3.2.2 奇偶性的概念 第一课时 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数奇偶性概念，涵盖定义、图象特征及判断方法。通过梳理函数性质引入，以核心知识填空、常见函数奇偶性表格为支架，衔接函数单调性等旧知，帮助学生构建概念基础。 资料特色在于分层训练与方法总结，典例含解析式、抽象函数等题型，结合图象补全培养直观想象，通过参数求解等综合模型提升逻辑推理，分层习题满足不同学生需求，助力高效掌握判断方法，发展数学思维。

3.2.2奇偶性 第一课时 奇偶性的概念 【学习目标】 ①理解奇函数、偶函数的定义； ②了解奇函数、偶函数图象的特征； ③掌握判断函数奇偶性的方法； ④借助奇（偶）函数的特征，培养直观想象素养； ⑤借助函数奇、偶性的判断方法，培养逻辑推理素养. 【学习重点】 ①掌握奇函数、偶函数的定义与图象对称特征； ②熟练运用定义、图象判断函数奇偶性，并会借助奇偶性求函数值、补全函数图象、求解含参函数参数. 【学习难点】 ①准确理解奇偶定义中 “定义域全体 x 均成立” 的抽象要求； ②灵活处理分段函数、抽象函数、“奇函数 + 常数” 等综合模型的推导与计算. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.偶函数 （1）定义：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. （2）图象特征：图象关于轴对称. 2.奇函数 （1）定义：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. （2）图象特征：图象关于原点对称 3.常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 当时，是奇函数；当时，是非奇非偶函数 反比例函数 奇函数 二次函数 当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数 二、典例精析 题型1 判断函数的奇偶性 类型1 由解析式判断函数奇偶性 例1．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 思路分析：先求定义域判断是否关于原点对称，再看与关系判断. 规范解答： (1)由题意得的定义域为， 因为，都有， 且 所以是奇函数； (2)的定义域为，当时，， 所以，既不是奇函数也不是偶函数； (3)当时，，则， 当时，，则， 所以是偶函数．． 方法总结 （1）求定义域：定义域不关于原点对称直接判定非奇非偶，否则转入（2）或（3）； （2）普通函数：直接写出，变形对比、； （3）分段函数奇偶性：分别在一段中取，保证落在另一段，再选对应分段解析式计算,验证其与、的关系. 类型2 抽象函数奇偶性的判断 例2．定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 思路分析： （1）对取特殊值，令，代入条件等式直接算出； （2）定义域为，已经关于原点对称；令，构造出，推导出与的关系式，依据定义判断奇偶性. 规范解答： （1）令，则. （2）函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数. 方法总结：抽象函数奇偶性的判定（核心手段：赋值法.赋值方向：已知值、未知值） （1）确认定义域是否关于原点对称； （2）恰当赋值：赋值出现与，如果还有，则需先赋值求. （3）对比定义给结论. 题型2 奇、偶函数的图象及应用 例3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 思路分析： （1）奇函数图象关于原点中心对称，把y轴左侧图像绕原点旋转，就得到右侧图象； （2）观察完整图象，看从左到右下降的区间； （3）观察完整图象，找到图像在轴上方部分对应的范围. 规范解答： （1）因为是R上的奇函数，所以它的图象关于原点成中心对称，把y轴左侧图像绕原点旋转，就得到右侧图象 函数图象如下： （2）由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图象知：使的取值集合为； 方法总结：巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称； （2）求解：根据奇、偶函数的对称性，可由函数的部分图象画出全部图象，有了图象，可以直观研究函数的性质. 题型3 利用奇偶性求函数值 例4（1）若函数是偶函数，定义域为，则______，______； （2）已知，且，则______. 思路分析： （1）由奇偶函数定义域的特点及多项式函数奇偶性的系数特点求解； （2）构造奇函数，利用奇函数的性质求解. 规范解答： （1） 因为偶函数定义域为，所以，解得， 此时定义域为，符号要求； 因为为偶函数，所以一次项系数，此时， ，满足偶函数. （2）令，则为奇函数， 所以，又， 所以，又，所以， 解得. 方法总结 1. 带参数的偶函数（多项式） ①区间定义域要成为奇偶函数，定义域必须满足（端点互为相反数）； ②多项式函数为偶函数：所有奇次项系数为 0；多项式为奇函数：所有偶次项、常数项为 0。 2. “奇函数 + 常数” 模型（第 (2) 题模板） 形如，是奇函数，有恒等式：. 本题：，直接代入，，快速得到. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：对于A：的定义域为，函数为非奇非偶函数，A错误； 对于B：的定义域为R，满足，函数为偶函数， 当时，单调递增，符合题意，B正确； 对于C：在上单调递减，C错误； 对于D：在上单调递减，D错误. 2．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图象，可得， 所以. 故选：A. 3．如图，给出奇函数的局部图象，则的值为（    ） A． B．7 C．5 D． 答案：A 解析：依题意，是奇函数， 结合图象可知. 故选：A 4．已知函数同时具有下列两个性质：是偶函数；②在上单调递增，则的解析式可以为___________ 答案：（答案不唯一）. 解析：取，函数定义域为， 因为，所以函数是偶函数， 对称轴为轴且开口向上，所以在上单调递增， 符合题设条件. 5．以下关于函数的说法中，①；②；③的定义域关于原点对称；④图象关于轴对称；⑤图象关于原点对称．若函数为奇函数，则满足______；若函数为偶函数，则满足______． 答案： ①③⑤ ②③④ 解析：由奇函数的定义和性质可知，若函数为奇函数，是指定义域关于原点对称， 对于定义域内的任意，都有，其图象关于原点对称，所以满足①③⑤； 由偶函数的定义和性质可知，若函数为偶函数，是指定义域关于原点对称， 对于定义域内的任意，都有，其图象关于轴对称，所以满足②③④； 故答案为：①③⑤；②③④. 6．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是______． 答案：0 解析：偶函数的图象关于轴对称，的图象与轴的四个交点也关于轴对称．若轴右侧的两个交点的横坐标为，，则轴左侧的两个交点的横坐标为，，方程的所有实根之和为0． 7．设函数是奇函数，且的图像与轴有三个不同交点，，，则_________． 答案： 解析：因为函数是奇函数，且的图像与轴有三个不同交点，， 不妨设，所以有与关于原点对称，为原点. 所以有，、 所以. 8．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 解析：（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 【能力提升】（多数必做） 9．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D．3 答案：A 解析：法一：因分别是定义在上的偶函数和奇函数， ，有， 所以. 法二：因分别是定义在上的偶函数和奇函数， 且， 令，则， 令，则， 则， 又， 解得. 故选：A. 10.已知是奇函数，且，若，则________ 答案： 解析：令，则为奇函数，， 又，所以，又，所以， 所以 或：令，为奇函数，则， 因为，所以， 又，所以 11．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若存在对称中心，则___________． 答案： 解析：设， 则为奇函数， 可得， 由奇函数的定义域关于原点对称可得，解得， 所以， 由可得， 解得，所以. 12．函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 解析：(1)， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. (2) ，为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______. 答案：3 解析：因为为偶函数，所以对任意，有. 当时，. （i）若，则. 由得. 故可以属于. （ii）若，则. 由得，解得. 因此，的元素只可能是. 经验证，当时，为偶函数，此时的元素个数为，且无法再添加其他元素. 故的元素个数最多可能值为. 四、课时小结 （1）基础概念：判断函数奇偶性需先验证定义域关于原点对称，再依据与的关系区分奇函数、偶函数，并熟记常见基础函数的奇偶规律； （2）题型方法：针对解析式、分段、抽象函数判断奇偶，利用对称性补全图象分析性质，结合奇偶特性求解参数、函数值与零点问题是三类核心解题思路； （3）避错总结：做题遵循先看定义域的标准流程，规避定义域、图象对称、分段验证等常见易错点. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2奇偶性 第一课时 奇偶性的概念 【学习目标】 ①理解奇函数、偶函数的定义； ②了解奇函数、偶函数图象的特征； ③掌握判断函数奇偶性的方法； ④借助奇（偶）函数的特征，培养直观想象素养； ⑤借助函数奇、偶性的判断方法，培养逻辑推理素养. 【学习重点】 ①掌握奇函数、偶函数的定义与图象对称特征； ②熟练运用定义、图象判断函数奇偶性，并会借助奇偶性求函数值、补全函数图象、求解含参函数参数. 【学习难点】 ①准确理解奇偶定义中 “定义域全体 x 均成立” 的抽象要求； ②灵活处理分段函数、抽象函数、“奇函数 + 常数” 等综合模型的推导与计算. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.偶函数 （1）定义：一般地，设函数的定义域为，如果，都有________，且____________，那么函数就叫做偶函数. （2）图象特征：图象关于__轴对称. 2.奇函数 （1）定义：一般地，设函数的定义域为，如果，都有________，且____________，那么函数就叫做奇函数. （2）图象特征：图象关于____对称 3.常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 当______时，是奇函数；当______时，是非奇非偶函数 反比例函数 __函数 二次函数 当______时，是偶函数；当______时，是非奇非偶函数 二、典例精析 题型1 判断函数的奇偶性 类型1 由解析式判断函数奇偶性 例1．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 方法总结 （1）求定义域：定义域不关于原点对称直接判定非奇非偶，否则转入（2）或（3）； （2）普通函数：直接写出，变形对比、； （3）分段函数奇偶性：分别在一段中取，保证落在另一段，再选对应分段解析式计算,验证其与、的关系. 类型2 抽象函数奇偶性的判断 例2．定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 方法总结：抽象函数奇偶性的判定（核心手段：赋值法.赋值方向：已知值、未知值） （1）确认定义域是否关于原点对称； （2）恰当赋值：赋值出现与，如果还有，则需先赋值求. （3）对比定义给结论. 题型2 奇、偶函数的图象及应用 例3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 方法总结：巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称； （2）求解：根据奇、偶函数的对称性，可由函数的部分图象画出全部图象，有了图象，可以直观研究函数的性质. 题型3 利用奇偶性求函数值 例4（1）若函数是偶函数，定义域为，则______，______； （2）已知，且，则______. 方法总结 1. 带参数的偶函数（多项式） ①区间定义域要成为奇偶函数，定义域必须满足（端点互为相反数）； ②多项式函数为偶函数：所有奇次项系数为 0；多项式为奇函数：所有偶次项、常数项为 0。 2. “奇函数 + 常数” 模型（第 (2) 题模板） 形如，是奇函数，有恒等式：. 本题：，直接代入，，快速得到. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．如图，给出奇函数的局部图象，则的值为（    ） A． B．7 C．5 D． 4．已知函数同时具有下列两个性质：是偶函数；②在上单调递增，则的解析式可以为___________ 5．以下关于函数的说法中，①；②；③的定义域关于原点对称；④图象关于轴对称；⑤图象关于原点对称．若函数为奇函数，则满足______；若函数为偶函数，则满足______． 6．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是______． 7．设函数是奇函数，且的图像与轴有三个不同交点，，，则_________． 8．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【能力提升】（多数必做） 9．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D．3 10.已知是奇函数，且，若，则________ 11．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若存在对称中心，则___________． 12．函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______. 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $