3.3 幂函数-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图象及性质，通过“逐点清”模块（概念、图象、性质）搭建学习支架，从定义辨析到五个常见幂函数图象特征，再到性质归纳，衔接紧密，帮助学生系统掌握知识脉络。 其亮点是“多维理解+微点练明”结合，通过表格对比性质、例题辨析（如判断幂函数、比较幂值）培养数学思维，利用单调性解决不等式问题提升运算能力，分层练习巩固知识，助力学生形成逻辑推理习惯，也为教师提供清晰教学路径。

幂函数 3.3 课时目标 1.掌握幂函数的概念及幂函数y=xα的图象与性质. 2.会根据幂函数的单调性比较幂值大小及图象与性质判断函数图象. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　幂函数的概念 逐点清(二)　幂函数的图象 逐点清(三)　幂函数的性质 4 课时检测 逐点清(一)　幂函数的概念 01 1.幂函数的概念 多维理解 幂函数的定义 一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数 幂函数的特征 (1)xα的系数为1； (2)xα的底数是自变量； (3)xα的指数为常数 y=xα 2.判断幂函数的依据 判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是y=xα(α为常数)的形式，即函数的解析式是不是一个变量的幂的形式.反过来，若一个函数是幂函数，则该函数也必符合y=xα(α为常数)的形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件. 1.在函数y=，y=2x2，y=x2+x，y=1中，幂函数的个数为(　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 微点练明 解析：∵y==x-2，∴是幂函数；∵y=2x2的系数为2，∴不是幂函数；y=x2+x是两项和的形式，不是幂函数；y=1=x0(x≠0)，可以看出，常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0，1)，∴常函数y=1不是幂函数. 2.已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数，则a=(　 ) A.-1或2 B.-2或1 C.-1 D.1 √ 解析：因为f(x)=(a2-a-1)为幂函数，所以a2-a-1=1.所以a=2或a=-1.又a-2≠0，所以a=-1. 3.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)=______.  16 解析：设f(x)=xα，∵f(4)=16，∴4α=16，解得α=2. ∴f(x)=x2.∴f(-4)=(-4)2=16. 逐点清(二)　幂函数的图象 02 五个常见幂函数的图象 多维理解 |微|点|助|解| (1)幂函数图象在第一象限的变化规律 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，+∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 1.函数y=的图象是(　 ) 微点练明 解析：∵函数y=是非奇非偶函数，故排除A、B选项.又>1，故选C. √ 2.已知幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图 所示，则 (　 ) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1，0<m<1 C.-1<n<0，m>1 D.n<-1，m>1 √ 解析：在(0，1)内取x0，作直线x=x0，与各图象有交点 如图所示.则由“点低指数大”，知0<m<1，n<-1. 3.若四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐标 系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是 (　 ) A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c √ 解析：由题图，知在第一象限内，x=1的右侧部分的图象由下至上，幂指数由小到大，所以a>b>c>d. 逐点清(三)　幂函数的性质 03 五个常见幂函数的性质 多维理解 项目 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R _______ _______ 值域 R [0，+∞) R _______ _______ 奇偶性 奇 偶 ____ ________ ___ 单调性 增函数 在[0，+∞)上_____ _____，在(-∞，0]上_________ ___函数 ____函数 在(0，+∞)上____ _____，在(-∞，0)上单调递减 [0，+∞) {x|x≠0} [0，+∞) {y|y≠0} 奇 非奇非偶 奇 单调 递增 单调递减 单调 递减 增 增 |微|点|助|解| 一般幂函数的性质 (1)当α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增. (2)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当x∈(0，1)时，x2>x3. (　 ) (2)y=与y=的定义域相同. (　 ) (3)若y=xα在(0，+∞)上单调递增，则α>0. (　 ) 微点练明 √ × √ 2.幂函数y=f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)(　 ) A.是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增 B.是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减 C.是奇函数，且在(0，+∞)上单调递减 D.既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增 √ 解析：由题意设f(x)=xn，因为函数f(x)的图象经过点(3，)，所以=3n，解得n=，即f(x)=，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，故选D. 3.已知a=，b=，c=2，则(　 ) A.b<a<c　　　　　　 B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b √ 解析：a==，b=，c=2=.∵y=在第一象限内单调递增，又5>4>3，∴c>a>b. 4.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)是偶函数，则m的值为______.  -1 解析：∵f(x)为幂函数，∴m2-3m-3=1，解得m=4或m=-1. 当m=4时，f(x)=x3是奇函数，不合题意，舍去； 当m=-1时，f(x)=x-2是偶函数，∴m=-1. 5.已知幂函数f(x)=，若f(10-2a)<f(a+1)，则a的取值范围是________.  (3，5] 解析：因为f(x)= (x≥0)，易知f(x)在[0，+∞)上为增函数， 又f(10-2a)<f(a+1)， 所以解得所以3<a≤5. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列函数不是幂函数的是 (　 ) A.y= B.y=x3 C.y=3x D.y=x-1 16 √ 解析：只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，则a+b等于 (　 ) A.2 B.1 C. D.0 16 √ 解析：因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，所以a=1，-b+1=0，即a=1，b=1，则a+b=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　 ) 16 解析：因为y=的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的.