5.4用一次函数解决问题（第2课时用一次函数解决问题（下））（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

第5章 一次函数 5.4用一次函数解决问题 第2课时 用一次函数 解决问题（下） 学 习 目 标 1 能用一次函数解决v-t/s-t图象问题 2 能用一次函数解决相遇/追及问题 3 能用一次函数解决几何问题 问题 新知探究 某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择。汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y元表示运输的费用，x km表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示。你认为哪种运输方式花费较少？ 解：观察图象可以发现， 当x = 80时，两个函数图象相交于一点， 此时两种运输方式费用相等，都是570元； 问题 新知探究 当0 ≤ x < 80时，表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输方式的函数图象的下方， ∴当里程小于80km时，汽车运输方式花费较少； 当x > 80时，表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输方式的函数图象的上方， ∴当里程大于80km时，火车运输方式花费较少。 典例分析 例2 如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB = 8m， BC = 6m。动态效果设计如下：动点P从点A出发沿 长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，逐渐 展开主体广告画面。 ( 1 ) 写出屏幕展开面积S m2关于点P的运动时间t s的 函数表达式，并画出函数图象； ( 2 ) 当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积。 典例分析 例2 AB = 8m，BC = 6m。动点P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动。 ( 1 ) 写出屏幕展开面积S m2关于点P的运动时间t s的函数表达式，并画出函数图象； 解：( 1 ) 当点P在边AB上运动时， S = AD × AP = × 6 × 2t = 6t。 此时，t的取值范围是0 ≤ t ≤ 4。 典例分析 例2 AB = 8m，BC = 6m。动点P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动。 ( 1 ) 写出屏幕展开面积S m2关于点P的运动时间t s的函数表达式，并画出函数图象； 当点P在边BC上运动时，S = ( BP + AD ) × AB = ( 2t - 8 + 6 ) × 8 = 4 ( 2t - 2 ) = 8t - 8。 此时，t的取值范围是4 ≤ t ≤ 7。 ∴函数表达式为当0 ≤ t ≤ 4时，S = 6t； 当4 ≤ t ≤ 7时，S = 8t - 8。函数图象如图所示。 典例分析 例2 ( 1 ) 函数表达式为当0 ≤ t ≤ 4时，S = 6t； 当4 ≤ t ≤ 7时，S = 8t - 8。 ( 2 ) 当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积。 ( 2 ) 当S = × 8 × 6 = 16 ( m2 )时，开始播放广告语，此时点P在边AB上运动， 则6t = 16，解得t = 。 当t = + 3 = ( s )时，广告语播放结束，此时点P在边BC上运动， 则S = 8 × - 8 = ( m2 )。 典例分析 例2 ( 1 ) 函数表达式为当0 ≤ t ≤ 4时，S = 6t； 当4 ≤ t ≤ 7时，S = 8t - 8。 ( 2 ) 当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积。 电子屏幕未展开的面积为6 × 8 - = ( m2 )。 ∴电子屏幕未展开的面积为m2。 题型探究 例1 下图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，其中横轴表示运行时间，纵轴表示运行速度。 ( 1 ) 在3～10min这个时间段列车运行的路程是多少？ ( 2 ) 列车发车12min时的速度是多少？ v-t图象 题型一 分析：根据列车运行状况的图象， 当0 ≤ t ≤ 3及10 < t ≤ 14时，速度v是时间t的一次函数； 当3 < t ≤ 10时，速度v是常数。 解：由图可知：( 1 ) 当3 < t ≤ 10时 ，v = 5 km/min。 在3～10min这个时间段列车运行的路程为5 × ( 10 - 3 ) = 35 ( km )。 题型探究 例1 下图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，其中横轴表示运行时间，纵轴表示运行速度。 ( 1 ) 在3～10min这个时间段列车运行的路程是多少？ ( 2 ) 列车发车12min时的速度是多少？ v-t图象 题型一 ( 2 ) 当10 < t ≤ 14时，设函数表达式为v = kt + b。 函数图象经过点( 10，5 )和( 14，0 ) 。 将这两个点坐标分别代入函数表达式， 得，解得， 题型探究 例1 下图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，其中横轴表示运行时间，纵轴表示运行速度。 ( 1 ) 在3～10min这个时间段列车运行的路程是多少？ ( 2 ) 列车发车12min时的速度是多少？ v-t图象 题型一 ∴当10 < t ≤ 14 时， v关于t的函数表达式为：v = -1.25t + 17.5。 当t = 12时 ，v = -1.25 × 12 + 17.5 = 2.5 ( km/min )。 ∴列车发车12min时的速度是2.5 km/min。 题型探究 例2 小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟， 他离家的路程s ( 千米 )与所经过的时间t ( 分 )关系如图。有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米/分钟； ②a的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍； ④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米。 其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 单人s-t图象 题型二 解：学校到书店速度为( 3.5 - 2 ) ÷ 10 = 0.15 ( 千米/分钟 )，∴①正确； a = 10 + 5 = 15，∴②正确； t ( 分钟 ) O 10 2 3.5 s ( 千米 ) 20 a 题型探究 例2 ①学校到书店速度为0.15千米/分钟；√ ②a的值为15；√ ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍； ④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米。 其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 单人s-t图象 题型二 从书店到家的速度为2 ÷ ( 20 - 15 ) = 0.4 ( 千米/分钟 )， 0.4 ÷ 0.15 = ， ∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍，∴③不正确； t ( 分钟 ) O 10 2 3.5 s ( 千米 ) 20 a 题型探究 例2 ①学校到书店速度为0.15千米/分钟；√ ②a的值为15；√ ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；× ④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米。 其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 单人s-t图象 题型二 当小明离家的路程为0.8千米时，得2 - 0.4 ( t - 15 ) = 0.8， 解得：t = 18， ∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米，∴④正确。 t ( 分钟 ) O 10 2 3.5 s ( 千米 ) 20 a C 题型探究 例3 甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城。在整个行程中，两车离开A城行驶的路程y与时刻t的对应关系如图所示。 下列说法错误的是（　　） A．甲车的行驶速度为 60 km/h B．乙车比甲车晚出发1小时，早到1小时 C．两车在7：30相遇，此时距离A城150km D．乙车的行驶速度为75km/h 双人s-t图象 题型三 解：甲车的行驶速度为300 ÷ ( 10 - 5 ) = 60 ( km/h )，故A正确，不合题意； 乙车比甲车晚出发1小时，早到1小时，故B正确，不合题意； 题型探究 例3 甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城。在整个行程中，两车离开A城行驶的路程y与时刻t的对应关系如图所示。 下列说法错误的是（　　） A．甲车的行驶速度为 60 km/h√ B．乙车比甲车晚出发1小时，早到1小时√ C．两车在7：30相遇，此时距离A城150km D．乙车的行驶速度为75km/h 双人s-t图象 题型三 两车在7：30相遇，此时距离A城60 × ( 7.5 - 5 ) =150 ( km )，故C正确，不合题意； 乙车的行驶速度为300 ÷ ( 9 - 6 ) = 100 ( km/h )，故D错误，符合题意。 D 题型探究 例4 甲学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练。在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动。设甲同学跑步的时间为x ( 秒 )，甲、乙两人之间的距离为y ( 米 )，y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法： ① 甲同学的速度为10米/秒； ② 乙同学的速度为6米/秒； ③ 甲、乙同学在8秒时相遇； ④ t = 12。 正确的个数有 （　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 相遇/追及问题 题型四 题型探究 例4 设甲同学跑步的时间为x ( 秒 )，甲、乙两人之间的距离为y ( 米 )， ① 甲同学的速度为10米/秒； ② 乙同学的速度为6米/秒； ③ 甲、乙同学在8秒时相遇； ④ t = 12。正确的个数有 （　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 相遇/追及问题 题型四 解：∵A、B两地间的距离为80米，甲同学跑完全程用时20秒， ∴甲同学的速度为80 ÷ 20 = 4 ( 米/秒 )，故①错误； 当x = 8时，y = 0，表示甲、乙两人之间的距离为0， ∴两人在8秒时相遇，故③正确； 题型探究 例4 设甲同学跑步的时间为x ( 秒 )，甲、乙两人之间的距离为y ( 米 )， ① 甲同学的速度为10米/秒；× ② 乙同学的速度为6米/秒； ③ 甲、乙同学在8秒时相遇；√ ④ t = 12。正确的个数有 （　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 相遇/追及问题 题型四 设乙同学的速度为v米/秒， 根据相遇时两人路程之和等于总路程，得8( 4 + v ) = 80， 解得：v = 6， ∴乙同学的速度为6米/秒，故②正确； 题型探究 例4 设甲同学跑步的时间为x ( 秒 )，甲、乙两人之间的距离为y ( 米 )， ① 甲同学的速度为10米/秒；× ② 乙同学的速度为6米/秒；√ ③ 甲、乙同学在8秒时相遇；√ ④ t = 12。正确的个数有 （　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 相遇/追及问题 题型四 ∵乙同学的速度大于甲同学的速度， ∴乙同学先到达终点，此时图象出现转折，即t为乙同学跑完全程的时间， ∴t = 80 ÷ 6 = ，故④错误。 B 题型探究 例5 如图所示，在边长为1的正方形ABCD的边上有一个动点P，点P由点A ( 起点 )沿着折线A – B – C – D向点D ( 终点 )移动，设点P移动的路程为x，△DAP的面积为S，试写出S关于x的函数关系式。 几何问题 题型五 解：① 当0 ≤ x ≤ 1时，点P在AB上， ∴S = AD·AP = x； ② 当1 < x ≤ 2时，点P在BC上， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD // BC， ∴点P到AD的距离为定值 1， ∴S = AD·1 = ； 题型探究 例5 如图所示，在边长为1的正方形ABCD的边上有一个动点P，点P由点A ( 起点 )沿着折线A – B – C – D向点D ( 终点 )移动，设点P移动的路程为x，△DAP的面积为S，试写出S关于x的函数关系式。 几何问题 题型五 ③ 当2 < x ≤ 3时，点P在CD上， DP = AB + BC + CD – ( AB + BC + CP ) = 3 – x， ∴S = AD·DP = ( 3 – x ) = x + ； ； 综上，S关于x的函数关系式为： 。 常见题型： v-t/s-t图象问题、相遇/追及问题、几何问题等。 课 堂 总 结 感谢聆听! $