3.3幂函数（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.3幂函数 3.3幂函数 学 习 目 标 1 2 3 理解幂函数的概念，掌握常见幂函数的图像与性质，能利用幂函数性质比较大小. 通过画幂函数图像、探究性质，体会数形结合思想，提升观察归纳能力. 感受幂函数图像的变化规律，激发探究兴趣，养成严谨的数学思维习惯. 新课引入 情境1：请同学们写出下列示例中的函数关系，思考这些函数有什么共同特点？ (1)如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那她需要支付的金额为？ (2)如果正方形的边长为,那么正方形的面积表式为？ (3)如果立方体的棱长为，那么立方体的体积表式为？ (4)如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长表示为？ (5)如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度表示为？ 探究一：幂函数的概念 新知探究 （1）都具有幂的形式； （2）均是以幂的底为自变量； （3）幂的指数都是常数； （4）自变量前的系数为1． 把自变量全部用来表示,函数值用来表示,则它们的函数关系式是: 共同特征： 都是形如的函数 探究一：幂函数的概念 新知探究 形如：, , , . 3. 取值可以是任何实数 一、幂函数定义 一般地，函数 叫做幂函数( ) ，其中 为自变量， 为常数。 注：1. 中前的系数为1，且后面没有常数项 2. 定义域与的取值有关 即时训练 辨析1.下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？ (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; 【答案】 (1),(4) 辨析2.(1) 在函数,,,中，幂函数的个数为（ ) (2) 若函数是幂函数，且满足，则的值等于___________. 【答案】 (1)(2) 幂函数的判断 技巧点拨 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，需满足： ①指数为常数， ②底数为自变量， ③的系数为1. 形如，，…形式的函数都不是幂函数. (2)幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习. 探究二：幂函数的图象与性质 新知探究 思考1：结合前面学习函数的经验，应该如何研究, , ,， 这五个幂函数？ 提示：先求函数的定义域 画出函数图象 研究函数的 单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等. 探究二：幂函数的图象与性质 新知探究 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 共性                     问题1：要研究幂函数的性质，我们可以从以下五个常见幂函数的性质入手，请在同一坐标系中画出它们的函数图象，小组合作完成下表： 探究二：幂函数的图象与性质 新知探究 函数 图像 定义域 值域 单调性 奇偶性 公共点 R R 在R上单调递增 奇函数 R [0，+∞） (-∞,0]上单调递减，[0,+∞）单调递增 偶函数 R R 在R上单调递增 奇函数 [0，+∞） [0，+∞） 在[0，+∞）上单调递增 非奇非偶函数 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)上单调递减，(0,+∞)上单调递减 奇函数 （1，1） O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 O x y 1 1 -1 -1 探究二：幂函数的图象与性质 新知探究 问题2：观察它们在同一直角坐标系中的图象，你还能发现哪些共性和个性?                     (1)幂函数图象不过第几象限？ (2)幂函数图象恒过哪些定点？ (3)幂函数的奇偶性如何？ 当为奇数时，幂函数为奇函数； 当为偶数时，幂函数为偶函数． 时图象恒过点(1,1). 第四象限 时图象恒过点(1,1), (0,0); 探究二：幂函数的图象与性质 新知探究 (4)幂函数在第一象限的单调性如何？ ，在第一象限内递增； 时,图象下凹 ; 时,图象上凸. ，在第一象限内递减. ,指大图高                     幂函数的一般性质 技巧点拨 (1) 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，且图象都过点(1，1). (2) 当α>0时，幂函数的图象通过原点，且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3) 当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 典例精讲 例1：判断证明幂函数是增函数. 【分析】利用单调性的定义证明即可，注意定义域优先原则。 证明：函数的定义域是. ,且,有 ∵,, ∴,即幂函数是增函数. 即时训练 题型1 幂函数的概念问题 1、判断已知是幂函数，则________. 解：∵是幂函数 ∴， 得：或 2、已知幂函数在上单调递增，则等于（ ）. 【答案】 即时训练 题型2 幂函数的图象问题 1、若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当为何值时，(1) 解：∵设,则 ∴=2.即 同理可得， 画出和的函数图象， 则由图象可知：当或时，； 当时，； 当时，. 即时训练 题型2 幂函数的图象问题 2、若四个幂函数图象在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ）. 【答案】 注意：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列（指大图高）。 即时训练 题型3 比较幂的大小 1、比较下列各组数中两个数的大小. ，； ，，； ，； 解：(1)∵函数在区间[0，＋∞)上是增函数， 又， 所以＞. (2)∵函数在区间[0，＋∞)上是增函数， 又 2.1＞2＞1.8. 所以. 即时训练 题型3 比较幂的大小 1、比较下列各组数中两个数的大小. ，； ，，； ，； 解：(3)∵函数在区间[0，＋∞)上是增函数， 又1＝， ＜1，所以＜＝1. 因为函数，在区间[0，＋∞)上是增函数， 又＝1，3＞1，所以＞＝1. 于是＜1＜. 比较幂大小的三种常用方法 技巧点拨 即时训练 题型3 比较幂的大小 比较下列各组数中两个数的大小. 与； 与. 解：(1)∵幂函数在上是单调递减的， 又，∴ (2)∵,幂函数在上是单调递增的， 且，∴,即 即时训练 题型4 综合问题 1、已知幂函数图象经过点，求满足条件的实数的取值范围. 解：∵是幂函数 ∴设 ∵该函数图象经过点, ∴，即. 由，得，解之得 ∴实数的取值范围为 即时训练 题型4 综合问题 2、已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若，求实数的值. 解：(1)∵幂函数为偶函数, ∴，解得（舍去）或 ∴,∴ . (2)由，可得. 即,解得或 课堂小结 感谢聆听! $