精品解析：陕西汉中市洋县2025～2026学年下学期期末考试八年级数学试题

2025~2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的负整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知在中，对角线，相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 30 B. 38 C. 40 D. 46 6. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是（ ） A. 6或 B. C. 10 D. 或10 7. 若关于x的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解_____． 10. 当时，，则常数的值可以是__________．（只写一个） 11. 若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形是正____________边形． 12. 如图，将沿射线平移个单位长度得到，点的对应点恰好落在边上，点、的对应点分别为点、，连接．若，则的长为__________． 13. 我国古代数学名著《九章算术》记载：某工匠制作器物，改进工艺后，每日制作数量为原来的1.5倍，制作90件器物比原来少用3天．设原来每天制作件，则可列方程为______． 14. 如图，在中，，，点为平面内一点，连接、，，分别以、为邻边作，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组：． 16. 解方程． 17. 化简：． 18. 如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路、的距离相等，且到入口、的距离相等，请用尺规作图法找到喷泉的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如下图，在中，过点作于点，过点作于点．求证：． 20. 先因式分解，再求值：，其中． 21. 如图，在中，，点为内部一点，连接、，且，过点作交的延长线于点，，求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将平移后得到，平移后点的对应点的坐标为，画出，并写出点的坐标；（点、、的对应点分别为点、、） （2）将绕原点顺时针旋转后得到，画出．（点、、的对应点分别为点、、） 23. 某中学开展主题“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇某企业搞促销活动，该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 若该中学需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶（）． （1）分别写出该中学购买香菇酱和香菇脆按方案一需付款元、按方案二需付款元与之间的函数关系式； （2）当购买的香菇脆在什么范围时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款？ 24. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 25. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 26. 【问题初探】 （1）如图1，在中，连接、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为__________； 【思维进阶】 （2）如图2，在中，于点，且平分，点在边上，，连接交于点，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，是某生态公园规划的景观草坪，，点为道路上的景观树，其中，点、分别是步道、的中点，灌溉线和临湖步道的延长线相交于点，沿修建景观长廊，已知，请说明：．（步道、灌溉线、长廊的宽度以及景观树的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故A错误； B、不是中心对称图形，故B错误； C、是中心对称图形，故C正确； D、不是中心对称图形，故D错误． 2. 若分式的值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式的值为的条件，可求得结果． 【详解】解：由题意得：且， 解得， ∵， ． 3. 不等式的负整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：由得， ∴该不等式的负整数解为，，，共3个． 4. 如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 如图，已知在中，对角线，相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 30 B. 38 C. 40 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，求出三角形的边长，进而求出三角形的周长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴的周长为． 6. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是（ ） A. 6或 B. C. 10 D. 或10 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解， ∴， ∴， 解得或． 7. 若关于x的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化成一元一次方程，分式方程有增根时，分母为零的值满足整式方程，代入求解． 【详解】解：∵原方程为， 两边同乘得：， 化简得：， ∵方程有增根， ∴，即， 代入整式方程：， ∴． 故选：B． 8. 如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是等边三角形得，， 则，证明是等边三角形得， 则，再证明， 得，由此可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴，， ∵点在边上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 当时，，则常数的值可以是__________．（只写一个） 【答案】（答案不唯一，小于的数均可） 【解析】 【分析】不等式两边乘后不等号方向改变，可得，任取一个负数即可. 【详解】解：，不等号两边同乘后得到，不等号方向改变， 根据不等式的性质，可得，则满足条件的可以为. 11. 若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形是正____________边形． 【答案】十 【解析】 【详解】解：∵一个正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 即这个正多边形是正十边形． 12. 如图，将沿射线平移个单位长度得到，点的对应点恰好落在边上，点、的对应点分别为点、，连接．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图形平移的性质得出，再由可得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵将沿射线平移个单位长度得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 我国古代数学名著《九章算术》记载：某工匠制作器物，改进工艺后，每日制作数量为原来的1.5倍，制作90件器物比原来少用3天．设原来每天制作件，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设原来每天制作件，先表示出改进工艺后每天的制作数量，再分别求出原来和改进后制作90件器物所用的时间，根据改进后制作90件比原来少用3天的等量关系列方程即可． 【详解】解：设原来每天制作件，则改进工艺后每天制作件， 原来制作件器物所用时间为天，改进工艺后制作件器物所用时间为天， 由题意可得等量关系：原来所用时间改进后所用时间， 列方程得：． 14. 如图，在中，，，点为平面内一点，连接、，，分别以、为邻边作，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，连接交于点，连接，根据等腰三角形性质求出，再根据平行四边形性质求出，由，仅当三点共线时取等号，得最小值，即可得的最小值． 【详解】解：如图， 过点作于，连接交于点，连接， 在中， ∵，， ∴是的边上的中线，， ∴是的中点，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即是的中点，， ∴是中位线， ∴，即， ∴只要求出最小值就可以得到的最小值， ∵， ∴， ∵，仅当三点共线时取等号，如图， ∴的最小值为， ∴此时， ∴的最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式组的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得 ， 由②得， ， ∴不等式组的解集为． 16. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边都乘以，化分式方程为整式方程，然后根据整式方程的求解方法解答即可． 【详解】解：， 方程两边都乘以得， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，, 检验:当时，， 故原方程的解是． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．首先算括号里的，再进行因式分解及把除法运算化为乘法运算进行运算，最后进行约分运算，即可求得其结果． 【详解】解： ． 18. 如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路、的距离相等，且到入口、的距离相等，请用尺规作图法找到喷泉的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点P即为所求作的点 【解析】 【分析】分别作出线段的垂直平分线和的平分线，则线段的垂直平分线与的平分线交于一点，由角平分线的性质得点到、的距离相等，由垂直平分线的性质得点到入口、的距离相等，可得点P即为所求作的点． 【详解】略 19. 如下图，在中，过点作于点，过点作于点．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是利用平行四边形的性质找到全等三角形的条件，从而证明线段相等． 要证，可通过证明线段所在的三角形全等实现。利用平行四边形性质得到边和角的条件，结合垂直得到直角，满足全等判定． 【详解】略 20. 先因式分解，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先提公因式，然后用完全平方公式分解因式，最后将数据代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 21. 如图，在中，，点为内部一点，连接、，且，过点作交的延长线于点，，求证：． 【答案】， ， ，， ， 又∵， ， ， ． 【解析】 【分析】由等角对等边得到，然后证明，得到，即可证明． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将平移后得到，平移后点的对应点的坐标为，画出，并写出点的坐标；（点、、的对应点分别为点、、） （2）将绕原点顺时针旋转后得到，画出．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）通过对比点C与其对应点的坐标变化，确定横、纵坐标的平移量，进而求出点B的对应点的坐标，并据此画出图形； （2）点绕原点顺时针旋转后的坐标为，利用此规律得出各顶点的对应点坐标，即可画出旋转后的图形． 【小问1详解】 解：∵，平移后对应点， ∴横坐标变化：，此时图形向右平移了2个单位长度； 纵坐标变化：，此时图形向下平移了6个单位长度， ∵， ∴平移后的点的坐标为， 即点的坐标为； 【小问2详解】 略 23. 某中学开展主题“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇某企业搞促销活动，该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 若该中学需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶（）． （1）分别写出该中学购买香菇酱和香菇脆按方案一需付款元、按方案二需付款元与之间的函数关系式； （2）当购买的香菇脆在什么范围时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款？ 【答案】（1）（），（）； （2）当购买的香菇脆大于60瓶时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款 【解析】 【分析】（1）根据两种优惠方案分别表示即可； （2）根据方案二需付款小于选择方案一需付款列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得（）， （）； 【小问2详解】 解：由题意得，即， 解得， 答：当购买的香菇脆大于60瓶时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款． 24. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意的即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 25. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； 【小问2详解】 解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在中，连接、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为__________； 【思维进阶】 （2）如图2，在中，于点，且平分，点在边上，，连接交于点，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，是某生态公园规划的景观草坪，，点为道路上的景观树，其中，点、分别是步道、的中点，灌溉线和临湖步道的延长线相交于点，沿修建景观长廊，已知，请说明：．（步道、灌溉线、长廊的宽度以及景观树的大小均忽略不计） 【答案】（1）1 （2）证明：如图2，取的中点，连接， 平分，， ，， 又， ， ， ∵点为的中点， ，为的中位线， ， ， 在和中，，，， ， ， ， ； （3）如图3，连接，取的中点，连接、， ∵点E、F分别是、的中点， ∴和分别为和的中位线， ，，，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，根据中位线性质得出； （2）取的中点，连接，证明，得出，根据，得出为的中位线，根据中位线的性质得出，证明，得出，即可证明结论； （3）连接，取的中点，连接、，根据中位线的性质得出，，，，证明是等边三角形，得出，证明是等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出，最后求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $