5.4.2正弦、余弦函数的性质第一课时教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性及奇偶性，通过生活应用视频导入，联系已学函数性质研究经验，引导学生类比迁移，搭建从图像到性质的探究支架。 以数形结合为核心，通过观察图像发现周期性规律，渗透类比思想，例题强化周期计算与奇偶性判断。培养直观想象和数学推理素养，如图像观察提升直观想象，周期定义推导发展数学思维，助力学生掌握性质应用，为教师提供结构化教学流程。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 《正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）》 教学目标 1、通过正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性。 2. 借助正弦函数、余弦函数图象研究性质，渗透类比、数形结合的思想方法，提升直观想象、数学推理的核心素养。 教学重难点 1、教学重点： 通过正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性。 2、教学难点： 利用正弦函数、余弦函数的性质求解相关问题。 教学过程 一、情景引入---正余弦函数的应用 教师活动：前面我们已经学习了正弦函数，余弦函数的图象。我们一起来看一看正余弦函数在我们的生活中有哪些应用呢？ 教师播放视频，学生认真观看视频。 教师活动：通过刚才的视频，相信大家已经了解到了学习正余弦函数的重要性。因此，今天我们一起来研究正余弦函数的性质。那么，类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 学生活动：根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最大（小）值。 教师评价：非常正确，另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的。下面让我们一起研究三角函数的性质。 设计意图：通过展示正余弦函数在生活中的应用视频，让学生直观地感受到数学知识与实际生活的紧密联系，从而激发学生对正余弦函数学习的兴趣和好奇心。同时，让学生类比以往对函数性质的研究来思考正余弦函数的性质，有助于培养学生的知识迁移能力和自主学习能力，使学生能够运用已有的学习经验来探索新的知识领域。 二、讲授新知 知识点一：定义域、值域 教师活动：请同学们在本子上画出正弦曲线和余弦曲线，从你画的图像回答正弦函数、余弦函数的定义域和值域是什么？ 学生活动：正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是[-1，1] 知识点二：周期性 教师展示正弦函数的图象，让学生观察“周而复始”的规律。学生观察发现每隔2π个单位长度，就出现坐标相同的点。 教师活动：图象上横坐标每隔2π个单位长度，就出现纵坐标相同的点。这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律。且从诱导公式（k∈Z）中得到反映，即自变量的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等。 因此给出周期函数的概念：一般地，对于函数 ,如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。 教师提出问题：y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期是多少？ 学生回答：2π，4π，6π... 教师总结：周期函数的周期不止一个。例如，2π，4π，6π…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上 ，且 ≠０，常数都是它的周期。其中，如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。(值得注意的是，今后高中阶段所涉及的周期，如果不加特别说明，一般指函数的最小正周期) 设计意图：让学生观察正弦函数图象的“周而复始”规律，锻炼了学生的观察能力。学生需要仔细观察图象的特点，发现其中的规律，这对于培养学生的数学观察力和敏锐性非常重要。 【正弦函数、余弦函数的周期性，最小正周期】 教师活动：根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π。类似地，余弦函数也是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π。 它的周期，最小正周期是２π。 【例题讲解】求下列三角函数的周期： (1) y＝3sinx，x∈R； (2)y＝cos 2x，x∈R； （3）x∈R; 师生共同思考，分析问题：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出=, x∈R；从而解决问题。 设计意图：例题中涉及到数值计算、化简等运算。学生在解题过程中，不断练习数学运算技巧，提高运算的准确性和速度。 例如，根据正弦函数的周期计算函数值、求解方程等，都需要学生进行一定的运算操作。 知识点三：奇偶性 【正弦函数、余弦函数奇偶性探究】 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称。余弦曲线关于 x 轴对称。 这个事实，也可由诱导公式=；=得到。 所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 【思考】知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？ 答：如果一个函数的周期为T，即f(x＋T)= f(x),那么这个函数的图象我们只需要画出一个周期的图象，其余图象可由这个函数的一个周期图象平移即可得到,同样研究一个周期图象的性质就可得到函数的性质。 如果一个函数是奇函数（偶函数），那么图象关于原点对称(y轴对称)，画出x> 0或x<0时的图象对称可得到整个函数的图象，性质可由图象得到。 【例题讲解】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|sin x|+cos x; (2)f(x)=sin; 解 （1）函数f(x) =|sin x|+cos x的定义域为R. ∵f(-x) =|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x= f(x), ∴函数f(x)是偶函数. （2）f(x)=sin=-cos,x∈R. ∵f(-x)=-cos-=-cos=f(x), ∴函数f(x)=sin是偶函数. 设计意图：帮助学生归纳总结出判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 1、一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系。 2、对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断。 三、课堂小结 1.正弦函数、余弦函数的周期性，最小正周期，求函数的周期。 2、正弦函数、余弦函数的奇偶性，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数 3、解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法: 利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值;利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题。 四、课后作业 1、完成“作业练习（第一课时）”内容。 2、总结今日所学，并绘制正弦函数、余弦函数性质的对比表格，示例如下。 学科网（北京）股份有限公司 $