湖北省十堰市八校教联体2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷

2025-2026学年十堰市八校教联体12月联考 高二数学试卷 命题学校：十堰市车城高级中学 命题老师：高一数学组 审题老师：魏莉娟 考试时间：2025年12月17日下午15：00-17：00试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1己知双曲线上2 =1,则顶点到渐近线的距离为() 97 A.4分 B.4V6 3 C.37 D.万 3 4 龄 2.过圆x2+y2=5上一点M(1,2)作圆的切线1，则1的方程为（) 铷 A.x+2y-3=0 B.x-2y+3=0 酃 C.2x+y-5=0 D.x+2y-5=0 长 y2 B已知离心率为e的椭圆C中Q>b>0的长箱长是短销长的2e倍，则0=(） ☒ A司 D. 2 郑 4.如图所示，在四面体A一BCD中，点E是CD的中点， 杯 记AB=a,AC=6,AD=,则B死等于（) 舸 A.-a+-B+18 B.a- 2” C.1a-B+78 D. 2a46+ 2 5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出 两个球，则两次都是黄球的概率是() A.3 B.25 20 C. 10 6.过定点A的直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-5a-2=0交于点P(P与 A,B不重合)，则△PAB面积的最大值为() 9 A.4 B. 2 C.2 D. 3-2 高二数学试题4-1 7,已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为；：甲、 乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为号， 则该难题被攻克的概率为() 7 A.2 C 3 D.t 8.若直线1：y=x+b与曲线C:x=√2-y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围() A.（-V2,N2U{-2} B.[-V2,2u{-2y c.「-2,2U2 D.（-2,2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4，连续抛掷这个正四面 体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和 为奇数”；事件B为“第一次记录的数字为奇数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”， 则下列结论正确的是() A.事件A与事件B是相互独立事件 B.事件B与事件C是互斥事件 C.PAPP( D.P(ABC)-日 10.已知动点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1和C2:(x-3)2+(y-4)2=3上，动点P在x 轴上，则() A.圆C2的半径为3 B.圆C和圆C2相离 C.lPM+PW的最小值为2√o D.过点P作圆C的切线，则切线长最短为√ 11.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为DD1,BB1中点，M,N分别为 线段AE,CC1(含端点)上的动点，则下列说法正确的是() A.CF⊥AB1 B.直线CF与底面ABCD所成角的正切值为) E C.三棱锥C-MF的体积最大值为君 D.线段MN的长度最小值为1 高二数学试题4-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设直线y=x-√2与圆0：x2+y2=a2相交于A,B两点，且AB=2W3,则a= 13.已知双曲线C:苦-2-1的上、下焦点分别为，R,过的直线1与双曲线C的上支交于4 B两点，若|AB=2,则△ABF,的周长为 14.学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的表面积为8π，则该圆柱体 的外接球的表面积的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知圆C过点A(-V15,1)和B(2W5,4),且圆心C在y轴上 (1)求圆C的标准方程； (2)若直线1过点P(2,0),且被圆C截得的弦长为4v5,求直线1的方程. 16.(15分)为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生， 教育部启动了“强基计划”的招生改革工作。某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能 通过强基招生面试。假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他 们管对第一题能据率分别是写}好苔对第二思的隔率分别是}号 (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 17(15分)已知点F是椭圆C:等+芳=1(a>b>的右焦点，O为坐标原点，若C上的点与 点F距离的最大值为3，最小值为1，过点F作C的两条互相垂直的弦AB,DE. (1)求C的方程； 1 (2)求证：A8十D四的值为定值： 高二数学试题4-3 18.(17分)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4,∠ABC=60°，E为CD的中点.将 △ADE沿AE折起，使得BD=4,如图2. 图1 图2 (1)求证：平面ADE⊥平面ABCE; (2)设BF=BD(0≤2≤1)，是否存在实数2，使得直线AF与平面ABCE所成角的正弦值 为5？若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由： 4 (3)求三棱锥D-ABE的外接球的半径 19.(17分)已知以点M为圆心的动圆经过点F(-3,0),且与圆心为F的圆(x-3)2+y2=12相切， 记点M的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)若动直线1与曲线C交于A(x,),B(x2,y2)两点（其中yy2>0)，点A关于x轴对 称的点为A',且直线BA经过点P(-1,O). (i)求证：直线1过定点； ()若|PA+PB=4V5,求直线1的方程. 高二数学试题4-42025-2026学年十堰市/八校教联体12月联考 高二数学试卷答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 > 8 D B A C B B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC BD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.±2 13.12 14.85-1)元 8。由x=√2-y2,可得x2+y2=2,且x≥0， 故曲线C为圆x2+y2=2的右半圆， 作出直线1与曲线C的图象如下图所示： 当直线l即x-y+b=0与曲线C相切且切点在第四象限时，b<0, 且有月5，部得82 当直线1过点(0，-V2)时，直线1与曲线C有两个公共点，此时b=-√2： 当直线过点(0，V2)时，直线1与曲线C只有一个公共点，此时b=√2， 结合图形可知，若b∈（-V2,√2U{-2}时，直线l与曲线C只有一个公共点. 故选：A 试卷第1页，共8页 11.以A为原点，AB,AD,AA分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. A选项，1》 CL,11),B1,0,1), C(Q1》瓜-L0,网孤￥0，因tCF与B不垂直，A箭误： B选项，平面ABCD的法向量i=(0,0,1),设CF与底面ABCD所成角为B, FC·列 则sin0: FC网 5 tan0= 2 ,B正确； C选项，M到平面CC,F的距离为定值， 当V,C重合时，△CN面积最大，三棱锥体积最大，V=xIx X2GC正确， 3 D选项，设CC中点为G,易知EG⊥AE,EG⊥CC, 因此EG是异面直线AE和CC的公垂线段，MW2EG=1,D正确. 故选：BCD 孙D A E M B 14.设圆柱的高为h,底面圆的半径为”，该圆柱外接球的半径为R, 由题意可得2xh+2知2-8，则h+2=4:所以h=4r-4-, [4-r>0 ,则0<r<2, r>0 根据圆柱与球的对称性可得：R 2 所以该圆柱体的外接球的表面积为 试卷第2页，共8页 .2-8+16 S=4rR2=4r+4/4r产 4号-a-5-小，当 且仅当、 4 4即时等号成立 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) (1):圆C的圆心在y轴上，不妨设圆C的标准方程为x2+(y-b)2=r2(r>0) .1分 代入点A-15,1,B(25,4),得 5+1-b)2=r2 「b=2 2+4-6=解得=4 …….5分 即圆C的标准方程为x2+(y-2)=16 ….6分 (2),直线1被圆C截得的弦长为4√3，且圆C的半径为4， ∴.圆心C到直线1的距离为d=√16-12=2 ..8分 ①当直线1斜率不存在，即直线1为x=2时，满足d=2; ②当直线1斜率存在时，设1：y=k(x-2), 则由d= 2+2=2,解得友=0，即直线1的方程为V=0 ....12分 Vk2+1 综上，直线1的方程为x=2或y=0 ….13分 16.(15分) (1)甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是子答对第二题的概率分别是影 甲考生通过某校强基招生面试的概率为 98 ……….4分 (2)乙考生通过某校强基招生面试的概率为 试卷第3页，共8页 111 B=2X36, .6分 ·.甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： P-名02a-合合8 1、15 6 .9分 (3)丙考生通过某校强基招生面试的概率为 8-号8 .11分 ∴.甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： p1-。-=器 ….15分 17.(15分) (1)设椭圆C的焦距为2c,则由题意得 a+c=3 a=2 a-c=1’解得 c=1 所以b2=a2-c2=4-1=3, 所以c的方程为+父=1 43 ….4分 (2)由(1)得F(1,0),若直线AB与直线DE的斜率一个为0，另一个不存在时， MB=4,1D1-2次-3（或4-3，Dg=4),此时+D网5 1,17 若直线AB与直线DE的斜率都存在时，如图： B 设直线AB的方程为y=k(x-1),A(:,片)，B(x,y2), y=k(x-1) 由 +”=1·得(3+42)x2-8kx+4k2-12=0, …….6分 试卷第4页，共8页 8k2 4k2-12 所以，+名34软，=3计4 .8分 所以AB=1+压-x=1+FVx+s)广-4x =V1+k2 8k2）2 4k2-12121+k2) -4× 3+4k2 3+4k2 3+4k2 …...11分 因为AR LDE,将k换成名得DA= 12(k2+1 4+3k2 ·…….13分 1+1-3+4k24+3k2 7(k2+1)7 所以西D丽120+网2胺+可）2+可五 ·……...15分 1 1 综上所述， ABDA的值为定值 18.(17分) (1)连接BE,由题意得△ADE为等边三角形，则DE=AE=AD=2, 在△BCE中，EC=2,BC=2,∠BCE=120°， .BE=25. 由BE=2V5，AE=2,AB=4,则AE2+BE2=AB2,故BE⊥AB. 又BD=4,则BE2+DE2=BD,所以BE L DE, …..3分 又AE∩DE=E,AE,DEC平面ADE,所以BE⊥平面ADE, 又BEC平面ABCE,所以平面ADE⊥平面ABCE ..5分 (2)如图，以点E为坐标原点，以EA,EB所在直线分别为x轴，y轴，过E垂直于平面ABCE 的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E-z, 则E(0,00),A(20,0).B(0,25,0）.D103) …….6分 故AB=（-2,25,0),BD=(1,-23,V3) 试卷第5页，共8页 由BF=BD(0≤1≤1)， AF=A8+BF=4B+BD=（-2,25,0)+1,-25,5)=（2+元，251-)，52） 因为z轴垂直平面ABCB,故可取平面ABCB的一个法向量为m=(00,1), .......8分 设直线AF与平面ABCE所成角为O, 所以sn0=osmA= iAF m AF 3 -2+)°+[25-2]+(52) 4 化简得222+71-4=0，解得2（元=-4舍去）， ……….11分 √2 故存在2，使直线AF与平面ABCE所成角的正弦值为4。 ……..12分 (3)取AB中点M,设三棱锥D-ABE的外接球的球心为O,由OA=OB=O知，点O在过 点M且与平面ABE垂直的直线上，设O1,V5,t), 由o=oD得V+5+-V1-V ...15分 解得3， OB-39 v39 从而 3,即三棱锥D-ABE的外接球的半径为3 、.....17分 试卷第6页，共8页 19.(17分) (1)圆(x-3)2+y2=12的圆心坐标为F(3,0),半径r=25. 动圆M与圆F,相切有两种情况，即内切或外切， 所以M|-|M川=23FE,=6, ..2分 所以点M在以耳，F为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为2a=2√3,2c=6, 所以b2=c2-a2=6, …..4分 所以曲线C的方程是二-1. 36 ..5分 (2)(i)设直线1的方程为x=y+t(显然1与x轴不平行)， 与x2 =1联立，得(2m2-1)y2+4y+2t2-6=0, …..6分 36 由题意知.1mb5,△=16mY-8f-42r:-0>0,即6m2+-3>0, 2 …….7分 由韦达定理得y+y= -47t 22-6>0. 2-1'y4=2m-i ....8分 因为点A与A'关于x轴对称，不妨设A,B分别在第一、二象限，如图所示， 易知kAp+kn=0, 即片+立=m,+4D+m,+4)0, x+1x2+1(y+t+1)(y2+t+1) 化为2my+t+100y+y2)=0 .....10分 即2m2F-6++)0,化为-3m=m, 2m2-1 2m2-1 当m变化时，该式恒成立， 试卷第7页，共8页 所以t=-3,故直线1过定点(-3,0). ...12分 (ii)由(i)知， 12 12 当1=-3时，+%=2m%y2n->0. ..13分 PAI+I PBIPAI+IPBH-4BI, =Vx-x)2+(--y)2, =V(%-3-y2+3}+(4+2}, ...15分 化为19m-24m2+5=0,解得=1或m㎡=之< 故m=+1, ....16分 此时直线1的方程为 x±y+3=0. ....17分 试卷第8页，共8页