24.2.1 随机事件的概率-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化· 专题练习4求锐角三角函数值的常用方法：11.路灯的高度约为8.4m 方法11.C2.AC的长为4，simA的值为号 12.(1)观景平台MN的长为(15√3-15)米， (2)轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米 方法23.D4.D方法35.C6.A方法47.B8. 第3课时坡度 23.4解直角三角形 基础导学 第1课时解直角三角形 1.此i=h 2.1:m3.坡面与水平面4.越大越陡 基础导学 典例探究 1.解直角三角形2.(1)两条边(2)一条边一个锐角 【例1】斜坡AB的坡角a约为18°26'，坝底宽AD为132.5m, 典例探究 斜坡AB的长约为72.7m 【例1】AB=2W2,∠A=30°，∠B=60°， 【变式训练1】330°(65+2) 【变式训练1】(1)∠B=60°，a=45,c=85 【例2】树DE的高度为(3十23)米. (2)b=2W6,∠A=∠B=45°. 【变式训练2】大楼MN的高度约为92米. 【例2】AB=3+√5. 【例3】(1)所以整修后背水坡面的面积为90×8=720（平方米）. 【变式训练2】4455E (2)种植花草至少需要16000元. 3 3 【变式训练3】210 【例3】小岛A与小岛B之间的距离约为100km 课后演练 【变式训练3】花洒顶端C到地面的距离CE约为192cm 1.B2.A3.B4.75°5.(50W6-50W2) 课后演练 6.塔高约为115.5m 1c2c3.c4号 5.2√3或6√36.50 7.楼房AB的高为(35十10W3)米8.1 13 9.(83-5.5) 7.(1)c=2√15(2)b=2+√3(3)∠B=45° (4)a=35 10.(1)BG=8cos12°(cm); 8.A、B两点之间的距离约为94米. (2)DN=GH=BG+BH=(8cos12+20-8sin12)cm. 9910.35±81cD=15, 11.(1)两渔船M,N之间的距离为20米， 2 (2)该施工队原计划平均每天填筑600m的土石方. 第2课时仰角与俯角 第23章《解直角三角形》专题复习 基础导学 仰角俯角 【例1】tanl5°=2-√5. 典例探究 【例2】(1)点M的坐标是(8,6). (2)cos∠MN0=25 5 【例1】点P到AD的距离为(183一8)米. 【例3】 mc=最 【例4】25 【例2】电缆线BC至少长146.4m 【变式训练1】C 【例5】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米. 【变式训练2】(1)C,D两点的高度差为9m, 第23章章末测试 (2)居民楼的高度AB约为24m 1.A2.D3.D4.D5.D6.A7.A8.C9.1 课后演练 10.30°30°120°11.√2-112.(30+103) 1.D2.A3.A4.1035.12.76.423 13.7414.(153+1)m15.(1)-2(2)-2 7.(1)300(2)白塔BC的高度约为45米. 8.旗杆的高EF为10.3m9.1710.(mtana十mtanB) 16.DAD=32(2)sina=号 43 九年级上册·数学(HS) 17.塔高CM约为27.7m 18.(1)证明略 (2)△ECG为等腰直角三角形，理由略 (3)sin∠BFE=子 第24章随机事件及其概率 24.1在重复试验中观察随机现象 第1课时事件的认识 基础导学 1.(1)试验一定会发生(2)一定不会发生 (3)必然事件不可能事件2.100%00~1 典例探究 【例1】解：必然事件：(1)不可能事件：(2) 随机事件：(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【变式训练1】(1)B(2)B(3)必然不可能必然 随机 【例2】1号盒子中可能摸到红球，也可能摸不到红球；2号盒 子中一定能摸到红球；3号盒子中一定摸不到红球 【变式训练2】红灯 课后演练 1.B2.D3.D4.(3)5.D6.随机 7.必然事件：(4)不可能事件：(1)(5) 随机事件：(2)(3)确定事件：(1)(4)(5) 8.A9.(1)可能(2)必然(3)不可能(4)可能 10.(1)当n=7或8或9时，这件事情必然发生； (2)当n=1或2时，这件事不可能发生； (3)当n=3或4或5或6时，这件事可能发生， 第2课时在重复试验中观察不确定现象 基础导学 1.频率2.反复比较多 典例探究 【例1】(1)表中依次填：180.55(2)略 (3)“兵”字面朝上的机会大约为0.55. 【2】(1)3点朝上的颜率是品=0“5点朝上”的频率 1 是器 (2)小颖的说法是错误的，理由略 【变式训练】（①)A(2) 课后演练 1.D2.D3.A4.B5.(1)0.6(2)0.6(3)16个，24个 621.品 8.(1)相同(2)n=2 9.(1)a=120,b=0.1: (2)1<t≤1.5的人数为120X0.4=48,图略 (3)估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为 1200×(0.4+0.1)=600(人) 10.(1)抽出黑桃K必胜，抽出方块A必输 (2)N队要胜出的可能性有号，理由略， 24.2随机事件的概率 第1课时随机事件的概率 基础导学 1.可能性大小2.频率 典例探究 【例1】投掷骰子的次数很多时，平均每投掷6次，会出现一 次掷得“6”. 【变式训练1】略 【例2】(1)0.6(2)0.60.4(3)白球个数：20×0.6=12 (个)；黑球个数：20×0.4=8（个）.(4)略 【变式训练2】0.9 【例3】(1)中奖的概率是号，不中奖的概率是号. (2)不同意他的想法，每次摸奖，得到一张精美图片的概率都 【变式训练3】A 课后演练 1.B2.C3.D4.D5.9 5 6.20 7.(1)1200.2(2)频数分布直方图略 (3)全体参赛选手成绩的中位数落在第4组 (4)这名选手恰好是获奖者的概率是0.55 8.是9.a+6=10 10.红球占40%，黄球占60%；盒中有红球40个 11.(1)共有三种可能.即第一种可能为：x2十2x2一1=3x2 44 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) -1=(W5x+1)(W5x-1); 典例探究 11.(1)画图略，(m,n)所有取值是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，10.(1)200(2)图略(3)参加B项活动的学生为512名 第二种可能为：2十2一2x=22-2x,结果可以因式【例1)】()1050 (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2). 第24章《随机事件及其概率》专题复习 分解，2x2-2x=2x(x-1)； (2)画树状图略 (2)P(有实数根)=号。 【例1】(1)表中的频率依次为：0.70,0.625,0.667,0.638， 第三种可能为：2x2一1十x2一2x=3x2一2x一1.此结果 P(获得购物券的金额不低于30元)=号 第4课时用列表法求概率 0.68,0.673,0.675和0.663.拼成房子的概率为号，拼成菱形 可以因式分解，3x2-2x-1=(3x十1)(x-1). 【例2】（①）P(三车全部同向雨行)=号 典例探究 (2)第(1)知，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能 的概率为了 【例1】P(十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位 因式分解的概率是1， (②)P(至少两辆车向左转)=司 (2)模拟试验：不透明的袋中装有1个红球、2个白球，从 第2课时 概率的计算 数)=号 中随机摸出2个，2个球的颜色不同就代表拼成房子，2个球 基础导学 (3)左转绿灯亮的时间为90×号=27（秒），直行绿灯亮 课后演练 的颜色相同则代表拼成菱形. 192.1 的时间为90×是=27（秒），右转绿灯亮的时间为90×号 1.C2.B3.A4C5.号6合.28.方 【例2)】()P(构成三角形)=专.(2)P(构成直角三角形) 典例探究 =36(秒). 9(1)2(2)3,图略 -片.《3)P(构成等厦三角形)-号。 【例1】(1)(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,7)，(2,4,5)，(2,4,7)， 【变式训练】 (2,5,7),(3,4,5),(3,4,7),(3,5,7),(4,5,7). 10.(1)顺客首次摸球中奖的概率为子： 【例3】1) ·(2)图略P(第2次摸到的小球编号比第1 (2)P(能搭成三角形)=合： (2)两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为号， (2)他应往袋中加入黄球，理由略 次摸到的小球编号大2)=骨 【变式训练】aP=品（②）P=号 【变式训练2】()摸出小球上的数字是奇数的概率为2 L0啼@限分女号号十产，有意义的油现 第24章章末测试 (2)图略，由x,y确定的点(x,y)在函数y=一x十4的 【例2】(1Dy=号x(2)z=15,y=25 的概率是 3)使一3y x-y 十Y分式的值为整数的1.A2.B3.A4.D5.D6.B7.B879.日 图象上的概率为行 【变式训练2】①从袋中模出个球是黄味的概率为另-子 1 (红，)出现的概率是号 10.611.712.80 课后演练 专题练习5概率与其他知识的综合应用 13.(1)50,a=20,b=0.28,c=0.08(2)众数为4，平均数为 (2)从袋中取出黑球的个数为2个， 1.B2.C3B4号5.日6.}7.号83 课后演练 9.(1)20040(2)480(人)；(3)画树状图略，恰好抽到 类型11.B2.C类型23.号4.号 4.2；(3)图略，所选2名同学中有男生的概率为2 1.B2.A3D4.号5.号6号1.1号 男一女概率为号=号 类型35.号6.号类型47.A8.A 14.(片号(2②)图略，满足a十6<0的概率为子 2y=3z+58B9号10号 10.(1)20,36,统计图略(2)96个 类型5 15.(1)九年级(1)班人数为40人，选择C类书籍的人数为4 9.(1)12099(2)图略(3)图略小刚和小强两人恰好选 人，图略 第3课时画树状图求概率 (3)小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是行 基础导学 到同-门课程的概率为=号 (②)m=40(3)图略，P(一男一女)=号. 1.树状图树形图4.P(B)·P(C) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学试卷参考答案 第20章单元测试题 二、填空题 三、解答题 22.原式-把a=厅十1代入上式中，得3+ 11.212.<13.314215.7 19.V网=子220.(1)33(260(3)26-2（④3 一、选择题 23.BD=√5-√224.原式=125.x十y=√2 1.B2.A3.C4.C5.A6.C7.B8.C9.D10.B16.5317.-318.x≥-2，且x≠1 21.原式=b 4524.2 随机 第1课时 随机事件的概率 基础导 学 1.表示一个事件发生的 的 数，叫做该事件的概率， 2.在大量的试验中，如果事件A发的 稳定在某个常数P附近，则这个常数P就是事件A发 生的概率 典 例 探 究 考 点①概率的定义 【例1】投掷一枚正方体的普通骰子，掷得 “6”的概率为后的含义是什么？ 规律与方法：概率是大量重复试验时，某一 事件发生的频率的稳定值，它反映事件发生的可 能性大小， 【变式训练1】投掷一个均匀的正八面体 骰子，每个面上依次有1,2,3,4,5,6,7和8. 。15 第24章随机事件夏其概率 事件的概率 (1)掷得“7”的概率等于8的含义是 (②)掷得的数不是7”的概率等于日的含义 是 (3)掷得的数小于或等于“8”的概率是 这个概率表示 考点2用事件发生的频率估计概率 【例2】在一个不透明的口袋里装有只有 颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习 小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一 个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下 表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球 58 96 116 295 484 601 的次数m 摸到白球 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 的频率四 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率 将会接近 (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ,摸到黑球的概率是 (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有 多少个？ (4)解决了上面的问题，小明同学猛然醒 悟，过去一个悬而未决的问题可以解决了，这个 问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白 球，在不将球倒出来数的情况下，如何估计白球 的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用 5 措南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出 解决这个问题的主要步骤及估算方法、 规律与方法：通过试验来估计不确定事件发 生的概率的大小，通常是在试验次数很多，事件 发生的频率值逐渐稳定时，才将这个频率的稳定 值作为该事件发生的概率， 【变式训练2】（辽宁中考）质检部门对某 批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产 100 150 200 250 300 500 1000 品数n 合格产 89 134 179 226 271 451 904 品数m 合格 0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904 n 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品 的概率约是（结果保留一位小数） 1 考点3)概率的简单计算 【例3】某超市开展购物摸奖活动，声明： 购物时每消费2元可获得一次摸奖机会，每次摸 奖时，购物者从标有数字1,2,3,4,5的5个小球 (小球之间只有号码不同)中摸出一球，若号码 是2就中奖，奖品为一张精美图片 (1)摸奖一次时，得到一张精美图片的概率 是多少？得不到精美图片的概率是多少？ (2)一次，小聪购买了10元钱的物品，前4 次摸奖都没有摸中，他想：“第5次摸奖，我一定 能摸中”.你同意他的想法吗？说说你的想法. 【变式训练3】（丹东中考）四张不透明的 卡片，正面标有数字分别是一2,3，一10,6，除正 面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗 匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这 张卡片正面的数字是一10的概率是 （) A是B合C D.1 56· 课后演练 【基础过关】 1.下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉 的某次试验的结果， 小“钉尖向上”的频率 8878 心5001500202500003604045o050o0投福次数 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向 上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 0.616; ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率 总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数 为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620. 其中合理的是 () A.① B.② C.①②D.①③ 2.(安徽中考)如果一个三位数中任意两个相邻 数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为 “平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个 无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概 率为 () A.哥 B司 c.}D. 3.(深圳中考)二十四节气，它基本概括了一年 中四季交替的准确时间以及大自然中一些物 候等自然现象发生的规律，二十四个节气分 别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷 雨)，夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大 暑)，秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜 降)，冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大 寒)，若从二十四个节气中选一个节气，则抽 到的节气在夏季的概率为 () A.2 B.12 C.6 D. 。15 第24章随机事件夏其概率 4.（阜新中考)如图，是由12个全等的等边三角 形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那 么这个点取在阴影部分的概率是 () A. BC号 D 5.(菏泽中考)用数字0,1,2,3组成个位数字与 十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率 为 6.(鞍山中考)一个不透明的口袋中装有5个红 球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同 学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记 下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验. 根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估 计出m的值为 摸球的总次数a 100 500 10002000 … 摸出红球的次数b 19 101 199 400 摸出红球的频率b 0.1900.2020.1990.200 7.为了弘扬荆州优秀传统文化，某中学举办了 荆州文化知识大赛，其规则是：每位参赛选手 回答100道选择题，答对一题得1分，不答或 错答为不得分、不扣分，赛后对全体参赛选手 的答题情况进行了相关统计，整理并绘制成 如下图表： 组别 分数段 频数（人） 频率 1 50≤x<60 30 0.1 2 60x<70 45 0.15 3 70x<80 60 n 4 80≤≤x<90 m 0.4 5 90≤x<100 45 0.15 频数（人） 150 120 90 60 60H 30 45 45 30 0 5060708090100成绩夺 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 请根据以上图表信息，解答下列问题： (1)表中m= ,n=; (2)补全频数分布直方图； (3)全体参赛选手成绩的中位数落在第几组； (4)若得分在80分以上（含80分）的选手可获 奖，记者从所有参赛选手中随机采访1人，求 这名选手恰好是获奖者的概率， 【能力提升】 8.已知粉笔盒内共有4支粉笔，其中有3支白色 粉笔和1支红色粉笔，每支粉笔除颜色外，其 余均相同.现从中任取一支粉笔是红色粉笔 的概率是 9.(广元中考)一个袋中装有a个红球，10个黄 球，b个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸 出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概 率相同，那么a与b的关系是 10.研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只 有颜色不一样的红球与黄球.这样估算不同 颜色球的数量， 操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放 回盒中，再进行摸球试验.摸球试验的要求： 先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中再 继续。 活动结果：摸球试验活动一共做了50次，统 ·158 计结果如下表： 无记号 球的颜色 有记号 红色黄色 红色黄色 摸到的次数 18 28 2 2 推测计算：由上述的摸球试验可推算：盒中 红球、黄球各占总球数的百分比分别是多 少？盒中有红球多少个？ 【创新探究】 11.给出3个整式：x2,2x2-1,x2-2x (1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整 式进行加法运算，若结果能因式分解，请将 其因式分解； (2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进 行加法运算，其结果能因式分解的概率是 多少？