微专题01 分式运算中的巧算问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 以分式运算巧算为主线，构建“基础运算-技巧突破-创新应用”三级方法体系，提炼6类核心题型的解题模板与逻辑链条，培养运算能力、推理意识与创新思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式混合加减运算|6题|因式分解优先、通分技巧、答题四步法|以分式性质为基础，构建加减运算基本逻辑链| |分式乘除与化简求值|6题|除法变乘法、先约分后计算、整体代入|承接加减运算，拓展乘除法则与化简技巧| |裂项相消法|6题|模型识别、核心公式、抵消规律|针对分式求和问题，渗透数列求和思想| |换元法与配方法|6题|辅助元设置、配方变形、回代技巧|解决复杂多项式运算，培养转化与降维思维| |倒数法求值|6题|倒数转化、平方法求高次、关系式构建|针对分子次数低于分母的分式求值问题| |新定义与规律探究|6题|新运算翻译、规律猜想与验证|综合应用分式知识，发展创新意识与模型观念|

微专题01 分式运算中的巧算问题 题型01 分式的混合加减运算 考向本质：考查分式的基本性质、通分与约分，是后续所有巧算的基石。 解题方法： 1. 因式分解优先：当分子或分母是多项式时，第一步必须尝试提公因式或运用公式法（平方差、完全平方）进行分解。 2. 找准最简公分母：异分母分式加减时，观察各分母的系数和字母，取各系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积作为最简公分母。 3. 通分与变号技巧：通分后，分子相加减时要注意添括号；若分母是互为相反数，可提取负号化为同分母。 4. 答题模板：因式分解 →找出最简公分母 →通分转化为同分母 →分子加减（去、合、化） →约分化为最简分式 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）设，则的整数部分等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整数问题的综合应用．由于， 由此可以得到， 然后即可求出的整数部分． 【详解】解：当，3，…，2011， 因为， 所以， ， …， ， ． 于是有， 故的整数部分等于4． 故选：A． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘方的定义、立方根的定义、绝对值的性质，把算式中各部分分别计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）根据分式的加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（21-22八年级下·江苏盐城·周测）先化简，再求值：，其中 【答案】，3 【分析】先根据分式的加减混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【点睛】灵活运用分式的加减混合运算法则以及完全平方公式是解题的关键． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ (2)若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； (3)若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)2090 (3) 【分析】（1）根据互为关于的“关联代数式”的定义判断即可； （2）计算，，根据A，互为关于的“关联代数式”得到，即，将化为，即可求解； （3）由得到，另，，根据A，B互为关于的“关联代数式”得到为定值或为定值，分两种情况讨论：①当为定值时，，，得到，不合题意，舍去．②当为定值时，，，得到，则，根据平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：①∵，为定值 ∴与互为关于x的“关联代数式”． ②∵ ， 它们都不是定值， ∴与不是互为关于x的“关联代数式”． ③∵，为定值， ∴与互为关于x的“关联代数式”． 故答案为：①√；②×；③√． （2）解：∵，， ∴ ， ∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值， ∴为定值， ∴， ∴ ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵A，B互为关于的“关联代数式”， ∴为定值或为定值， ①当为定值时，，， ∴， 不合题意，舍去． ②当为定值时，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查分式的运算，整式的运算，平方差公式，完全平方公式，整式的运算中无关型，代数式求值，理解关于的“关联代数式”的定义是解题的关键． 5．（25-26七年级上·上海宝山·月考）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【答案】(1) (2) (3)8 (4)0 (5) (6) (7) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂计算法则，分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂计算即可； （2）先根据负整数指数幂变形，再根据分式的除法计算即可； （3）根据同分母分式加法则计算即可； （4）根据异分母分式加减法则计算即可； （5）先计算括号内的，再计算除法即可； （6）根据异分母分式加减则计算即可； （7）先根据负整数指数幂变形，再根据分式的乘法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： 6．（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型02 分式的乘除与化简求值 考向本质：考查分式乘除法法则及代数式的求值技巧，常结合整体思想命题。 解题方法： 1. 除法变乘法：遇到分式除法，立即将除式的分子分母颠倒，将除法转化为乘法。 2. 先约分后计算：各分式相乘时，可先进行跨式约分，再分子乘分子、分母乘分母，能大幅降低计算量。 3. 整体代入技巧：在求值时，若直接代入数值繁琐，可观察已知条件和待求式之间的联系，通过变形构造出“整体”（如），直接整体代入。 4. 答题模板：因式分解 →除法变乘法 →约分化简为最简分式 →代入数值（或整体代入）求得结果。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照分式混合运算的顺序计算．先算乘方．再算乘除．有括号先计算括号内的．最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．（25-26八年级下·海南儋州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算乘方，再把除法化为乘法，最后运算乘法化简，即可作答． （2）先进行因式分解，再化简原式，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 3．（2026·河北廊坊·一模）在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：_； (2)请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】(1)第一步和第二步 (2)见解析，当时，原式 【分析】（1）第一步加法运算出错，第二步因式分解出错； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：第一步和第二步； （2）解： ， 当时，原式． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的乘除法法则进行计算即可； （2）先通分，然后按同分母分式加减法计算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型03 分式运算中的“裂项相消法” 考向本质：针对形如的分式求和问题，直接通分计算量巨大，需用到数列求和的经典思想。 解题方法： 1. 识别模型：当连加（减）的各个分式分子相同，分母为两个相差常数k的因式乘积时适用。 2. 核心公式：。特别地，当时， 3. 抵消规律：拆分后，中间项会两两抵消，最后只剩下首项和末项，从而实现快速口算。 4. 答题模板：观察分母特征 →提取系数拆分成两分式之差 →去括号验证还原 →相加抵消求得结果。 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）若，对任意自然数都成立，则________，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求________． 【答案】 1 【分析】本题考查分式的混合运算．由于，对任意自然数都成立， 因此把代入等式，即可求出a的值．设，分别把，代入等式，求出b，c的值，从而得到分式可裂项为两个分式的差，根据该规律将所求式子进行裂项求解即可． 【详解】解：∵，对任意自然数都成立， ∴当时，， ∴． 设， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 解方程组得， ∴， ∴ ． 故答案为：1；． 2．（23-24八年级上·北京昌平·期中）对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化， 例如：； 参考上面的方法，解决下列问题： (1)；； (2)若将裂项变形，则___________； (3)应用上述变形，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由即可确定所填数； （2）根据即可完成“裂项”转化； （3）把每一个分式进行“裂项”，再相加即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了分式的运算及有理数的运算，理解题中“裂项”变形是解题的关键． 3．（22-23八年级上·山东淄博·期中）仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题： (1)总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式； (2)类比发现： 计算与的结果； (3)知识迁移：解关于（为正整数）的分式方程： ； (4)规律应用：化简． 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【分析】（1）根据题目中的规律，写出结果即可； （2）利用解析（1）中得出的规律进行计算即可； （3）先化简方程左边的式子，然后解分式方程即可； （4）利用解析（1）中的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ，…… ∴， ； （2）解： ； ． （3）解：方程变为， 即：， 去分母得：， 解得：， 检验：因为为正整数，原方程分母不会为零； 所以原方程的根式． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的规律题，解分式方程，解题的关键是根据题意找出题目中的规律，注意解分式方程要进行检验． 4．（23-24七年级上·北京·期末）观察下列各式： … … 尝试计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)45.9 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 5．（22-23七年级上·河南南阳·阶段检测）观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：_． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_； ②_； (3)探究并计算． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】（1）仿照例题，裂项相消可得； （2）①仿照例题，用裂项相消的方法，将式子①化简为，再进行计算即可；②将式子②化简为，再进行计算即可； （3）根据（2）的方法将所求式子用裂项相消的方法化简求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）① = = =， 故答案为：． ② = = =， 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律以及异分母分式的减法，解答的关键是分析出所存在的规律并灵活运用． 6．（23-24八年级上·云南昭通·期末）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式；； 第四个等式：…… 探索规律，解答下列问题： (1)用含的式子表示第个等式； (2)若代数式的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式各部分的变化规律，用含n的式子表示第n个等式是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）依据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）观察所给等式各部分的变化规律可知 第个等式为：； （2）由（1）可知 则原式 因为的值是正整数，且为整数． 所以或或． 则或或． 故正整数的值为或或． 题型04 分式运算中的“换元法”与“配方法” 考向本质：当分式中出现重复的复杂多项式，或已知条件为等形式时，直接展开极为繁琐。 解题方法： 1. 换元降维：将式子中重复出现的大型整体用一个新字母（如t）代替，将复杂分式转化为简单的整式或分式运算，最后再回代。 2. 配方变形：遇到时，联想到完全平方公式，通过移项进行配方，从而求出的值。 3. 答题模板：设辅助元（换元）/添项配方 →化简辅助式子 →得出辅助元结果 →回代得出原分式结果 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，这种化简的过程叫做分母有理化． 材料二：换元思想是非常重要的一种数学思想，它可以简化我们的计算；比如解方程，小毛是这样计算的， 原方程变形为：，设，原方程变为： ，解得；即，，解得或． (1)化简：． (2)已知是正整数，，，，求． (3)已知，求的值． 【答案】(1)44 (2) (3) 【分析】（1）先分母有理化，再相加即可； （2）先对a、b分母有理化，计算出的值，再整体代入后，解方程即可求解； （3）设，则；对原式进行化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：，，…，， 原式 ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， 则， 解得． （3）解：设，则； 原式= ； ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与混合运算，分母有理化，求代数式的值等知识，正确运算是解题的关键． 2．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 【答案】(1)34 (2) 【分析】（1）由配方公式得到，进而代值求解即可； （2）由配方公式得到，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）阅读下列材料：关于的方程，方程两边同时除以得：，即，，． 根据以上材料，解答下列问题： 已知， （1）求的值； （2）求的值； 拓展思考：（3）若，求的值． 【答案】 （1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了完全平方的变形求值、分式的运算、解分式方程，能够理解题意，掌握运算法则是解题的关键． （1）将方程两边同时除以，得到，移项即可求解； （2）先对（1）所得的进行平方，解得，再对进行化简，将代入即可求解； （3）先分别让和都除，将（2）中代入，得出含的代数式，再代入，解分式方程，解出的值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵由（1）得， ∴， ∴ ， ∴； （3）∵由（2）得， ∴，， ∵， ∴， 解得， 将代入中，， ∴是方程的解． 4．（25-26八年级上·江苏南通·月考）a，b之间的一种运算，其运算法则为：． (1)若，，求； (2)若，，且，求； (3)若，，且的值为整数，求整数n的值． 【答案】(1) (2)12 (3)或2或或4 【分析】此题考查了分式的加减法，完全平方公式，弄清题中的运算法则是解本题的关键． （1）利用题中的运算法则即可； （2）利用题中的运算法则求出即可； （3）根据与表示，根据为整数确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：，，， ； （3）解：，， ， 为整数， 或1或或3， 解得：或2或或4． 5．（24-25八年级下·湖北恩施·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查分式的化简求值，算术平方根，完全平方公式的变形．把平方，先求出的值，再求出的值，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·北京顺义·期中）小云同学在解决两个代数式比大小时想起课上曾讲过可以利用作差法进行比较，但她记不清了，于是通过豆包进行询问，如下： 豆包内容由AI生成 作差法比大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，再与0比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”． 具体步骤可分为3步． 1．作差：计算两个比较对象的差值，即设比较对象为和，计算． 2．变形：对差值进行化简、因式分解或配方等，方便判断其与的关系（若差值为常数，此步可省略）． 3．判断：根据差值与的大小关系，得出结论： 若，则； 若，则； 若，则； 比如比较“”和“”，作差得，因此； 比较“”和“”作差得，因此． 通过学习，小云同学尝试解决下面三个问题： （1）比较和的大小； （2）已知，比较与的大小； （3）比较与． 利用作差法，小云成功解决了前两个问题，请你尝试并给出比较结果： （1）______； （2）时，_______． 第三个问题，作差后并不能直接判断差的正负，小云试着寻找新的方法，由于每个数都有根号，而且是减法，能不能去掉根号或者转化为加法呢，聪明的小云联想到分母有理化，创造了“分子有理化”，以为例，． （3）请结合小云的思考完成第3个问题，并写出比较的过程：与． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、代数式的比较大小、不等式的性质，熟练掌握知识点是解决问题的关键； （1）利用作差法得到，从而得到； （2）利用作差法得，又利用得到，从而得到； （3）利用分子有理化得到，通分得到，从而得 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：∵，， ， 题型05 分式运算中的“倒数法”求值 考向本质：当已知条件为或求的值，且分子次数低于分母时适用。 解题方法： 1. 取倒数转化：由已知分式不为零，对其取倒数，可将假分式拆分成一个整式与一个较简真分式之和。 2. 构建关系式：取倒数后通常能得到或的具体值。 3. 平方法求高次：将所得的一次倒数关系平方，即可求出的值；若再平方，可求四次项。 4. 答题模板：确认已知分式非零 →等式两边取倒数化简 →求出的值 →平方变形求得目标值。 1．（25-26八年级上·重庆·期中）对于给定的两个非零的实数a与x，把a的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；……例如，若，时，，，，……则下列三个命题中正确的命题个数为（   ） ①若，，则； ②在①的条件下，； ③当，时，若（，n为整数）为整数时，符合条件的所有整数n的和为536． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算和规律探究，先根据已知条件求出的表达式，再通过代入计算判断命题①的正确性，然后利用裂项相消法计算命题②中式子的值，最后根据分式的性质求出命题③中符合条件的n的值，进而判断命题③的正确性． 【详解】解：命题①：∵，， ∴，，，故命题①正确； 命题②：由， 得 ， ∴，故命题②错误； 命题③：当，时，，则有， 则， 令，则， ∴表达式为， 要求为整数且， ∴且m是180的因数，且（即)， ∴，对应， ∴所有整数n之和为：，故命题③错误， 综上，正确命题个数为1个． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法、倒数，理解例题的思路是解题的关键；已知等式取倒数，求出 的值，再求待求式子的倒数，利用完全平方公式变形求解． 【详解】解：由 ，， ∴ ， 即 ， ∴， ∴ ， ∴待求式 的倒数为 ， 故 ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·北京西城·月考）已知（是正整数），叫作的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)2的平方差倒数是________； (2)是的平方差倒数，求的值： (3)已知是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用新定义因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴2的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：∵是的平方差倒数， ∴， ∴， 去分母，得， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解：∵是某一正整数的平方差倒数（，是正整数）， 设这一正整数为n, ∴， ∴， 即， 去分母，得， ， ∵a，b，n为正整数， ∴， ∴要使的值最小，需使为最小的完全平方数． ∵n为正整数， ∴，． ∴的最小值为25，此时， ∴的最小值为10． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∴，即， ∴，∴， ∴，∴． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，正确理解题意利用倒数法求解是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由已知可得，进而得到，利用倒数法求出，将，代入可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴即， ∴即， ∵ ， ∴， ∴． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ， 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解答本题的关键． （1）已知等式变形求出的值，原式变形后，将的值代入计算即可； （2）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由，得到，即， 则原式； （2）解：根据题意得：，，， 可得， ． 6．（25-26八年级下·山东威海·期中）阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解     合理分组     提取公因式     整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 (1)问题1：因式分解：_________ (2)问题2：已知，求代数式的值． (3)问题3：化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将各二次根式分解为，再提出公因式，然后整体提出公因式即可； （2）先求出，再整理待求式的倒数，并代入求值，进而得出答案； （3）先将分子进行因式分解，然后借鉴（2）根据倒数转化的方法进行化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． ∵或0（舍去）， ∴； （3）解：， 设： ， ， 则原式， ， ． 题型06 分式的新定义与规律探究型运算 考向本质：考查信息提取能力与创新思维能力，通常给出一个陌生的运算规则或图形规律，要求用分式知识解决。 解题方法： 1. 精准翻译：仔细阅读材料，将“新定义”的运算规则转化为常规的分式四则运算公式。 2. 寻找周期或递推规律：若是数列或图形规律题，写出前几项的结果，观察分子、分母的变化特点，猜想通项公式。 3. 验证与计算：将猜想的规律代入特殊值验证，确认无误后，利用前面掌握的裂项、通分等技巧进行大规模计算。 4. 答题模板：理解新定义 / 写出前几项 →转化为常规分式运算 →寻找并验证通用规律 →运用规律进行巧算得出结果。 1．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验是分式方程的解． 故选A． 2．（2026·辽宁大连·一模）定义新运算：对于正实数a，b，定义．若，则__________． 【答案】/ 【分析】根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． (1)当时，计算：______；______． (2)【探究运算律】对正实数a，b，运算“”是否满足交换律？ ，， ． ∴运算“”满足交换律． 对正实数a，b，c，运算“⊕”是否满足结合律？请说明理由； (3)【应用新运算】如图，在线段上取一点E，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接、，，，若的面积为3，，则的值为_______． 【答案】(1)； (2)满足，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算先分别计算和，再计算和，然后比较计算结果，即可得出结论； （3）根据新定义的运算先计算，再计算，再根据已知得出，，然后根据完全平方公式求出，再待入原式的最简结果计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ； （2）解：满足，理由如下： ∵，， ∴， ， ∴， 即对正实数a，b，c，运算“⊕”满足结合律； （3）解：∵， ∴ ， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，已舍去）， ∴原式． 5．（25-26八年级下·福建漳州·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … (1)写出时的拆分结果； (2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； (3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 【答案】(1) (2)猜想：（为正整数，且），证明见解析 (3)（为奇数，且），证明见解析 【分析】（1）通过观察已知的拆分结果，找出规律，进而写出时的拆分结果； （2）根据前面的规律猜想出的拆分结果，然后通过分式的运算进行证明； （3）先仿照前面的过程探索的拆分规律，再进行证明． 【详解】（1）解：∵当时，，其中，；当时，，其中，；当时，，其中，， ∴当时，，，即； （2）解：猜想：（为正整数，且）， 证明： ； （3）解：当时，，其中，； 当时，，其中，； 当时，，其中，； 猜想：（为奇数，且）， 证明： ． 6．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01分式运算中的巧算问题 题型01分式的混合加减运算 题型02分式的乘除与化简求值 题型03分式运算中的“裂项相消法 分式运算中的巧算问题 题型04分式运算中的换元法”与配方法 题型05分式运算中的“倒数法"求值 题型06分式的新定义与规律探究型运算 oo 德点量破 题型01分式的混合加减运算 ©煤方法 考向本质：考查分式的基本性质、通分与约分，是后续所有巧算的基石。 解题方法： 因式分解优先：当分子或分母是多项式时，第一步必须尝试提公因式或运用公式法（平方差、完全平 方)进行分解。 找准最简公分母：异分母分式加减时，观察各分母的系数和字母，取各系数的最小公倍数与所有字母的 最高次幂的积作为最简公分母。 通分与变号技巧：通分后，分子相加减时要注意添括号：若分母是互为相反数，可提取负号化为同分 母。 答题模板：因式分解→找出最简公分母→通分转化为同分母→分子加减（去、合、化）→约分化为 最简分式 1.(25-26八年级上湖南阳期未)设S=+分+了++ 2011下，则4S的整数部分等于() A.4 B.5 c.6 D.7 2.(25-26八年级下·江苏泰州月考)计算题： 1/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m+5-斗27xr-列 a 2ab b2 (2a2-6+62-a2a2-b m n 2mn 3.(21-2八年级下江苏盐城周测)先化简，再求值：m-nm+nm2-n，其中m=2,n=1 4.(25-26八年级上湖南长沙期末)我们约定：关于x的代数式A,B,若不论x为何值（此时x满足 A,B均有意义)，有A+B或A-B为定值，则称代数式A,B互为关于x的“关联代数式”，例如： A=-2x-1,B=2x-1 A+B=-2 ，因为 ，所以A,B互为关于的“关联代数式”，根据该约定，解答 下列问题， ()判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”.若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×” ①x+1与-x+2: ②2x2+x-1与2x2-2, x-4-x-2 x-i与x-1: ③ 跃干X的代数武气22x+可B=+b-4+2.4.B互为大于的关联代 求a2-4ab+4b2+2026的值： (3)若关于x的代数式A=mx+1,B=x-2,A,B互为关于x的“关联代数式”，且满足 后+品1，求能时一分的宜 5.(25-26七年级上·上海宝山月考)计算 a(4r)'+8r) a 5x+311-3x (3)x-11-x 2/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 .2b (④a+ba-ba2-b 何a13）a-a+4 a+1 a+1 x2 -x+y (6x+y x-y (⑦)x2-y 6.(25-26八年级上·重庆期末)计算： 1-2） m2-2m+1 (2)m+1 m2+m 题型02分式的乘除与化简求值 嫁方法 考向本质：考查分式乘除法法则及代数式的求值技巧，常结合整体思想命题。 解题方法： 除法变乘法：遇到分式除法，立即将除式的分子分母颠倒，将除法转化为乘法。 先约分后计算：各分式相乘时，可先进行跨式约分，再分子乘分子、分母乘分母，能大幅降低计算量。 整体代入技巧：在求值时，若直接代入数值繁琐，可观察已知条件和待求式之间的联系，通过变形构造 出“整体”（如x+)，直接整体代入。 答题模板：因式分解→除法变乘法→约分化简为最简分式代入数值（或整体代入）求得结果。 1.(25-26八年级下·重庆期中)计算： 2x(3y+ (1)3yzz2; 3/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a x2+4x+4 x+1 2.(25-26八年级下·海南儋州期中)计算： m品 x2-2x 22-4x2-4r+。 3.(2026河北廊坊·一模)在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程. 1+x-6）÷x2-4x+4 化简：（x+2 2x+4 原式=1+x62-4x+4 x+2 2x+4.第-步 =x-5.2(x+2) x+2(x+2).第二步 =-52 x+2x+2·第三步 =2r-10 厂(x+2)}.第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：-： (2)请写出正确的解答过程，并从3，-2，-1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值. 4.(25-26八年级下·江苏泰州月考)计算： 3a ab2 6b (1) b-ab"a 1x2-3x (2)x-1x2-1 5.(25-26八年级下·江苏南京·月考)计算： 2x25y.10y (1)3y26x21x2; 4/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+4x+42 (2) x2-4x-2 6.(25-26八年级下江苏泰州月考)计算： （-2m26n.n） ·一÷一， (四3n‘m气4m 2a-1 a2-4a+4 -a+1÷ (2)a+1 2+2a. 题型03分式运算中的“裂项相消法” 煤方法 考向本质：针对形如xx+k)的分式求和问题，直接通分计算量巨大，需用到数列求和的经典思想。 解题方法： 识别模型：当连加（减）的各个分式分子相同，分母为两个相差常数k的因式乘积时适用。 1111 111 核心公式：xx+xx+k。特别地，当k=1时，x(x+)xx+k 抵消规律：拆分后，中间项会两两抵消，最后只剩下首项和末项，从而实现快速口算。 答题模板：观察分母特征→提取系数拆分成两分式之差→去括号验证还原→相加抵消求得结果。 2 1.25-26八年级上江苏南通月考)若(2n-(2n+2n-12n+1,对任意自然数n都成立，则a= 一，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求 Ix3x53x5x75x7x9++2021x2023×2025+2023X2025 4 4 4 4 2.(23-24八年级上·北京昌平·期中)对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进 行“裂项”转化， 6点片66-g什8 isis 2 参考上面的方法，解决下列问题： 5/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 日京og 1 (②)若将15裂项变形，则5 1 (③)应用上述变形，化简：x(x+2)(c+2)0x+④(+40x+6+…+(+2023(x+2024 111111 3.(22-23八年级上山东淄博·期中)仔细观察下面的变形规律：1×212,2×323， 111 3×434,…解答下面的问题： 1 1 (1)总结规律：已知n为正整数，请将n(n+1)和n(n+2)写成上面式子的形式： (2)类比发现： 1,1,1 1 1 1,1 1 计算1x22×33×4+…+2021×2022与2×4+4x66×8+…+2020×2022的结果： 一十 (3)知识迁移：解关于n(n为正整数)的分式方程： 11 1 n+100 1x33x5+5x7+…+ (2n-1)(2n+1)2n+202 1+1+1+1 1 (④规律应用：化简1×32×43×54×6 +…十 n(n+2)· 4.(23-24七年级上北京期末)观察下列各式： 21 111 2×3-23 111 3×4341 … ☆引 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0》 7指》 尝试计算： 11,1 1 (1)1×22×33×4 +…十 2023×2024: 5+4以+5 1 91 7290: 1111111 (3)315356399143195· 1 11-111_11 5.(22-23七年级上河南南阳阶段检测)观察下列等式：1x2122×323’3×434 =1- 将以上三个等式两边分别相加得： 1,11,11 1s1-13 1×22×33×422334144 1 (猜想并写出：n(n+1) (2)直接写出下列各式的计算结果： 11 1 ①1×2+2x3+…+202×2023-: 11 1 ②1x22x3++ n(n+0-: 11,1 1 ③)探究并计算2×4+4x6+6×8+…+202×2024: 6.(23-24八年级上云南昭通期末)观察下列等式： 2 1 第一个等式：1次313： 211 第二个等式：3x535 7/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 211 第三个等式；5x757: 211 第四个等式：7x979… 探索规律，解答下列问题： (1)用含n的式子表示第n个等式； 1 1 1 (②若代数式(x-)0x+D++x+3)(+3)0x+*+5)0x+7列] x+7)的值为正整数，求整数x 的值. 题型04分式运算中的“换元法”与“配方法” 妹方法 考向本质：当分式中出现重复的复杂多项式，或已知条件为”±，等形式时，直接展开极为繁琐。 解题方法： 换元降维：将式子中重复出现的大型整体用一个新字母（如）代替，将复杂分式转化为简单的整式或 分式运算，最后再回代。 配方变形：遇到土了时，联想到完全平方公式？ 1)2 乏x2士士2，通过移项进行配方，从而求出 父±京的值。 答题模板：设辅助元（换元）/添项配方→化简辅助式子→得出辅助元结果→回代得出原分式结果 1.(24-25八年级下·湖南长沙期中)阅读下列材料，然后回答问题： 2 材料一：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如3+1一样的式子，其实我们还可以将其 2 进一步化简：、 2x5-)25--5-1,这种化简的过程叫做分母有理化 3+1(3+15-1（5-1 材料二：换元思想是非常重要的一种数学思想，它可以简化我们的计算；比如解方程 2N2+3x+1=x2+3x+2,小毛是这样计算的， 8/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原方程变形为：2？+3x+1=+3x+1+1,设V+3x+1=y,原方程变为： 2y=y2+1 即N2+3x+1=1,?