3.2.1 双曲线及其标准方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦“双曲线及其标准方程”核心知识点，系统梳理从定义（文字与符号语言，含常数与焦距关系等注意事项）到方程表示条件（mn符号判断），再到标准方程（焦点位置、a/b/c关系）的逻辑脉络，构建定义辨析、条件分类、方程对比的学习支架。 该资料以九个考点（定义辨析、参数求解等）为主线，结合各地模拟题设计例题，突出定义应用（如焦点三角形、轨迹问题）。通过辨析定义条件培养数学眼光，分类讨论方程条件发展数学思维，轨迹问题训练数学语言，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固提升。

3.2.1 双曲线及其标准方程 知识点1：双曲线的定义 文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 【注意】(1)常数要小于两个定点间的距离． (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 用待定系数法求双曲线方程的步骤． (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 知识点2：方程表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 知识点3：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【注意】(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 记忆口诀：“焦点跟着正项走”． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c满足c2＝a2＋b2． 考点一　双曲线的定义及辨析 考点二　根据方程表示双曲线求参数 考点三　双曲线标准方程的求解 考点四　根据双曲线方程求a、b、c 考点五　双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征 考点六　利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 考点七　利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 考点八　利用定义求双曲线中线段和、差的最值 考点九　轨迹问题—双曲线 考点一　双曲线的定义及辨析 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 2．（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 3．（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C 4．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 考点二　根据方程表示双曲线求参数 5．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 【答案】C 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及标准方程判断即可. 【详解】选项A：由可得，. 因为，所以，所以椭圆焦点在轴上，A错误. 选项B：若，则方程可化为，则圆的半径为，B错误. 选项C：若，则和异号，符合双曲线的标准形式，C正确. 选项D：若，方程可化为，当时，，表示两条平行于轴的直线；当时，此时无实数解；故D错误. 故选：C. 6．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 7．（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 8．（25-26高二上·河南郑州·期末）（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 考点三　双曲线标准方程的求解 9．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. 10．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，关于直线的对称点分别是，，. (1)求以，为焦点，且过点P的双曲线的标准方程； (2)求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件可知半焦距及焦点的位置，设出双曲线的方程，由点在双曲线上及的关系可列方程组，从而得解； （2）先求出，，的坐标，从而可知半焦距及焦点的位置，设出椭圆的方程，由点在椭圆上及的关系可列方程组，从而得解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点分别为，， 所以焦点在轴上，且半焦距， 可设双曲线的标准方程为， 又双曲线过点，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）因为关于直线对称的点的坐标关系是横纵坐标互换， 所以，，关于直线的对称点分别是，，. 因为椭圆的焦点分别为，， 所以焦点在轴上，且半焦距， 可设椭圆的标准方程为， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 11．（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【详解】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 12．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 考点四　根据双曲线方程求a、b、c 13．（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 【答案】 【详解】已知双曲线的一个焦点为，可知，， 所以，解得， 因为，所以. 14．（25-26高二上·上海闵行·期末）已知双曲线，且，那么正实数______. 【答案】 【分析】根据双曲线的几何性质，得出方程，即可求解. 【详解】因为双曲线，且， 由，可得，所以， 因为，所以. 故答案为：. 15．（25-26高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果. 【详解】由题知，椭圆的半焦距为， 所以，解得. 故选：D 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为______. 【答案】 【分析】根据已知可得，再结合双曲线定义得出，计算求出，即得双曲线方程. 【详解】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上， 可知，则，即， 又因为，得解得，故双曲线方程为. 故答案为：. 考点五　双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征 17．（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可. 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 18．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 19．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BCD 【分析】根据二元二次方程与曲线的关系列不等式求参数范围，依次判断各项的正误. 【详解】对于A，若表示椭圆，则，解得或，A错； 对于B，当时，，此时方程表示焦点在x轴上的双曲线，B对； 对于C，当时，方程，此时，则双曲线的焦距为，C对； 对于D，若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，D对. 故选：BCD 20．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（    ） A．苦为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC 【分析】利用二元二次方程与选项中曲线方程的结构特征，得到对应的不等式，解之即可得解. 【详解】因为方程，即所表示的曲线为， 对于A，若为椭圆，则，且，故A错误； 对于B，若为双曲线，则，或，故B正确； 对于C，当，即时，曲线为圆，故C正确； 对于D，若为焦点在轴上的椭圆，则，，故D错误. 故选：BC. 考点六　利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 21．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 22．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_______． 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义，结合点共线即可求解. 【详解】双曲线，则，，，，，圆的圆心为，半径，在双曲线的左支上，，， 所以，根据几何性质可知，,故的最小值是2，当且仅当四点共线，且位于之间时，取到等号， 所以的最小值是． 故答案为：6．    24．（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 25．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 26．（25-26高二上·江苏盐城·期中）过点的直线l与圆相切于点M，与曲线交于点R.若FR的中点为N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题的关键在于利用圆的切线性质和双曲线的定义，结合中点坐标公式，将转化为与双曲线的实轴长有关的表达式求解即可. 【详解】双曲线可化为， 可得， ，故双曲线的右焦点为， 由过点的直线与交于点，若的中点为, 在中，, 又直线与圆相切于点, ，且， 由双曲线的定义可得即 在中，, 因为为的中点，根据题意可知点在线段上，所以, 则. 故选：. 考点七　利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 27．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 28．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 29．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 30．（2026·江西南昌·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 【答案】 【分析】由双曲线定义及勾股定理，可得，从而求得，求得直线的斜率. 【详解】由知，，则. 由双曲线的定义知，. 所以，所以. 所以. 因为直线的倾斜角与互补，所以其斜率为. 31．（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解． 【详解】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 32．（25-26高三·全国·一轮复习）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，结合题设得、，再由正弦边角关系得，最后根据双曲线的定义、参数关系求曲线方程. 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. 考点八　利用定义求双曲线中线段和、差的最值 33．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 34．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 35．（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 36．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 37．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 38．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 考点九　轨迹问题—双曲线 39．（25-26高二上·全国·期末）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据两圆关系及已知有，再由双曲线的定义确定轨迹并写出轨迹方程. 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 40．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 41．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 42．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】由双曲线的定义结合双曲线的方程，即可解得的值. 【详解】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得. 由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，. 故选：A. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 4．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【详解】由题意知，椭圆的标准方程为，可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线方程可化为，且， 所以，解得. 6．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 7．（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出点在右支的右侧，根据双曲线定义以及三点共线可求出的最小值. 【详解】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图：    则. 当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 8．（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先利用双曲线定义得，再结合勾股定理，通过两式运算求出，进而得面积； 方法二：直接用双曲线焦点三角形面积公式，代入即得结果. 【详解】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又， 所以． 故选：C. 9．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】画出图分析可知是等腰三角形，即，为的中点，为的中点，所以，然后结合双曲线的定义求解即可. 【详解】如图，延长，交于点，    因为是的平分线，且，所以与全等， 所以，为的中点，为的中点，所以， 由于双曲线的左、右焦点分别为， 所以，，所以双曲线的定义可知：， 所以，即， 所以. 故选：A 10．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 【答案】AC 【详解】将三点代入曲线中分别得，，，， 若在曲线上，不在曲线上，则，，， 此时为椭圆； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为双曲线； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为椭圆； 故AC正确，BD错误. 11．（25-26高二上·陕西渭南·期末）（多选）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 【答案】BC 【分析】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程的特征即可判断各选项． 【详解】对于A，当方程表示圆时，，无解，故A错误； 对于B，当时，，则表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，当时，，则表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，即，此时方程表示焦点在轴上的双曲线， 故，所以，焦距为6； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，所以，焦距为6．故D错误． 故选：BC． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义可求方程. 【详解】由题意，因为,所以的轨迹是以为焦点的双曲线的一支， 设双曲线的方程为，则，所以； 故方程为. 13．（25-26高二上·全国·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 【答案】1 【分析】根据双曲线的定义写出与，然后代入求解，利用向量数量积运算即可求解. 【详解】由题可知,所以，， 所以由余弦定理 . 所以. 故答案为：1. 14．（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 15．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.求点的轨迹的方程； 【答案】 【分析】由题可得，由，化简即可求得点的轨迹的方程. 【详解】，，动点关于轴的对称点为， 所以得，且， ，， 直线与的斜率之积为. 所以， 整理得曲线. 16．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知双曲线经过点和． (1)求的方程； (2)点在上，且点在第一象限， （i）设是的焦点，若，求的周长； （ii）点，若，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由点的坐标代入双曲线方程求得即可； （2）（i）由双曲线的定义得到，结合，进而可求解；（ii）设坐标为，，通过在双曲线上，和向量夹角公式列出等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：， 解得， 即双曲线方程为：； （2） （i）由（1）设， 则，又， 所以 所以 所以 所以， 所以的周长为； （ii）设坐标为， 则， 由题意，即， 又， 得 即， 平方得， 即， 即 即， 代入，可得，又， 解得， 即点的纵坐标. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程 知识点1：双曲线的定义 文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 【注意】(1)常数要小于两个定点间的距离． (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 用待定系数法求双曲线方程的步骤． (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 知识点2：方程表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 知识点3：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【注意】(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 记忆口诀：“焦点跟着正项走”． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c满足c2＝a2＋b2． 考点一　双曲线的定义及辨析 考点二　根据方程表示双曲线求参数 考点三　双曲线标准方程的求解 考点四　根据双曲线方程求a、b、c 考点五　双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征 考点六　利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 考点七　利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 考点八　利用定义求双曲线中线段和、差的最值 考点九　轨迹问题—双曲线 考点一　双曲线的定义及辨析 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 2．（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 3．（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 4．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 考点二　根据方程表示双曲线求参数 5．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 6．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南郑州·期末）（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 考点三　双曲线标准方程的求解 9．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，关于直线的对称点分别是，，. (1)求以，为焦点，且过点P的双曲线的标准方程； (2)求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程. 11．（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 考点四　根据双曲线方程求a、b、c 13．（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 14．（25-26高二上·上海闵行·期末）已知双曲线，且，那么正实数______. 15．（25-26高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为______. 考点五　双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征 17．（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 19．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 20．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（    ） A．苦为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 考点六　利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 21．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_______． 24．（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 25．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 26．（25-26高二上·江苏盐城·期中）过点的直线l与圆相切于点M，与曲线交于点R.若FR的中点为N，则（    ） A． B． C． D． 考点七　利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 27．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 28．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 29．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·江西南昌·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 31．（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 32．（25-26高三·全国·一轮复习）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 考点八　利用定义求双曲线中线段和、差的最值 33．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 34．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 35．（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 37．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 38．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 考点九　轨迹问题—双曲线 39．（25-26高二上·全国·期末）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 40．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 6．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 8．（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 10．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 11．（25-26高二上·陕西渭南·期末）（多选）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 12．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 13．（25-26高二上·全国·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 14．（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 15．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.求点的轨迹的方程； 16．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知双曲线经过点和． (1)求的方程； (2)点在上，且点在第一象限， （i）设是的焦点，若，求的周长； （ii）点，若，求点的纵坐标． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $