3.2.1 双曲线及其标准方程（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 课标要点 1.理解双曲线的定义，掌握焦点、焦距概念，分清不同条件下对应的动点轨迹情况。 2.掌握双曲线两种标准方程，分清焦点位置，牢记三者之间的数量关系式。 3.认识双曲线焦点三角形，会结合定义、余弦定理，推导面积相关的常用结论。 学习重难点 重点： 1.双曲线的定义，理解，掌握定义里面各项限制条件。 2.双曲线的标准方程，分清焦点在轴上的方程形式，掌握关系。 3.双曲线焦点三角形，运用双曲线定义、余弦定理，求解边长与三角形面积。 难点： 1.双曲线定义辨析，区分与大小，判断轨迹是双曲线、射线还是无轨迹。 2.区分双曲线焦点位置，不要和椭圆判断方法混淆，准确书写双曲线标准方程。 3.焦点三角形综合运算，联立双曲线定义与余弦定理，处理面积、边长计算。 知识点一 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。 两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 设常数为，焦距。 （1），带绝对值代表双曲线完整两支； ①若，点在双曲线右支； ②若，点在双曲线左支。 （2）定义限制条件辨析 ①若，轨迹不是双曲线，是两条射线； ②若，动点轨迹不存在； ③若差的绝对值为，即，轨迹是线段的垂直平分线。 易错提醒 忽略定义中的“绝对值”，混淆双曲线单支与整支：定义中，绝对值代表双曲线两支。如果去掉绝对值，只表示右支，只表示左支。做题审题要看题目是否写绝对值，求轨迹方程时，缺少绝对值不要写成完整双曲线，要写明是哪一支，防止范围出错。 即学即练 1．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 2．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 知识点二 双曲线的标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 焦点坐标 关系 说明：双曲线中最大；判断焦点看正项分母，哪一项的系数为正，焦点就在哪一个坐标轴上。 易错提醒 混淆双曲线与椭圆的关系式：椭圆是，最大；双曲线是，最大。做题经常把公式记反，代入参数计算时出错。同时注意双曲线标准方程只要求，不要求，可以小于，这点和椭圆有明显区别。 即学即练 3．过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 4．双曲线的一个焦点为，则______． 知识点三 双曲线的焦点三角形 设（）是双曲线上一点，为双曲线的两个焦点，则为双曲线的焦点三角形，记。 常用解题依据 （1）双曲线定义：。注意：如果在单支上，直接去掉绝对值写成差值等于。 （2）余弦定理：，其中。 （3）面积基础公式：，推导面积结论：。 推导过程：①.对两边平方：， ②结合余弦定理，两式相减消去平方项，解得： ③将乘积代入面积公式： 易错提醒 焦点三角形乱用双曲线定义，不区分点在哪一支：使用时，若已知在左支或者右支，应当直接去掉绝对值。如果不看所在分支，保留绝对值进行计算，容易出现两组解，产生增根。结合余弦定理、面积计算后，一定要结合点所在的分支检验结果是否符合题意。 即学即练 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则____________. 题型01 双曲线的定义 解题贴士 解题要抓住，牢记条件，区分有无绝对值对应的完整双曲线与单支。 做题先比较常数与焦距的大小，判断轨迹是双曲线、射线还是无轨迹。审题注意绝对值，去掉绝对值只能表示其中一支，避免直接默认为完整双曲线造成范围错误。 典｜例｜精｜析 【例1】（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 【例2】双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 【变式1-2】已知是双曲线上一点，点分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．9 B．1或9 C．7 D．3或7 【变式1-3】已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型02 曲线方程与双曲线 解题贴士 先把方程整理为标准形式，方程表示双曲线的条件为。 若题目指定焦点在某坐标轴，还需要限定正项的位置。注意区分双曲线与椭圆的条件，椭圆要求分母均大于 0，双曲线只要求分母乘积大于 0，不要混淆两者参数限制，防止求出增根。 典｜例｜精｜析 【例3】（多选）当时，方程表示的曲线形状可能是（   ） A．两条平行直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【例4】关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（多选）当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（    ） A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 【变式2-3】“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 双曲线标准方程的求解 典｜例｜精｜析 【例5】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【例6】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为________. 【变式3-3】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 题型04 双曲线轨迹方程的求法 典｜例｜精｜析 【例7】已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A．7 B． C．. D． 【变式4-2】已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 题型05 双曲线的焦点三角形问题 典｜例｜精｜析 【例9】已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【例10】已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为________. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【变式5-2】记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【变式5-3】已知分别为双曲线的左、右焦点，和是以为圆心（为坐标原点），以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则___________． 题型06 双曲线中线段和差的最值问题 解题贴士 充分利用双曲线定义完成焦半径的等价转化，在左支或右支时，对、做加减替换，简化目标线段表达式。 常结合三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求最值，看清动点被限制在哪一支上。 要区分定点在双曲线内部还是外部，确认等号是否可以取到；优先几何法，必要时再用代数计算，同时注意检验取得最值时点的位置是否在对应分支上。 典｜例｜精｜析 【例11】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为__________. 【例12】记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【变式6-2】分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________. 题型07 双曲线的实际问题 典｜例｜精｜析 【例13】在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【例14】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 【变式7-2】一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【变式7-3】在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点A处与大海连通，最低点A处海拔高度为1m，该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN，B为所在双曲线的中心（如图）．由于温室效应，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4cm．据此推算，到2050年底该地区将有水面面积． (1)建立适当的坐标系，求此双曲线的方程； (2)请你推算，到2100年底该地区将有多大的水面面积？ （提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为） 基础通关 一、单选题 1．已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 2．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 5．中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 6．已知平面直角坐标系内点，，，点的集合.则集合M表示的图形为（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 二、多选题 7．已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示双曲线 D．当时，曲线表示两条平行直线 8．已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是__________. 10．设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 四、解答题 11．已知点分别是双曲线的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，求的面积． 12．已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 素养提升 1．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 3．如图，某绿色蔬菜种植基地在处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线的方程为______.    4．双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    5．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 6．已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 迁移创新 1．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 3．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 课标要点 1.理解双曲线的定义，掌握焦点、焦距概念，分清不同条件下对应的动点轨迹情况。 2.掌握双曲线两种标准方程，分清焦点位置，牢记三者之间的数量关系式。 3.认识双曲线焦点三角形，会结合定义、余弦定理，推导面积相关的常用结论。 学习重难点 重点： 1.双曲线的定义，理解，掌握定义里面各项限制条件。 2.双曲线的标准方程，分清焦点在轴上的方程形式，掌握关系。 3.双曲线焦点三角形，运用双曲线定义、余弦定理，求解边长与三角形面积。 难点： 1.双曲线定义辨析，区分与大小，判断轨迹是双曲线、射线还是无轨迹。 2.区分双曲线焦点位置，不要和椭圆判断方法混淆，准确书写双曲线标准方程。 3.焦点三角形综合运算，联立双曲线定义与余弦定理，处理面积、边长计算。 知识点一 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。 两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 设常数为，焦距。 （1），带绝对值代表双曲线完整两支； ①若，点在双曲线右支； ②若，点在双曲线左支。 （2）定义限制条件辨析 ①若，轨迹不是双曲线，是两条射线； ②若，动点轨迹不存在； ③若差的绝对值为，即，轨迹是线段的垂直平分线。 易错提醒 忽略定义中的“绝对值”，混淆双曲线单支与整支：定义中，绝对值代表双曲线两支。如果去掉绝对值，只表示右支，只表示左支。做题审题要看题目是否写绝对值，求轨迹方程时，缺少绝对值不要写成完整双曲线，要写明是哪一支，防止范围出错。 即学即练 1．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 2．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 知识点二 双曲线的标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 焦点坐标 关系 说明：双曲线中最大；判断焦点看正项分母，哪一项的系数为正，焦点就在哪一个坐标轴上。 易错提醒 混淆双曲线与椭圆的关系式：椭圆是，最大；双曲线是，最大。做题经常把公式记反，代入参数计算时出错。同时注意双曲线标准方程只要求，不要求，可以小于，这点和椭圆有明显区别。 即学即练 3．过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 4．双曲线的一个焦点为，则______． 【答案】 【详解】已知双曲线的一个焦点为，可知，， 所以，解得， 因为，所以. 知识点三 双曲线的焦点三角形 设（）是双曲线上一点，为双曲线的两个焦点，则为双曲线的焦点三角形，记。 常用解题依据 （1）双曲线定义：。注意：如果在单支上，直接去掉绝对值写成差值等于。 （2）余弦定理：，其中。 （3）面积基础公式：，推导面积结论：。 推导过程：①.对两边平方：， ②结合余弦定理，两式相减消去平方项，解得： ③将乘积代入面积公式： 易错提醒 焦点三角形乱用双曲线定义，不区分点在哪一支：使用时，若已知在左支或者右支，应当直接去掉绝对值。如果不看所在分支，保留绝对值进行计算，容易出现两组解，产生增根。结合余弦定理、面积计算后，一定要结合点所在的分支检验结果是否符合题意。 即学即练 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 6．双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则____________. 【答案】2 【详解】由题可得， 又，所以， 所以. 故答案为：2    题型01 双曲线的定义 解题贴士 解题要抓住，牢记条件，区分有无绝对值对应的完整双曲线与单支。 做题先比较常数与焦距的大小，判断轨迹是双曲线、射线还是无轨迹。审题注意绝对值，去掉绝对值只能表示其中一支，避免直接默认为完整双曲线造成范围错误。 典｜例｜精｜析 【例1】（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 【答案】ACD 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C正确； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确． 故选：ACD 【例2】双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】由题意双曲线：的，， 又是上一点，，在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义，得，，解得. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 【答案】2 【详解】由双曲线的定义可知，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于. 所以. 故答案为：2. 【变式1-2】已知是双曲线上一点，点分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．9 B．1或9 C．7 D．3或7 【答案】A 【详解】因为双曲线方程为，所以，所以， 所以，由双曲线的定义可得，即， 可得或，又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，，所以不成立， 所以， 故选：A. 【变式1-3】已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由题意得，得. 故选：D 题型02 曲线方程与双曲线 解题贴士 先把方程整理为标准形式，方程表示双曲线的条件为。 若题目指定焦点在某坐标轴，还需要限定正项的位置。注意区分双曲线与椭圆的条件，椭圆要求分母均大于 0，双曲线只要求分母乘积大于 0，不要混淆两者参数限制，防止求出增根。 典｜例｜精｜析 【例3】（多选）当时，方程表示的曲线形状可能是（   ） A．两条平行直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ACD 【详解】因为，所以. 当时，方程变为，即和. 和为两条平行的直线，A正确； 当时，方程变为. 因为，所以此方程表示为焦点在轴上的椭圆，C正确； 当时，方程变为. 所以此方程表示为焦点在轴上的双曲线，D正确； 故选：ACD. 【例4】关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 【变式2-2】（多选）当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（    ） A．当为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 C．当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线 【答案】BCD 【详解】对于A，当为第一象限角时，取，此时， 即曲线方程为，此时曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆，所以A不正确； 对于B，当为第二象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以B正确； 对于C，当的终边在轴的非负半轴上时，可得 此时曲线方程为，即，可得方程表示两条平行线，所以C正确； 对于D，当为第四象限角时，可得， 此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以D正确. 【变式2-3】“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 题型03 双曲线标准方程的求解 典｜例｜精｜析 【例5】已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【例6】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的标准方程为． 由题意知，所以．①； 因为点在双曲线上，所以．② 由①②解得，，所以所求双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为， 则，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. 【变式3-2】与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为________. 【答案】 【详解】由双曲线与椭圆有公共焦点，得双曲线的焦点坐标为， 设双曲线方程为，而双曲线过点， 于是，即，又，解得， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为： 【变式3-3】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）在椭圆中，， 所以椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线标准方程为，， 因为双曲线与椭圆有相同焦点， 所以， 点代入双曲线方程，可得， 联立，解得，， 所以双曲线标准方程为． 题型04 双曲线轨迹方程的求法 典｜例｜精｜析 【例7】已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 【例8】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A．7 B． C．. D． 【答案】B 【详解】如图，当点在轴左侧时，连接，由点关于点的对称点为，得是线段中点， 而点是线段的中点，则， 由为线段的垂直平分线，得，    于是，当点在轴右侧时，同理， 则， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为. 故选：B 【变式4-2】已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 【变式4-3】（重难04 求动点轨迹方程（培优讲义）新高二数学人教A版）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【答案】 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 题型05 双曲线的焦点三角形问题 典｜例｜精｜析 【例9】已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆中，所以共同焦点，, 由椭圆的定义，得, 双曲线中，由双曲线的定义得， 不妨设，得， 在中，由余弦定理得. 故选：D. 【例10】已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为________. 【答案】 【详解】如图所示，设，则， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆半径为，圆心为， 则，，， 由勾股定理有，即， ， 其中， 解得 ， 故，， 故所求坐标为, 故答案为：.    变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】如图，延长，交于点，    因为是的平分线，且，所以与全等， 所以，为的中点，为的中点，所以， 由于双曲线的左、右焦点分别为， 所以，，所以双曲线的定义可知：， 所以，即， 所以. 故选：A 【变式5-2】记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【详解】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D 【变式5-3】已知分别为双曲线的左、右焦点，和是以为圆心（为坐标原点），以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则___________． 【答案】 【详解】依题意得， 根据题意，作图如下：    因为为等边三角形．故可得， 在直角三角形中，可得, 根据双曲线的定义：，解得：. 故答案为：. 题型06 双曲线中线段和差的最值问题 解题贴士 充分利用双曲线定义完成焦半径的等价转化，在左支或右支时，对、做加减替换，简化目标线段表达式。 常结合三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求最值，看清动点被限制在哪一支上。 要区分定点在双曲线内部还是外部，确认等号是否可以取到；优先几何法，必要时再用代数计算，同时注意检验取得最值时点的位置是否在对应分支上。 典｜例｜精｜析 【例11】已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故答案为： 【例12】记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 【变式6-2】分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 【变式6-3】若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________. 【答案】 【详解】 如图所示， 由双曲线方程， 可知双曲线的右焦点为， 则由双曲线定义可知，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又， 即， 故答案为：. 题型07 双曲线的实际问题 典｜例｜精｜析 【例13】在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B 【例14】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 【答案】/ 【详解】 以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设双曲线方程为，由已知可得，且， 所以，即，所以双曲线方程为. 由题知该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm， 所以双曲线过点和，代入双曲线方程得： ，解得：. 所以，即喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 【变式7-2】一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】由题意画出轴截面如下图所示：    设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为， 则点到圆心的距离的平方，对称轴为， 若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则， 所以，即清洁钢球的最大半径为. 故选：A 【变式7-3】在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点A处与大海连通，最低点A处海拔高度为1m，该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN，B为所在双曲线的中心（如图）．由于温室效应，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4cm．据此推算，到2050年底该地区将有水面面积． (1)建立适当的坐标系，求此双曲线的方程； (2)请你推算，到2100年底该地区将有多大的水面面积？ （提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为） 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）选择海平面与剖面的交线为x轴，AB所在直线为y轴，B为原点，建立直角坐标系．据题意可设双曲线方程为．可知至2050年底，海平面共上升了4×50＝200（cm），即2m，使该地区有水面面积．即当y＝2时，，所以，故双曲线方程为． （2）照此推算，到2100年底海平面共上升了4×100＝400（cm），即4m．当y＝4，，所以该地区在2100年底将有水面面积． 基础通关 一、单选题 1．已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【详解】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得. 由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，. 故选：A. 2．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，解得，或， 则实数k的取值范围是． 故选：D． 3．古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【详解】由题意得，则， 整理得，则点P的轨迹为双曲线. 故选：C 4．与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【详解】设与圆 （圆心 ，半径 ）和 圆 （即 ，圆心 ，半径 ） 都外切的圆的圆心为 ，半径为， 由题意得，消去 得， 这表示点P到两定点和的距离之差为常数，且， 由双曲线的定义知：点的轨迹为双曲线， 又由知：，因此点的轨迹为双曲线的一支. 故选： C 5．中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的中心在原点，顶点在轴上，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为双曲线的一个焦点在直线上，令，得， 所以，又，所以等轴双曲线的方程为. 故选：D. 6．已知平面直角坐标系内点，，，点的集合.则集合M表示的图形为（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【详解】依题意，， 由，得，整理得， 即，所以集合M表示的图形为直线. 故选：A 二、多选题 7．已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示双曲线 D．当时，曲线表示两条平行直线 【答案】ACD 【详解】因为曲线，其中是实数，且至少有1个大于0， 对于选项A：将换成可得， 所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于选项B：例如满足，此时曲线表示圆，故B错误； 对于选项C：若，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线； 综上所述：当时，曲线表示双曲线，故C正确； 对于选项D：若，且至少有1个大于0， 当时，曲线是与轴平行的两条直线； 当时，曲线是与轴平行的两条直线； 综上所述：当时，曲线表示两条平行直线，故D正确； 故选：ACD. 8．已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】则由题意得， 故点的轨迹为以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支， 故，， 故点满足的轨迹方程为，， A选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，A正确； B选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，B正确； C选项，联立与，解得，不合要求，C错误； D选项，联立与，解得，负值舍去，D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是__________. 【答案】直角三角形 【详解】椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，， 由椭圆与双曲线的定义，得，解得， 因此，由椭圆、双曲线有相同焦点，得，， 即，则，即，， 所以是直角三角形. 故答案为：直角三角形 10．设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 四、解答题 11．已知点分别是双曲线的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，求的面积． 【答案】 【详解】由，可知. 又，所以边上的高 所以. 12．已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 素养提升 1．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦点都在轴上， 则椭圆，可得，则 双曲线，可得，则， 因为椭圆和双曲线有公共的焦点，可得，解得， 所以椭圆且双曲线，则，可得， 不妨设，椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限， 由椭圆的定义，可得， 又由双曲线的定义，可得， 联立方程组，解得， 则满足，可得，所以为直角三角形， 所以的面积为. 2．已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 3．如图，某绿色蔬菜种植基地在处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线的方程为______.    【答案】（） 【详解】以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如上图所示： 在中，由余弦定理可得， 可得； 设是边界上任一点，则满足， 所以； 由双曲线定义可知，点所在的界线是以为焦点， 实轴长为的双曲线靠近的一支，并且在农贸市场内的部分； 由，可得， 所以双曲线方程为（）. 4．双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    【答案】/ 【详解】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系， 设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得， 因为，所以. 5．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 6．已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径，定点，则, 如图，由于与平行，得， 又因为,所以， 因此，又， 所以，故； 点在直线上，故，即； 因，根据双曲线定义，点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线右支, 半焦距，实半轴，则,轨迹方程为 . 迁移创新 1．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABC 【详解】由题意得，不妨设在第二象限， 当时，则，则， 故，， 故，由于是的角平分线，所以， 进而可得，故斜率为，故A正确， 由于，所以，故B正确， 延长交于点，连接， 由于是的角平分线，，所以， 故是的中点，， 由双曲线定义可得， 又是的中点，，故C正确，D错误. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 【答案】 【详解】由双曲线，得，则，， 设，则， 所以， ， 则． 在与中，， 即，整理得， 所以，解得， 所以． 3．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数________. 【答案】 【详解】如图，作出符合题意的图形，    设过点的切线与圆相切于点，由圆，可得， 又因为点为双曲线的左右焦点，所以，所以， 在中，由正弦定理可得， 代入 ，，得，解得 ， 又因为在双曲线的右支，所以，即， 在中，由余弦定理可得， 代入，，， 得到，解得， 又因为双曲线中，所以， 所以，即. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $