5.5 一次函数与二元一次方程（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版同步教学课件

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程、方程组的关系，课堂导入通过一次函数y=2x-3与二元一次方程2x-y-3=0的互化实例，结合图像上点的坐标与方程解的对应关系，搭建从一次函数到二元一次方程的认知支架。 其亮点在于运用几何直观呈现知识联系，通过函数图像交点推导方程组解培养推理意识，如两列车相遇问题的函数模型分析体现模型意识。典例精析分题型归纳，课后总结系统梳理，帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

第5章 一次函数 5.5 一次函数 与二元一次方程 苏科版 八年级上册 教学目标 01 体会一次函数与二元一次方程的关系 02 体会一次函数与二元一次方程组的关系 一次函数y = 2x - 3可以写成二元一次方程2x - y - 3 = 0的形式； 反过来，二元一次方程2x - y - 3 = 0也可以写成一次函数y = 2x - 3的形式。 01 课堂导入 问 题 观察图中一次函数y = 2x - 3的图象，你能发现图象上点的坐标与二元一次方程2x - y - 3 = 0的解之间有什么关系吗？ 01 课堂导入 点P( 4，5 )在函数图象上，是方程的一个解。 是方程的解， 点( 2，1 )在函数图象上。 事实上，一次函数y = 2x - 3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x - y - 3 = 0的解； 反之，以二元一次方程2x - y - 3 = 0的解为坐标的点都在一次函数 y = 2x - 3的图象上。 01 课堂导入 02 知识精讲 一次函数与二元一次方程： 一次函数y = kx + b的图象上的点的坐标都是二元一次 方程kx - y + b = 0的解； 反之，以二元一次方程kx - y + b = 0的解为坐标的点 都在一次函数y = kx + b的图象上。 讨 论 02 知识精讲 二元一次方程组的解与同一个直角坐标系中一次函数y = 2x - 3，y = x - 的图象交点坐标之间有怎样的关系？ 解：二元一次方程组的解为， 如图，一次函数y = 2x - 3，y = x - 的图象交点坐标为P ( 1，-1)， ∴一次函数y = 2x - 3，y = x - 的图象交点坐标就是二元一次方程组的解。 02 知识精讲 一次函数与二元一次方程组： 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点， 那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。 02 知识精讲 解：( 1 ) 把x = 1代入y = 3x - 1，得y = 2， 把x = 1，y = 2，代入y = kx，得k = 2。 ( 2 ) 由( 1 )知，一次函数y = 3x - 1的图象与正比例函数y = kx的图象交点坐标为( 1，2 )， ∴关于x，y的方程组的解为。 例 已知一次函数y = 3x - 1的图象与正比例函数y = kx ( k为常数，k ≠ 0 )的图象交点的横坐标是1。 ( 1 ) 求k的值； ( 2 ) 写出关于x，y的方程组的解。 探 究 02 知识精讲 A，B两地相距200km，甲列车从A地出发，以240km/h的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发15min后，从B地出发以320km/h的平均速度驶向A地。 如图所示是两列车与A地的距离s ( km )关于时间t ( h )的函数图象。 解：( 1 ) 由题意可知：s甲 = 240t， 当0.25 ≤ t ≤ 0.85时，s乙 = 200 - 320 ( t - 0.25 ) = -320t + 280， 当s甲 = s乙时，240t = -320t + 280，解得：t = 0.5，240 × 0.5 = 120 ( km )， ∴甲列车出发0.5h后与乙列车相遇，此时距A地120km。 请根据图象回答问题： ( 1 ) 甲列车出发多久后与乙列车相遇？此时距A地多远？ ( 2 ) 甲列车出发多长时间内，其到A地的距离比乙列车到A地的距离更近？ 探 究 02 知识精讲 A，B两地相距200km，甲列车从A地出发，以240km/h的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发15min后，从B地出发以320km/h的平均速度驶向A地。 如图所示是两列车与A地的距离s ( km )关于时间t ( h )的函数图象。 ( 2 ) 由图象可知：甲列车出发0.5h内，其到A地的距离比乙列车到A地的距离更近。 请根据图象回答问题： ( 1 ) 甲列车出发0.5h后与乙列车相遇，此时距A地120km。 ( 2 ) 甲列车出发多长时间内，其到A地的距离比乙列车到A地的距离更近？ 03 典例精析 题型一 一次函数与二元一次方程： 例1、下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x - y = 2的解的是（　　） A． B． C． D． 解：由2x - y = 2得：y = 2x - 2， ∴当x = 0，y = -2；当y = 0，x = 1， ∴y = 2x-2与y轴交于点( 0，-2 )，与x轴交于点( 1，0 )。 C 03 典例精析 题型二 一次函数与二元一次方程组： 例2-1、如图，函数y = ax + b和y = kx的图象交于点P，则根据图象可得， 关于x、y的二元一次方程组的解是________。 y = ax + b y = kx O 3 -3 -2 -1 1 1 2 3 P x y 2 03 典例精析 题型二 一次函数与二元一次方程组： 例2-2、已知一次函数y = 3x + 1与y = -x + b的图象交点坐标为( a，-1 )， 则方程组的解是________。 解：∵一次函数y = 3x + 1与y = -x + b的图象交点坐标为( a，-1 )， ∴3a + 1 = -1，解得：a = -， ∴交点坐标为( -，-1 )， ∴方程组的解是。 03 典例精析 题型二 一次函数与二元一次方程组： 例2-3、如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作下列方程组（　　）的解。 A． B． C． D． 解：由图可知：∵直线l1过( 2，3 )，( 0，1 )， ∴直线l1的函数解析式为：y = x + 1， ∵直线l2过( 2，3 )，( 0，-1 )，∴直线l2的函数解析式为：y = 2x - 1， ∴方程组为。 A l1 O 3 -2 -1 1 1 2 3 x y 2 4 5 4 5 -1 l2 03 典例精析 题型三 函数图象——双线问题： 例3、甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行。甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行。设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图。下列说法： ①乙船的速度是40千米/时； ②甲船航行1小时到达B处； ③甲、乙两船航行0.6小时相遇； ④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0 ≤ t ≤ 2.5。 其中正确的说法的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 解：①乙船的速度是120 ÷ 3 = 40 (千米/时)，故①正确； t/小时 O 0.6 60 120 d/千米 3 甲 乙 03 典例精析 题型三 函数图象——双线问题： 例3、①乙船的速度是40千米/时；√ ②甲船航行1小时到达B处； ③甲、乙两船航行0.6小时相遇； ④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0 ≤ t ≤ 2.5。 其中正确的说法的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ ②∵乙船经过0.6小时走过0.6 × 40 = 24 (千米)， ∴甲船0.6小时走过60 - 24 = 36 (千米)， ∴甲船的速度是36 ÷ 0.6 = 60 (千米/时)， ∵一开始甲船距B点60千米，∴经过1小时到达B处，故②正确； t/小时 O 0.6 60 120 d/千米 3 甲 乙 03 典例精析 题型三 函数图象——双线问题： 例3、①乙船的速度是40千米/时；√ ②甲船航行1小时到达B处；√ ③甲、乙两船航行0.6小时相遇； ④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0 ≤ t ≤ 2.5。 其中正确的说法的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ ③航行0.6小时后，甲、乙距B点都为24千米， 但是乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，故③错误； t/小时 O 0.6 60 120 d/千米 3 甲 乙 03 典例精析 题型三 函数图象——双线问题： 例3、①乙船的速度是40千米/时；√ ②甲船航行1小时到达B处；√ ③甲、乙两船航行0.6小时相遇；× ④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0 ≤ t ≤ 2.5。 其中正确的说法的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ ④开始后，甲、乙两船之间的距离越来越小， 甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米， 航行2.5小时后，甲离B地：60 × 1.5 = 90 (千米)， 乙离B地：40 × 2.5 = 100 (千米)， 此时两船相距10千米， 当2.5 < t ≤ 3时，甲、乙的距离小于10，故④正确。 C t/小时 O 0.6 60 120 d/千米 3 甲 乙 课后总结 一次函数与二元一次方程： 一次函数y = kx + b的图象上的点的坐标都是二元一次方程kx - y + b = 0的解； 反之，以二元一次方程kx - y + b = 0的解为坐标的点都在一次函数y = kx + b的图象上。 一次函数与二元一次方程组： 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点， 那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。 5.5 一次函数 与二元一次方程 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $