24.2.1一元二次方程的根的判别式2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

21.2.4 一元二次方程根的判别式 苏祠中学 2026.9.18 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 1 学 习 目 标 1 2 3 经历一元二次方程根的情况的探究过程，归纳出一元二次方程根的判别式. 能运用根的判别式，判断一元二次方程根的情况. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 口答 1.一元二次方程的一般形式是 ， 2.解一元二次方程的方法有 ， 3.直接开方法=p的条件： ， 4.因式分解法注意要点： ， 5.配方法的解题步骤： ， 6.求根公式： 前提条件： 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 用公式法求下列方程的根: 解:(1)a=2,b=-1,c=-2； =1+16=17＞0； =方程有两个不等根 x1=,x2=. (2)a=,b=-1,c=1； =1-1=0； 方程有两个相等根x1=x2=2. (3) a=1，b=1，c=1； =1-4 =-3＜0； 所以原方程无实数根. 观察与方程的根的情况？ 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 思考1：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况? 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 这里的-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示,读作 :德尔塔(英文delta)，即Δ=-4ac。 Δ”原文原意是“辨别者”。 古时候数学家解方程，必须一步步算到底，才能知道有没有解。西尔维斯特发明判别式之后，我们只需要拿系数算一下-4ac，就能提前预判方程根的情况，不用完整解方程。它就像X光，一眼看透方程根的秘密。，我们只需要拿系数算一下b^2-4ac，就能提前预判方程根的情况，不用完整解方程。它就像X光，一眼看透方程根的秘密。 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 当 时，方程有两个不相等的实数根 当 时，方程有两个相等的实数根 当 时，方程没有实数根 思考2：一元二次方程根的情况有几种？ 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 两个相等的实数根 我们使用一元二次方程根的判别式， 直接判断一元二次方程a+bx+c=0(a≠0）的实数根的情况。（且只能判断一元二次方程的根情况） ax2 + bx + c = 0(a≠0) Δ ＞ 0 Δ= 0 Δ＜ 0 两个不相等的实数根 无实数根 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 小结：b2-4ac >0 两个不相等的实数根; b2-4ac =0 两个相等的实数根; b2-4ac<0 没有实数根. 思考3：反过来当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)： 有两个不相等的实数根时；则 有两个相等的实数根时；则 没有实数根时；则 则Δ＞0 则Δ=0 则Δ0 思考：如果一元二次方程有两个实数根，则 Δ0 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况. (1)3x2＝5x－2； (2)4x2－2x＋＝0； (3)4(y2＋1)－y＝0. 正确使用判别式的前提，方程必须化为一元二次方程的一般式. 步骤： 一化 二定 三算 四判 不解方程 判定根的情况 （4）x2﹣8＝2m（x﹣1）（m为常数）． 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 按要求快速完成下列表格： Δ 的值 方程 判别式与根 0 -15 17 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 课堂练习： 教材P33 小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法： 若一元二次方程（a≠0）的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明． 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 例2. 关于 x 的一元二次方程 有两个实根， 则 m 的取值范围是 . 由根的情况 求参数范围 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 变式：若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 变式：若关于的方程m+2+1 =0 有实数根，则的取值范围是_______． 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 判别式的应用 例4：已知关于x的方程有两个实数根，则代数式 的化简结果是： 分析： 化简结果等于1 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 练习：已知关于x 的一元二次方程-ax+=？ 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 判别式的应用 例4 ：已知关于x的方程-(k+2)x+2k=0 (1)证明：无论k取任何实数，方程总有两个实数根。 （2）若等腰三角形为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求 分析： 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 练习： 已知关于x 的一元二次方程-2 （1）求证：方程总有实数根。 （2）设一元二次方程的一个实数根为,若 分析： 判别式只能判断一元二次方程的个数，若要判断根的正负或整数根，就需要找到根的表达式再进行讨论。 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 判别式的应用拓展 例5：若实数a,b满足-a+2=0，则a的取值范围是？ 分析： 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 拓展练习：已知实数满足= 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 课堂练习： （1）已知关于x的方程2x2＋ax＋1＝0的根的判别式的值为4，则a＝______． (2)已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是______． (3)．已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－1＝0. ①求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； ②若▱ABCD的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，▱ABCD是菱形？求出此时菱形的边长． 边长等于1 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 课堂练习： P39页9题，10题 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 谢谢观看 判别式Δ = b2 – 4ac 可以预判一元二次方程实数根的个数； 正向：由系数判断根的情况； 逆向：由根的情况求参数范围； 同时沟通一元二次方程与二次函数图像， 是代数和函数之间重要桥梁。 眉山市东坡区苏祠初级中学 邻苏养气 立德树人 $