2.3.1直线的交点坐标与距离公式（知识清单，知识点+四大易错点+十五大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3 （一）直线的交点坐标与距离公式 内容概览 1 🔷知识点一　两条直线的交点坐标 2 🔷知识点二　两点间的距离 2 🔷知识点三　点到直线的距离 3 🔷知识点四　两平行直线间的距离 3 3 易错点1：两条直线位置关系判断，混淆平行与重合 3 易错点2：两点间距离公式代入坐标出错 4 易错点3：点到直线距离公式使用条件忽略 5 易错点4：两平行直线距离忘记统一系数 6 7 题型1：求直线交点坐标 7 题型2：由方程组的解的个数判断直线位置关系 8 题型3：由直线交点的个数求参数 12 题型4：由直线的交点坐标求参数 14 题型5： 三线能围成三角形的问题 16 题型6：经过两直线交点的直线方程和直线交点系方程 18 题型7：求两点间的距离 20 题型8：由顶点坐标判断三角形的形状 22 题型9：根据两点间的距离求参数 26 题型10：求点到直线的距离  28 题型11：已知点到直线距离求参数 29 题型12：求到两点距离相等的直线方程 32 题型13：直线围成图形的面积问题 35 题型14：求平行线间的距离 38 题型15：平行线间的距离求其他 41 🔷知识点一　两条直线的交点坐标 1. 两直线的交点 设两条直线的方程分别为，. 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解;反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线和直线的交点. 2. 方程组解的个数、直线公共点和直线位置关系的辨析 设两条直线的方程分别为， 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 一个 无数个 零个 直线的位置关系 相交 重合 平行 3. 相交直线系 若直线、直线的交点，则过的直线（除外）的方程可设为（）. ⚠️特别提醒 · 与相交时，两直线斜率都存在且不相等或. · 当时，两直线平行或重合. 🔷知识点二　两点间的距离 1. 公式：点，间的距离公式. 2. 文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. ⚠ 特别提醒 · 公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：. · 两点间距离的特殊情形： 当轴时，; 当轴时，; 原点O到任意一点的距离为. 🔷知识点三　点到直线的距离 1. 概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． 2. 公式：点到直线的距离． ⚠ 特别提醒 · 直线方程必须为一般式. · 点到直线的距离是直线外一点与直线上的点的距离的最小值(这是从运动的观点来看的). · 点到直线的距离公式适用于任何情况，当点P在直线l上时，它到直线l的距离为0. · 点到几种特殊直线的距离: (1) 点P到x轴的距离 (2) 点P到y轴的距离 (3) 点P到直线y=a的距离 (4) 点P到直线x=b的距离 🔷知识点四　两平行直线间的距离 1. 概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2. 公式：两条平行直线与之间的距离． ⚠ 特别提醒 · 在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． · 平行线距离公式本质：在其中一条直线上任取一点，求这个点到另一条直线的距离． 易错点1：两条直线位置关系判断，混淆平行与重合 【易错点】 判断两直线位置关系时，只比较系数比例，忽略对常数项的验证，导致平行与重合混淆． 【易错消除】 已知 若，再看是否为零：不为零则平行，为零则重合． 【易错例题】（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 易错点2：两点间距离公式代入坐标出错 【易错点】 代入两点间距离公式时，坐标顺序、符号处理或对应关系容易出错． 【易错消除】 已知，则．代入时先标序号，再严格对应横、纵坐标. 【易错例题】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设 ，由直线的斜率与直线的斜率的差是2，得到点 M 的轨迹方程， ；由，化简得到， 利用换元法令 ，求解得到. 【详解】设 ， 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2， 所以， 化简得到点 M 的轨迹方程， ， 由，将代入得到 ， 令得到且， 所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴 当时，，所以. 故选：A. 易错点3：点到直线距离公式使用条件忽略 【易错点】 1. 使用点到直线距离公式时，忽略直线必须为一般式这一前提. 2. 根据距离公式求参数时容易遗漏绝对值. 【易错消除】 1. 到直线的距离公式为，使用前先将直线化为一般式. 2. 解方程时注意去绝对值，得到两个可能的参数值. 【易错例题】（26-27高三上·浙江·阶段检测）写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 【答案】或(答案不唯一) 【分析】利用点到线的距离公式求解即可. 【详解】将直线方程化成一般式，得， 设点到直线的距离为1， 则有， 即有， 解得或， 所以所求点的坐标为或. 易错点4：两平行直线距离忘记统一系数 【易错点】 使用两平行线距离公式时，忽略两方程中 x、y 的系数必须分别相等这一前提. 【易错消除】 已知，则 ，若系数不同，先同乘系数统一，再代入公式. 【易错例题】（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 题型1：求直线交点坐标 方法技巧 联立两条直线的方程组成方程组，解出 x和 y 的值，即为交点坐标: 1. 优先使用代入消元法或加减消元法. 2. 若方程组无解，则两直线平行；若有无数组解，则两直线重合. 【例题1.1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 【例题1.2】（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 【变式1.1】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据垂直关系求出直线的斜率，然后写出其方程，联立求解即可. 【详解】因为直线的斜率为，且与直线垂直，所以直线的斜率， 又，所以直线的方程为， 联立解得，即点的坐标为. 故答案为： 【变式1.2】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知直线m的方程为，直线n的方程为，则（   ） A．m，n的交点为 B．n在y轴上的截距为 C．m的斜率为 D．m，n与x轴围成的三角形是锐角三角形 【答案】ACD 【分析】联立直线方程求得交点坐标判断A；将直线n的方程化为斜截式方程即可求得纵截距判断B；将直线m的方程化为斜截式方程即可求得斜率判断C；根据直线的斜率和两角差的正切公式判断三角形的各个角都为锐角，可得三角形形状判断D. 【详解】由，两式联立，解得，即m，n的交点为，故A正确； 直线n的方程可化为，所以直线n在y轴上的截距为3，B错误； 直线m的方程可化为，所以直线m的斜率为，C正确； 设直线m，n的倾斜角分别为，，则，，为锐角，为钝角. 设，直线m与x轴的交点为M，直线n与x轴的交点为N， 在中，是锐角，是锐角，， 而，所以是锐角，是锐角三角形，D正确. 故选：ACD. 题型2：由方程组的解的个数判断直线位置关系 方法技巧 直线方程形式的选择方法: 1. 唯一解 ⇔ 两直线相交. 2. 无解 ⇔ 两直线平行. 3. 无数解 ⇔ 两直线重合. 4. 对于一般式方程（全部不为0），也可用系数比例关系快速判断： 为相交；为平行；为重合. 【例题2.1】（高二数学单元速记）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 【例题2.2】（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【分析】计算，进而可得，由两直线相交即可求解. 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD 【变式2.1】（23-24高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 【变式2.2】（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误. 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 题型3：由直线交点的个数求参数 方法技巧 已知将交点个数问题转化为方程组解的个数问题，建立关于参数的方程或不等式： 1. 若已知两直线相交（1个交点），则系数满足 ． 2. 若已知两直线平行（0个交点），则系数满足． 3. 若已知两直线重合（无数个交点），则系数满足． 4. 注意含参问题中参数导致斜率不存在的情况． 【例题3.1】（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 【例题3.2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 【变式3.1】（24-25高三上·上海·阶段检测）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 【变式3.2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）（多选）若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】BC 【分析】由题意，直线不过另外两条直线的交点，且与它们不平行，列出不等式即可得解. 【详解】联立直线方程，即直线的交点为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 所以不过，且与都不平行， 即，所以，满足的条件为且且. 故选：BC. 题型4：由直线的交点坐标求参数 方法技巧 将已知的交点坐标代入两条直线的方程中，得到关于参数的方程组，解方程组即可： 1. 代入后往往得到二元一次方程组，利用消元法求解． 2. 解出参数后，务必代回原方程验证是否仍然构成直线（避免系数同时为0）． 【例题4.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两直线垂直的充要条件求出，进而求出垂足的坐标，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 【例题4.2】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【变式4.1】（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 【变式4.2】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 题型5： 三线能围成三角形的问题 方法技巧 三条直线能围成三角形，需要满足：任意两条直线相交（不平行），且三条直线不共点： 1. 先求出其中两条直线的交点，代入第三条直线，若满足则三线共点，不能围成三角形. 2. 再验证任意两条直线不平行（即斜率不相等或系数比例不满足平行条件）. 3. 注意分类讨论，防止漏掉斜率不存在的情况. 【例题5.1】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 【例题5.2】（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 【变式5.1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成三角形的的值． 【详解】①当三条直线交于一点时不能围成三角形，由，得到交点坐标为，由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时，不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时，不能围成三角形，则且，解得. 故选：AD. 【变式5.2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 题型6：经过两直线交点的直线方程和直线交点系方程 方法技巧 利用“直线系方程”可以避免求交点坐标： 1. 过两直线交点的直线系方程可设为：. 2. 根据题目其他条件（如过某点、斜率已知等）确定参数 λ，即可快速求出方程. 3. 注意验证是否也满足条件，若满足需单独补充. 不利用“直线系方程”时： 1. 求交点坐标. 2. 根据题目其他条件（如过某点、斜率已知等）选择不同的方程形式求直线方程. 【例题6.1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 【例题6.2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程. 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 【变式6.1】（24-25高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 【变式6.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. （2）直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 题型7：求两点间的距离 方法技巧 已知两点，则 ： 1. 当两点横坐标相同时，距离简化为 ；纵坐标相同时，距离简化为． 2. 常用于求线段长度、判断三角形形状、求最值等问题． 【例题7.1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 【例题7.2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 【变式7.1】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 【变式7.2】（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 题型8：由顶点坐标判断三角形的形状 方法技巧 利用两点间距离公式求出三边长，再结合勾股定理、边的关系或正余弦定理判断： 1. 若 ，则为直角三角形． 2. 若 a=b或 b=c或 a=c，则为等腰三角形． 3. 若 a=b=c，则为等边三角形． 4. 也可结合斜率判断是否有垂直或平行关系． 【例题8.1】（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 【例题8.2】（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【分析】（1）由平行关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）法一：由斜率关系即可求证；法二：由勾股定义即可求解. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 【变式8.1】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 【变式8.2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) 证明：设点，由点，得，消去得， 所以点在定直线上，直线的方程为. (2)或或. 【分析】（1）利用坐标代换法求出方程即可得证. （2）求出过点与直线垂直的直线方程及垂足的坐标，再按直角顶点情况分类求解. 【详解】（1）略 （2）当为等腰的直角顶点时，，设， 直线的方程为，则，解得，于是； 由，解得或，则点或； 当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点， 因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点， 所以点的坐标是或或. 题型9：根据求参数 方法技巧 利用两点间距离公式，代入已知条件建立方程： 1. 解方程时注意平方后可能产生增根，需代回原式检验． 2. 若涉及参数在根号内，注意范围限制． 【例题9.1】（2.1坐标法——课后作业（基础版））（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为且，所以， 解得 故选：CD 【例题9.2】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【分析】通过两点距离公式联立求解即可. 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . 【变式9.1】（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 【变式9.2】（模块十最后第1节课创新题型荟萃）写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标______. ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 【答案】（答案不唯一，或任写一个即可） 【分析】设该点为，由已知条件根据两点距离公式列式并化简计算得，再由，，从而得答案. 【详解】设该点为，则， 即， 即，即 且，化简计算得. 又，，所以该点为或. 故答案为：（答案不唯一，或任写一个即可） 题型10：求点到直线的距离  方法技巧 点到直线的距离公式为： 1. 使用前必须将直线方程化为一般式． 2. 注意分子加绝对值，确保距离非负． 3. 若直线垂直于 x 轴（B=0），公式依然适用，无需单独讨论． 【例题10.1】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点到直线的距离为. 【例题10.2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知点，．点在轴上，且，求的面积． 【答案】 【详解】，设的中点坐标为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即． 令，则，即P点的坐标为，所以， 点P到AB的距离为．因为，所以， 所以． 【变式10.1】（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【答案】 【详解】点到直线的距离是. 【变式10.2】（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 题型11：已知点到直线距离求参数 方法技巧 将已知点和距离代入点到直线的距离公式，得到关于参数的方程： 1. 解方程时注意去绝对值，得到两个可能的参数值． 2. 最后必须检验参数是否使直线方程有意义（A、B不同时为0）． 【例题11.1】（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 【例题11.2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，利用点到直线的距离公式即可求解； （2）分过原点和不过原点两种情况讨论，当不过原点时，设的方程为：，代入点解出即可求解. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时到直线的距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 所以，，此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或； （2）当过原点时，满足题意，可求出的方程为：，即. 当不过原点时，设的方程为：，把代入， 则有，，，此时的方程为：. 综上，直线的方程为：或. 【变式11.1】（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 【变式11.2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)，最大距离为 (3)不存在 【分析】（1）根据条件设出方程，再根据点到直线的距离公式，求出参数． （2）过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由此求出直线斜率和方程，再由点到直线的距离公式求出最大距离； （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，由此可得出结论. 【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或． （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为． （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线． 题型12：求到两点距离相等的直线方程 方法技巧 平面内不经过这两点、到两点距离相等的直线分两种情况：平行于两点连线，或经过两点连线的中点： 1. 先求两点连线的斜率 k和中点坐标． 2. 若直线平行于两点连线，则斜率也为 k，用点斜式求方程． 3. 若直线经过中点，则需结合其他条件（如斜率是否存在）分类讨论． 【例题12.1】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 【例题12.2】（25-26高二上·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两条直线垂直的斜率关系，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）点和到直线距离相等，分两种情况：①直线，②直线过中点，分别求出直线方程即可. 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为．因为，所以直线的斜率为． 因为直线过点，所以直线的方程为， 即． （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线，因为直线斜率， 故直线方程为，即． ②直线过中点．中点为，又直线经过点， 所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 【变式12.1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 【变式12.2】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求直线与边所在的直线平行或过边的中点的直线方程即可. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 题型13：直线围成图形的面积问题 方法技巧 先求出直线与坐标轴或与其他直线的交点，再根据图形形状计算面积： 1. 三角形面积可用 ． 2. 多边形可以分割成多个三角形计算． 3. 注意交点坐标的符号，面积取绝对值． 【例题13.1】（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________． 【答案】6 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且， 则由题意可知，点关于点的对称点在上, 可得，解得， 即，则，且直线， 联立的方程得，解得，即的交点坐标为， 则点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：6． 【例题13.2】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（多选）已知曲线C：，则（   ） A．不经过第一、四象限 B．关于直线对称 C．直线与有两个交点 D．与直线围成一个面积为4的三角形 【答案】AD 【分析】根据绝对值的含义得即可判断A；去掉绝对值画出曲线图象即可判断B；解方程判断交点个数即可判断C；求出交点坐标，利用几何法求面积判断D. 【详解】由，得，所以，所以曲线不经过第一、四象限，故A正确； 当时，的方程为，当时，的方程为， 作出曲线C的图象，如图， 可知关于直线对称，不关于直线对称，故B错误； 由及得，所以或， 故方程组无解，所以直线与没有交点，故C错误； 把代入得或， 如图，与直线围成以，，为顶点的三角形， 其面积为，故D正确． 故选：AD 【变式13.1】（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 【变式13.2】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1) 直线的方程可以改写为， 令，所以直线过定点， 因为在第一象限，所以不论为何值，直线总经过第一象限； (2) 【分析】（1）求得直线恒过定点，即可得证； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，， 令，得；令，得， 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 题型14：求平行线间的距离 方法技巧 两条平行线的距离公式为： 1. 使用前必须确保两条直线的 A、B 系数完全相同（即方程已化为同系数形式）． 2. 若系数不同，先化为相同系数再代入公式． 【例题14.1】（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 【例题14.2】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【答案】AD 【分析】对于A，直接代入可得定点坐标；对于B，根据两直线垂直列出方程即可求出；对于C，先根据两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式即可求解；对于D，根据满足条件的直线是两条角平分线即可判断． 【详解】对于A，将代入的方程，解得， 所以恒过定点，故A正确； 对于B，由得，解得，故B错误； 对于C，由得，解得，此时 所以与的距离，故C错误； 对于D，如图所示，设分别是直线上的一点， 则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确． 【变式14.1】（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 【变式14.2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 题型15：平行线间的距离求其他 方法技巧 利用平行线间距离公式，结合题目条件求参数、求直线方程或求最值： 1. 若已知平行线间的距离，可建立关于参数的方程． 2. 求最值时，常结合几何意义（如点到直线距离）转化为函数问题． 3. 注意验证所求结果是否满足两直线平行的前提条件（A、B 系数相同且 ）． 【例题15.1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 【答案】D 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 【例题15.2】（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 【变式15.1】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 【答案】D 【分析】根据平行线间的距离公式即可求解. 【详解】解：直线可化为， 因为直线与直线间的距离为1， 所以，解得或. 故选：D 【变式15.2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.3 （一）直线的交点坐标与距离公式 内容概览 1 🔷知识点一　两条直线的交点坐标 2 🔷知识点二　两点间的距离 2 🔷知识点三　点到直线的距离 3 🔷知识点四　两平行直线间的距离 3 3 易错点1：两条直线位置关系判断，混淆平行与重合 3 易错点2：两点间距离公式代入坐标出错 4 易错点3：点到直线距离公式使用条件忽略 4 易错点4：两平行直线距离忘记统一系数 4 5 题型1：求直线交点坐标 5 题型2：由方程组的解的个数判断直线位置关系 5 题型3：由直线交点的个数求参数 7 题型4：由直线的交点坐标求参数 7 题型5： 三线能围成三角形的问题 8 题型6：经过两直线交点的直线方程和直线交点系方程 9 题型7：求两点间的距离 10 题型8：由顶点坐标判断三角形的形状 10 题型9：根据两点间的距离求参数 11 题型10：求点到直线的距离  12 题型11：已知点到直线距离求参数 12 题型12：求到两点距离相等的直线方程 13 题型13：直线围成图形的面积问题 13 题型14：求平行线间的距离 14 题型15：平行线间的距离求其他 15 🔷知识点一　两条直线的交点坐标 1. 两直线的交点 设两条直线的方程分别为，. 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解;反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线和直线的交点. 2. 方程组解的个数、直线公共点和直线位置关系的辨析 设两条直线的方程分别为， 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 一个 无数个 零个 直线的位置关系 相交 重合 平行 3. 相交直线系 若直线、直线的交点，则过的直线（除外）的方程可设为（）. ⚠️特别提醒 · 与相交时，两直线斜率都存在且不相等或. · 当时，两直线平行或重合. 🔷知识点二　两点间的距离 1. 公式：点，间的距离公式. 2. 文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. ⚠ 特别提醒 · 公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：. · 两点间距离的特殊情形： 当轴时，; 当轴时，; 原点O到任意一点的距离为. 🔷知识点三　点到直线的距离 1. 概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． 2. 公式：点到直线的距离． ⚠ 特别提醒 · 直线方程必须为一般式. · 点到直线的距离是直线外一点与直线上的点的距离的最小值(这是从运动的观点来看的). · 点到直线的距离公式适用于任何情况，当点P在直线l上时，它到直线l的距离为0. · 点到几种特殊直线的距离: (1) 点P到x轴的距离 (2) 点P到y轴的距离 (3) 点P到直线y=a的距离 (4) 点P到直线x=b的距离 🔷知识点四　两平行直线间的距离 1. 概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2. 公式：两条平行直线与之间的距离． ⚠ 特别提醒 · 在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． · 平行线距离公式本质：在其中一条直线上任取一点，求这个点到另一条直线的距离． 易错点1：两条直线位置关系判断，混淆平行与重合 【易错点】 判断两直线位置关系时，只比较系数比例，忽略对常数项的验证，导致平行与重合混淆． 【易错消除】 已知 若，再看是否为零：不为零则平行，为零则重合． 【易错例题】（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 易错点2：两点间距离公式代入坐标出错 【易错点】 代入两点间距离公式时，坐标顺序、符号处理或对应关系容易出错． 【易错消除】 已知，则．代入时先标序号，再严格对应横、纵坐标. 【易错例题】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 易错点3：点到直线距离公式使用条件忽略 【易错点】 1. 使用点到直线距离公式时，忽略直线必须为一般式这一前提. 2. 根据距离公式求参数时容易遗漏绝对值. 【易错消除】 1. 到直线的距离公式为，使用前先将直线化为一般式. 2. 解方程时注意去绝对值，得到两个可能的参数值. 【易错例题】（26-27高三上·浙江·阶段检测）写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 易错点4：两平行直线距离忘记统一系数 【易错点】 使用两平行线距离公式时，忽略两方程中 x、y 的系数必须分别相等这一前提. 【易错消除】 已知，则 ，若系数不同，先同乘系数统一，再代入公式. 【易错例题】（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 题型1：求直线交点坐标 方法技巧 联立两条直线的方程组成方程组，解出 x和 y 的值，即为交点坐标: 1. 优先使用代入消元法或加减消元法. 2. 若方程组无解，则两直线平行；若有无数组解，则两直线重合. 【例题1.1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【例题1.2】（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标为________． 【变式1.2】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知直线m的方程为，直线n的方程为，则（   ） A．m，n的交点为 B．n在y轴上的截距为 C．m的斜率为 D．m，n与x轴围成的三角形是锐角三角形 题型2：由方程组的解的个数判断直线位置关系 方法技巧 直线方程形式的选择方法: 1. 唯一解 ⇔ 两直线相交. 2. 无解 ⇔ 两直线平行. 3. 无数解 ⇔ 两直线重合. 4. 对于一般式方程（全部不为0），也可用系数比例关系快速判断： 为相交；为平行；为重合. 【例题2.1】（高二数学单元速记）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【例题2.2】（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【变式2.1】（23-24高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【变式2.2】（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 题型3：由直线交点的个数求参数 方法技巧 已知将交点个数问题转化为方程组解的个数问题，建立关于参数的方程或不等式： 1. 若已知两直线相交（1个交点），则系数满足 ． 2. 若已知两直线平行（0个交点），则系数满足． 3. 若已知两直线重合（无数个交点），则系数满足． 4. 注意含参问题中参数导致斜率不存在的情况． 【例题3.1】（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【例题3.2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【变式3.1】（24-25高三上·上海·阶段检测）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 【变式3.2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）（多选）若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D．3 题型4：由直线的交点坐标求参数 方法技巧 将已知的交点坐标代入两条直线的方程中，得到关于参数的方程组，解方程组即可： 1. 代入后往往得到二元一次方程组，利用消元法求解． 2. 解出参数后，务必代回原方程验证是否仍然构成直线（避免系数同时为0）． 【例题4.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题4.2】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 题型5： 三线能围成三角形的问题 方法技巧 三条直线能围成三角形，需要满足：任意两条直线相交（不平行），且三条直线不共点： 1. 先求出其中两条直线的交点，代入第三条直线，若满足则三线共点，不能围成三角形. 2. 再验证任意两条直线不平行（即斜率不相等或系数比例不满足平行条件）. 3. 注意分类讨论，防止漏掉斜率不存在的情况. 【例题5.1】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【例题5.2】（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【变式5.1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【变式5.2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 题型6：经过两直线交点的直线方程和直线交点系方程 方法技巧 利用“直线系方程”可以避免求交点坐标： 1. 过两直线交点的直线系方程可设为：. 2. 根据题目其他条件（如过某点、斜率已知等）确定参数 λ，即可快速求出方程. 3. 注意验证是否也满足条件，若满足需单独补充. 不利用“直线系方程”时： 1. 求交点坐标. 2. 根据题目其他条件（如过某点、斜率已知等）选择不同的方程形式求直线方程. 【例题6.1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【例题6.2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【变式6.1】（24-25高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【变式6.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 题型7：求两点间的距离 方法技巧 已知两点，则 ： 1. 当两点横坐标相同时，距离简化为 ；纵坐标相同时，距离简化为． 2. 常用于求线段长度、判断三角形形状、求最值等问题． 【例题7.1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题7.2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7.1】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【变式7.2】（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 题型8：由顶点坐标判断三角形的形状 方法技巧 利用两点间距离公式求出三边长，再结合勾股定理、边的关系或正余弦定理判断： 1. 若 ，则为直角三角形． 2. 若 a=b或 b=c或 a=c，则为等腰三角形． 3. 若 a=b=c，则为等边三角形． 4. 也可结合斜率判断是否有垂直或平行关系． 【例题8.1】（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【例题8.2】（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【变式8.1】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式8.2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 题型9：根据求参数 方法技巧 利用两点间距离公式，代入已知条件建立方程： 1. 解方程时注意平方后可能产生增根，需代回原式检验． 2. 若涉及参数在根号内，注意范围限制． 【例题9.1】（2.1坐标法——课后作业（基础版））（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【例题9.2】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【变式9.1】（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（模块十最后第1节课创新题型荟萃）写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标______. ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 题型10：求点到直线的距离  方法技巧 点到直线的距离公式为： 1. 使用前必须将直线方程化为一般式． 2. 注意分子加绝对值，确保距离非负． 3. 若直线垂直于 x 轴（B=0），公式依然适用，无需单独讨论． 【例题10.1】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【例题10.2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知点，．点在轴上，且，求的面积． 【变式10.1】（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【变式10.2】（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 题型11：已知点到直线距离求参数 方法技巧 将已知点和距离代入点到直线的距离公式，得到关于参数的方程： 1. 解方程时注意去绝对值，得到两个可能的参数值． 2. 最后必须检验参数是否使直线方程有意义（A、B不同时为0）． 【例题11.1】（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【例题11.2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 【变式11.1】（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【变式11.2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 题型12：求到两点距离相等的直线方程 方法技巧 平面内不经过这两点、到两点距离相等的直线分两种情况：平行于两点连线，或经过两点连线的中点： 1. 先求两点连线的斜率 k和中点坐标． 2. 若直线平行于两点连线，则斜率也为 k，用点斜式求方程． 3. 若直线经过中点，则需结合其他条件（如斜率是否存在）分类讨论． 【例题12.1】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【例题12.2】（25-26高二上·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【变式12.1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【变式12.2】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 题型13：直线围成图形的面积问题 方法技巧 先求出直线与坐标轴或与其他直线的交点，再根据图形形状计算面积： 1. 三角形面积可用 ． 2. 多边形可以分割成多个三角形计算． 3. 注意交点坐标的符号，面积取绝对值． 【例题13.1】（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________． 【例题13.2】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（多选）已知曲线C：，则（   ） A．不经过第一、四象限 B．关于直线对称 C．直线与有两个交点 D．与直线围成一个面积为4的三角形 【变式13.1】（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【变式13.2】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 题型14：求平行线间的距离 方法技巧 两条平行线的距离公式为： 1. 使用前必须确保两条直线的 A、B 系数完全相同（即方程已化为同系数形式）． 2. 若系数不同，先化为相同系数再代入公式． 【例题14.1】（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【例题14.2】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【变式14.1】（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【变式14.2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 题型15：平行线间的距离求其他 方法技巧 利用平行线间距离公式，结合题目条件求参数、求直线方程或求最值： 1. 若已知平行线间的距离，可建立关于参数的方程． 2. 求最值时，常结合几何意义（如点到直线距离）转化为函数问题． 3. 注意验证所求结果是否满足两直线平行的前提条件（A、B 系数相同且 ）． 【例题15.1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 【例题15.2】（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【变式15.1】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 【变式15.2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $