3.2.2函数的奇偶性导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“函数的奇偶性”，通过“温故”环节回顾函数最值定义及求法搭建学习支架，自然过渡到“知新”环节对奇偶性定义、图象对称特征及判断步骤的探究，形成前后知识的紧密衔接。 融入数学史内容介绍欧拉对奇偶性的研究及对称之美，培养学生数学眼光中的审美与创新意识，通过规范的判断步骤训练逻辑推理能力，课前自测及详细解析助力学生用数学语言表达和解决问题，提升自主学习效率与核心素养。

3.2.2函数的奇偶性 预习提要 1.回顾函数的最值； 2.阅读课本P82—P85内容，自主探究函数的奇偶性，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1． 函数最大值定义：设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对任意，都有； （2）存在，使得. 那么称是函数的最大值. 2．函数最小值定义：设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对任意，都有； （2）存在，使得. 那么称是函数的最小值. 3．求函数在闭区间上最值的方法：先判断函数在上的，再计算区间和处的函数值，最后比较得出最大值和最小值. 4．若函数在上是增函数，则最大值为，最小值为； 若函数在上是减函数，则最大值为，最小值为. 二、知新 1．偶函数定义：设函数的定义域为，如果对内一个，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 2．奇函数定义：设函数的定义域为，如果对内一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 3．偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称. 4．判断函数奇偶性的前提条件：函数的定义域必须关于对称，否则函数既不是奇函数也不是偶函数. 5．判断函数奇偶性的步骤： （1）先求函数的，判断是否关于原点对称； （2）计算； （3）比较与的关系：若，则为函数；若，则为函数. 课前自测 1.函数( ). A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 2.已知是奇函数，当时，，当，( ) A. B. C. D. 3.已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知a，b为实数，且函数是偶函数，则________. 反思 自古以来，数学家和科学家都十分推崇＂对称之美＂.早在古希腊时期，人们就发现圆、正方形等对称图形拥有最稳定、最优美的性质，而函数奇偶性，就是数学家将几何对称转化为代数规律的伟大成果，由欧拉系统整理并正式纳入函数体系. 欧拉在研究幂函数图象时发现：有些函数图象关于y轴对称，有些关于原点对称.他根据幂次数的奇偶特点，首次提出＂偶函数＂，＂奇函数＂的名称，并给出严格代数定义：满足 的函数为偶函数，满足的函数为奇函数.欧拉总结出核心规律，完美打通数形结合，偶函数：自变量取相反数，函数值不变，图象左右对称，计算、研究只需分析右半边区间即可；奇函数：自变量取相反数，函数值也互为相反数，图象中心对称，正负区间变化规律完全相反.同时他特别强调一个极易被忽略的前提：函数具有奇偶性的首要条件是定义域关于原点对称.若定义域不对称，无论图象多像对称，都不是奇函数或偶函数. 答案及解析 一、温故 1.（1）；（2） 2．（1）；（2） 3．单调性；端点；顶点（极值点） 4． 二、知新 1．任意； 2．任意； 3．轴；原点 4．原点 5．（1）定义域；（2）；（3）偶；奇 课前自测 1.答案：B 解析：函数的定义域为R，关于原点对称， 又，即， 所以函数为偶函数.故选：B. 2.答案：B 解析：是定义在R上的奇函数，故有， 任取，则， 当时，，， ，故选：B. 3.答案：C 解析：由题意得，，因为， 所以， 即，两式相加得. 因为，，所以， 设，则在上单调递增， 则有或或解得或或，所以.故选C. 4.答案：4 解析：因为函数是偶函数， 所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于y轴对称， 所以，且，所以. 故答案为：4. 学科网（北京）股份有限公司 $