+3x+1-L,解得=0或=-3 ，解得少1 2 2 2 2 ⑩化简：5++5+5+7+5+…+2025+V2023· √m+1-√m a= b-m+i+m (2)已知m是正整数，Vm+1+√m,√m+1-Vm,a+b+3ab=2025,求m. 2x-V2+a2 1 (3)记知x=√2+1，求x2+a2-xN+ax2-x√+ax+a2的值. 2.(24-25九年级下江苏盐城月考)阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式 有：口+=(a+b-2ab,d+=a-+2ab.用配方思想方法，解答下面问题： (0已知：x+6,求+京的值： ②已知：后-2b=4.ab=3,(a≥0，b≥0) ）,求a+2b的值. 3.(25-26八年级上山东济宁期末)阅读下列材料：关于x的方程 2-3x+1=0(x≠0) 方程两边同时除 以x尘04” 241 1 1 x +2x=x2+ +2 +日+2--2=7j 根据以上材料，解答下列问题： 2-4x+1=0(x≠0) 己知 (1)求+的值： 9/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x4-5x2+1 (2)求 3 一的值： x4+mx2+11 拓展思考：(3)若2x+m2+23,求m的值。 4,(25-26八年级上江苏南通月考)a,b之间的一种运算ab,其运算法则为：a△b=分+a+b (1)若a=-1,b=2,求aab: (@若a=,方=x,且x-3,求asb: (3)若a=2n+1,b=n-1,且a△b的值为整数，求整数n的值. 1 1 5.(2425八年级下湖北恩瀘月考)已知+x=7,求x的值。 6.(25-26八年级上·北京顺义·期中)小云同学在解决两个代数式比大小时想起课上曾讲过可以利用作差 法进行比较，但她记不清了，于是通过豆包进行询问，如下： 豆包内容由AI生成 作差法比大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，再与0比较，从而判断两者大小 的方法，核心逻辑是“差值定大小”. 具体步骤可分为3步： 1.作差：计算两个比较对象的差值，即设比较对象为A和B,计算A-B 2.变形：对差值进行化简、因式分解或配方等，方便判断其与0的关系（若差值为常 数，此步可省略)· 3.判断：根据差值与0的大小关系，得出结论： 若A-B>0,则A>B: 若A-B=0,则A=B; 若A-B<0,则A<B; 比如比较“10”和“7”，作差得10-7=3>0，因此10>7： 比较“+1，和。父，作差得>0，因此 2+1>x2 通过学习，小云同学尝试解决下面三个问题： 10/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （)比较”和2-1 的大小： x-1,x-2 (2)已知x>0:比较x+1与x+2的大小： (3)比较7-66-5 与 利用作差法，小云成功解决了前两个问题，请你尝试并给出比较结果： (1)2 2x-1 x-1 x-2 (2)x>0时，x+1 -x+2· 第三个问题，作差后并不能直接判断差的正负，小云试着寻找新的方法，由于每个数都有根号，而且 是减法，能不能去掉根号或者转化为加法呢，聪明的小云联想到分母有理化，创造了“分子有理化”， 以万-v6,5-6.76.5-65v6 1 1×(万+6) √7+√6· (3)请结合小云的思考完成第3个问题，并写出比较的过程： 万-6与6-5 题型05分式运算中的“倒数法”求值 啸方法 考向本质：当已知条件为+x十1“或求r±的值，且分子次数低于分母时适用。 解题方法： 取倒数转化：由已知分式不为零，对其取倒数，可将假分式拆分成一个整式与一个较简真分式之和。 1 构建关系式：取倒数后通常能得到x+元或x一元的具体值。 平方法求高次：将所得的一次倒数关系平方，即可求出+宁的值：若再平方，可求四次项。 答题模板：确认已知分式非零一等式两边取倒数化简一求出+上的值一平方变形求得目标值。 1.(25-26八年级上·重庆期中)对于给定的两个非零的实数a与x,把a的倒数与x的和的倒数记为， 11/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 、1 b1 2= +x; 的倒数与x的和的倒数记为，，则 +x; 的倒数与x的和的倒数记为，，则 a b, b b b. 1 1 +x:…例如，若x=3, b= 时， _2b=534, 1,35, 12之b3三311。 4+ 2a=1 12 22 下列三个命题中正确的命题个数为() 2 3 ①若x=3,a=3则6=7： ②在①的条件下，么b2+b,b+b,b,+…+b,4=号： 当x=1= bns 14时，若6，sb,（n≥4，”为整数)为整数时，符合条件的所有整数”的和为 ( 536 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.(25-26八年级上山东淄博期末)操作发现：阅读下列解题过程：已知x+13,求x+1的值. x I 解：由g+13知x≠0，所以x -3,即x+-3 +1-2+ 1 -2=32-2=7 x2 （x+ x21 x+的值为的倒数，即x子+ 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解 法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 1 x 已知x2-x+14,则x-x2+1的值为 1 172= 3.(25-26八年级上北京西城月考)已知(n+1-(n-1(n是正整数)，m叫作n的平方差倒数. 11 例如124-2,12叫作3的平方差倒数. 12/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)2的平方差倒数是 2 (2②m=42+n是n的平方差倒数，求m的值： 1 m= (3)已知(a-2b)-3(b2-2ab+28)是某一正整数的平方差倒数(a,b是正整数)，求a+b的最小 值. 4.(25-26八年级上·云南昆明·期末)在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数 法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的. 例：已知+4，求代数式r+京的值. n2+1=4, ，=+1=4,即XX, 解：“x+14 1)2 =42 x2+2+1 1 =16,x+716-2=14。 根据材料回答以下问题： 0已知a-。2,求7号的值 a ②已知8-。2，求40-4如+的值， 21a a 5.(2024八年级上全国专题练习)阅读下列解题过程： x 1 x2 已知x2+13,求x+的值。 x 1 解：由+3，知x≠0？所以 +1=3,即x+ 3 x2 x 1 x+1的值为7的倒数，即7： 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫 13/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： 1 x2 ()已知2-x+7,求x+平+的值. =22=42x4 (②已知x+y ，y+z3,2+x3,求w+z+x的值. 6.(25-26八年级下·山东威海·期中)阅读下面材料，完成问题. 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、 倒数转化等方法化繁为简， (1)因式分解 √6+√10+15+√25 =(6+vio)+W5+25) 合理分组 =2(5+N5)+5(N5+5) 提取公因式 =(5+5)(2+5) 整体分解 (2)倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果. 已知+3，求代数式+3x中的值。 解：先求倒数： +3x+1=x+3+ 代入+3. x+3+1-3+3=6 -1 所以x2+3x+16 (3)灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 V10+V14+15+V21= (1)问题1：因式分解： 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ②间题2：已知+京23，求代数式+5x+的值. 5+√2i+V25+√35 (3)问题3：化简： V3+V7+V20 题型06分式的新定义与规律探究型运算 嫁方法 考向本质：考查信息提取能力与创新思维能力，通常给出一个陌生的运算规则或图形规律，要求用分式 知识解决。 解题方法： 精准翻译：仔细阅读材料，将“新定义”的运算规则转化为常规的分式四则运算公式。 寻找周期或递推规律：若是数列或图形规律题，写出前几项的结果，观察分子、分母的变化特点，猜想 通项公式。 验证与计算：将猜想的规律代入特殊值验证，确认无误后，利用前面掌握的裂项、通分等技巧进行大规 模计算。 答题模板：理解新定义/写出前几项→转化为常规分式运算→寻找并验证通用规律→运用规律进行 巧算得出结果。 1.(2025八年级下河南郑州专题练习)新定义对于实数a、b,定义一种新运算“⊕”为： 3 a⊕b= a2-ab,这里等式右边是实数运算.按此规定，则方程 A.x=4 B.x=6 C.x=7 D.x=8 2。（2026辽宁大连一模)定义新运算：对于正实数a,b,定义a⑧b=0 ab.若x⑧3=2，则x= 3.(25-26七年级下·全国课后作业)我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为 4x2-8x_4xCx-2=4x,则称分式 “巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”·例如x-2=x-2 4x2-8x x-2是“巧分式”，4x为它的“巧整式”.根据上述定义，解决下列问题 15/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)下列分式中是“巧分式”的有 一（填序号）； (x-102x-3)(x+2） 2x+5 x2-y2 ①(x-1)(x+2)；②x+3；③x+y. x2-4x+m (②)若分式x+n (m,n为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x-7?求m,n的值. 4.(25-26八年级下江苏盐城月考)【定义新运算】对正实数4，b,定义运算“⊕”，满足 a⊕b=ab a+b 例如：当a>0时，(2a)81= 2a.12a a+12a+1 (1)当a>0时，计算： (2a)©2= (2a)©(2a)= (2)【探究运算律】对正实数a,b,运算“⊕”是否满足交换律a田b=b⊕a? a⊕b=ab ba b⊕a= a+b’ bta' .a⊕b=b⊕a 运算“⊕”满足交换律a田b=b田a. a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c) 对正实数a,b,c,运算“⊕”是否满足结合律 ？请说明理由： (3)【应用新运算】如图，在线段AB上取一点E,在同侧分别以AB、BE为边作正方形ABCD和正方形 BErC,连接DE、BD,MB=a,BE=b,若△BDE的面积为3，AE=1,则2a)eb(2a） 的值为 B G C 5.(25-26八年级下福建漳州期中)分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”.古埃及 人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和.数学课上，张老师提出：对于任意单 16/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 位分数a(a为正整数且a>1)均可以拆分成两个不同单位分数的和.兴趣小组对此进行探究，过程如 下； 【探索规律】 11.1 当a=2时，236： 11,1 当a=3时，3412： 111 当a=4时45+20： (1)写出a=5时的拆分结果； (2)【发现规律】猜想ā拆分结果，并证明你的猜想； (3③)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数k(k>2),可以拆 分成两个不同单位分数的和. 6.(25-26八年级上北京石景山期末)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般” 的方法探究下面二次根式的运算规律. 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律. 第1个。 4个5号 17/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 第5个等式 6-6 (根据规律填空) (2)观察、归纳、得出猜想. 第n个等式为. (用含n的式子表示，n为正整数) (3)证明你的猜想： (4)应用运算规律. (a,b均为正整数)，则b-a的值为 18/18