函数y=-1的图象可看作是由y=的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示)，则y=-1的图象关于x轴对称的图象即为选项B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.函数y=x-2在区间上的最大值是(　 ) A. B.-1 C.4 D.-4 16 √ 解析：因为函数y=x-2在区间上单调递减，所以当x=时有最大值4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.函数f(x)=(a-b)+b-3是幂函数，则下列结论正确的是(　 ) A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)=f(b) D.以上都不对 16 √ 解析：∵f(x)为幂函数，∴∴∴f(x)=， ∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.任意两个幂函数图象的交点个数是 (　 ) A.最少一个，最多三个 　　　B.最少一个，最多两个 C.最少0个，最多三个 　　　D.最少0个，最多两个 16 √ 解析：因为所有幂函数的图象都过(1，1)，所以最少有1个交点；当函数为y=x3和y=x时，它们有3个交点，如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，+∞)上单调递增，则m等于 (　 ) A.1 B.2 C.1或3 D.3 16 √ 解析：因为f(x)=x4-m在(0，+∞)上单调递增，所以4-m>0，即m<4.又因为m∈N*，所以m=1，2，3.又因为f(x)=x4-m是奇函数，所以4-m是奇数，所以m=1或m=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)下列关于幂函数y=xα的性质，描述正确的有 (　 ) A.当α=-1时，函数在其定义域上是减函数 B.当α=0时，函数图象是一条直线 C.当α=2时，函数是偶函数 D.当α=3时，函数有一个零点0 16 √ √ 解析：对于A选项，y=在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递减，不能说在定义域上单调递减，故错误.对于B选项，y=x0，x≠0，图象是直线y=1并且除掉点(0，1)，故错误.对于C选项，y=x2，定义域为R，是偶函数，故正确.对于D选项，y=x3，只有一个零点0，故正确.故选CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点，则幂函数f(x)具有的性质是(　 ) A.在其定义域上为增函数 B.在(0，+∞)上单调递减 C.奇函数 D.定义域为R 16 √ √ 解析：设幂函数f(x)=xα(α为常数)，因为幂函数图象过点，所以f(x)=，所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(-∞，0)，(0，+∞)上均单调递减. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知函数f(x)=，若0<a<b<1，则下列各式正确的是(　 ) A.f(a)<f(b)<f<f B.f<f<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f<f D.f<f(a)<f<f(b) 16 √ 解析：因为函数f(x)=在(0，+∞)上单调递增，又0<a<b<1<<，所以f(a)<f(b)<f<f. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是__________.  16 (-∞，0) 解析：因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y=xα在(0，+∞)上单调递减.故α<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)函数y=的单调递减区间为_________.  16 (-∞，0) 解析：∵幂函数y=是偶函数，关于y轴对称，且x>0时，y=单调递增，∴当x<0时，y=单调递减. ∴y=的单调递减区间是(-∞，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，则当x∈___________________时，有f(x)>g(x).  16 (-∞，0)∪(1，+∞) 解析：设f(x)=xα，g(x)=xβ，由题意，得2=()α，即α=2，-=(-2)β，即β=-1.所以f(x)=x2，g(x)=x-1.画出f(x)与g(x)的图象如图所示. 从图中可看出当x<0或x>1时，f(x)>g(x). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(5分)为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是______.  16 9 解析：由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意得2=4α，解得α=，则y=.由=3，得x=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知幂函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1在(0，+∞)上单调递减，m∈R. (1)求f(x)的解析式；(4分) 16 解：由函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1为幂函数得m2+3m-9=1，解得m=2或m=-5，又函数在(0，+∞)上单调递减， 则m-1<0，即m<1，所以m=-5，f(x)=x-6=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若(2-a>(2a-1，求实数a的取值范围.(6分) 16 解：由(1)得m=-5，所以不等式为(2-a>(2a-1， 设函数g(x)=，则函数g(x)的定义域为(0，+∞)， 且函数g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以 解得1<a<2，所以实数a的取值范围是(1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm(m∈R)，且f(x)图象不过原点. (1)求出f(x)的表达式，并写出它的单调区间；(5分) 16 解：由m2-m-1=1，解得m=-1或m=2， 又f(x)图象不过原点，故f(x)=，单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，无单调递增区间. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)记g(x)=f(x)-2ax(a∈R)，判断函数g(x)的奇偶性，并证明.(5分) 16 解：函数g(x)是定义域上的奇函数， 证明：g(x)=-2ax，定义域为D={x|x≠0}， 任取x∈D，都有-x∈D，即定义域关于原点对称， 又由g(-x)=-+2ax=-g(x)， 所以函数g(x)是定义域上的奇函数. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $