 8．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 9．（2023·四川乐山·中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则__________． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案； （2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围． 【详解】解：（1）若是“和谐点”，则， 则， ∴， 即，解得（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为： （2）设点为双曲线上的“和谐点”， ∴，， 即， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，且， 对抛物线来说， ∵， ∴开口向下， 当时，， 当时，， ∵对称轴为，， ∴当时，k取最大值为4， ∴k的取值范围为， 故答案为： 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键． 题型二：根据定义判断是否是反比例函数 📝方法技巧 严格对照反比例函数的定义——形如 （ 为常数，）的函数称为反比例函数。判断时需要将表达式化为标准形式。 方法步骤： ①观察解析式是否为分式形式，且分母是否为关于  的一次单项式； ②将表达式整理为  或  的形式； ③确认 ； ④排除正比例函数（）、一次函数（，）、二次函数（）及其他非整式形式。 重点关注：反比例函数有三种等价形式——、、，因此有时候需要判断哪个是反比例函数的时候，不要只抓着这一种形式，还要思考一下是否会出现其它两种形式。此外，分母必须为  的一次单项式，不能是  或  等形式。 1．（23-24九年级上·河北邢台·期末）下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数形如（为常数，）． 【详解】解： A、为正比例函数，不符合题意； B、符合该形式，且，符合题意； C、是二次函数，不符合题意； D、为一次函数，不符合题意． 2．（26-27九年级上·北京·课前预习）下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、分母为，不是反比例函数； B、分母为，不是反比例函数； C、符合反比例函数定义，是反比例函数； D、分母是常量，不是反比例函数． 3．（21-22八年级下·江苏扬州·阶段检测）下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过判断与的乘积是否为非零常数，快速验证反比例函数． 【详解】解：A，由得，与的乘积不是定值，不符合； B，由得，是正比例函数，不符合； C，由得，与的乘积不是定值，不符合； D，，即与的乘积为非零定值，符合反比例函数形式． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 5．（23-24九年级上·山东淄博·阶段检测）下列函数中，y不是x的反比例函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的一般形式，据此逐项判断即可． 【详解】解∶A． 是正比例函数，不符合反比例函数的定义，y不是x的反比例函数； B．，符合的形式，是x的反比例函数； C．，符合反比例函数的定义，是x的反比例函数； D．，符合的形式，是x的反比例函数． 6．（2022九年级下·湖南益阳·专题练习）在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 7．（2026·山西大同·模拟预测）小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 8．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 【答案】D 【分析】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵的半径为，正方形的边长为， ∴与正方形的周长之和为， 与正方形的面积之积为， 阴影部分的面积为， ∴，，， ∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意， 若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意 S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意． 9．（2023·福建·模拟预测）已知抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，那么下列说法一定正确的是（　　） A．若，则b有最小值 B．若，则b有最大值 C．对于任意，b的最值不变 D．若，则b是关于a的反比例函数 【答案】C 【分析】先根据抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点，得到，当时，可推出，当，，由此即可确定b的最值为定值1；当时，可得，即是关于a的反比例函数． 【详解】解：联立得， ∴， ∵抛物线与不和y轴平行的直线只有一个交点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴ ∴，则b有最大值，故A不符合题意； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，则b有最小值，故B不符合题意； 综上所述，当时， b有最大值1；当时，b有最小值1； ∴对于任意，b的最值不变，都为1，故C符合题意； 当时，， ∴ ∴是关于a的反比例函数，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，反比例函数的定义，正确推出是解题的关键． 题型三：根据反比例函数的定义求参数 📝方法技巧 利用反比例函数定义的两个必要条件列方程（组）求参数： ①自变量  的指数为 （即次数为 ）； ②比例系数 （即  前的系数不为 0）。 方法步骤： ①若函数形式为 ，令指数 ，解得  的值； ②将求出的  代入系数 ，确保 ； ③两者都满足的值即为所求，若有多个值需逐一验证。 重点关注：两个条件缺一不可——指数为  是必要条件，系数不为 0 是保证反比例函数成立的大前提。不过比较容易出错的地方在于：求出多个参数值时，忘记验证系数是否为 0。 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 2．（21-22八年级下·山东泰安·期末）若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 3．（22-23九年级上·湖南湘潭·期中）若函数 是反比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义解答． 【详解】解：函数是反比例函数， 且， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键． 4．（21-22九年级上·黑龙江绥化·期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故选B． 5．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据定义，得到，且，计算即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴，且， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义的基本条件是解题的关键． 题型四：求反比例函数值 📝方法技巧 反比例函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于 ，即 。已知横坐标求纵坐标时，只需将横坐标代入  即可。 方法步骤： ①确定反比例函数的解析式 （或已知  值）； ②将点的横坐标  代入解析式； ③计算对应的纵坐标 ； ④若判断点是否在图象上，则验证  是否成立。 重点关注：代入时注意 ；若  和  异号，则  为负值；若  和  同号，则  为正值；计算乘积时注意符号。如果需要判断点是否在图象上，验证点的横纵坐标的乘积是否等于 即可。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将四个点的坐标代入关系式，并根据计算结果判断即可． 【详解】解：当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点，满足横纵坐标的乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项． 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 对图象上任意一点，都满足． A、，不满足，故此选项不符合题意； B、，不满足，故此选项不符合题意； C、，不满足，故此选项不符合题意； D、，满足条件，故此选项符合题意． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，横纵坐标的乘积为的点才在该反比例函数的图象上，且横坐标不为0，据此逐个验证选项即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数图象上的任意点满足，且． A选项：，满足条件，点在图象上． B选项：，满足条件，点在图象上． C选项：，满足条件，点在图象上． D选项：，此时函数无意义，且，不满足条件，点不在图象上． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的坐标特征，双曲线上任意一点的横纵坐标乘积满足，计算各选项点的横纵坐标乘积，找出乘积不等于的点即可． 【详解】∵ ， ∴ 双曲线上的点一定满足。 A. ，因此该点不在双曲线上，符合要求； B. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； C. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； D. ，因此该点在双曲线上，不符合要求． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】图象上的点一定满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点 ∴ 将代入函数解析式得 题型五：由反比例函数值求自变量 📝方法技巧 已知反比例函数值  求自变量 ，本质是解方程 ，等价于 （）。 方法步骤： ①确定反比例函数解析式 ； ②将已知的  代入解析式； ③解方程 ，得 ； ④若题目要求判断点是否在图象上，则验证 。 重点关注：反比例函数中 ，所以  不能为 0；若  为负值，则  与  异号。该题型与“求函数值”互为逆运算，核心都是利用  这一乘积关系。 1．（2026·重庆·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质．将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可． 【详解】解：将代入得： 解得：， 故选：B． 3．（2024·云南·模拟预测）点在反比例函数的图象上，则a的值是（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象上的点需满足函数解析式的特征，要求的值，只需将点坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】解： 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 4．（2024·海南海口·二模）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数的性质，将点代入函数求解即可．解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征． 【详解】解：将点代入函数得，， ∴； 故选：B． 5．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 题型六：求反比例函数解析式 📝方法技巧 利用待定系数法求反比例函数解析式。反比例函数  中只有一个待定系数 ，因此只需知道图象上一个点的坐标即可确定解析式。 方法步骤： ①设反比例函数解析式为 （）； ②将已知点的坐标  代入，得 ； ③将  值代回，写出解析式 。 特殊情形： · 若题目说“ 与  成反比例”，则应设 ； · 若题目说“ 与  成反比例”，则应设 ； · 若结合几何条件（如中点、矩形面积），则需要先利用几何知识求出点的坐标，再代入求 。 重点关注：设解析式时务必注明 ；“成反比例”与“是反比例函数”不完全等同，前者强调变量间的乘积关系，后者是具体函数形式；求出的解析式应标注自变量 。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将点代入，得，解得． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵点、， ∴的中点坐标为：， 反比例函数的图象经过的中点，可得， ． 4．（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数一般式，求出系数k即可得到函数表达式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 5．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设点C的坐标为，可得，再由，可得，从而得到，从而得到点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 6．（21-22九年级下·山西·阶段检测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先求出C，B坐标，从而求出OC，OB长度，由得，据此可求A点横坐标，代入即可求出A点纵坐标，将A点坐标代入即可得到k的值． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得． 7．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 8．（2026·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 9．（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 10．（25-26九年级下·四川自贡·阶段检测）已知y与成反比例，且其函数图象经过点．求y与x的函数关系式； 【答案】 【分析】先根据反比例关系设出函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式，求出待定系数，进而得到与的函数关系式． 【详解】解：y与成反比例， ∴设， ∵函数图象经过点， ∴， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 11．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时， 求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数关系，待定系数法求函数解析式．函数值，掌握反比例函数关系列式的方法，待定系数法求函数解析式方法．会求函数值是解题关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）把代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【详解】（1）解：设，依题意得 ，解得． （2）解：当时， 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $