专题：导数及其应用-2027届高三数学专项提优练习

专题：导数及其应用-2027届高三数学专项提优练习 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知直线是函数图象的一条切线，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．下列函数是奇函数且在定义域上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，，若，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，下列说法不正确的有（     ） A．对任意，，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为 D．若，且方程有两个实数解，则 7．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则（  ） A．2 B．4 C．5 D．6 8．已知函数，若不等式对任意恒成立，其中，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设二次函数满足：，且，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．，函数为增函数 B．，函数为奇函数 C．若，则 D．若为极大值点，则 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．有且仅有一个零点 B．在区间单调递减，在区间单调递增 C．关于的方程有两个不同的实数解 D．曲线有两条经过点的切线 三、填空题 12．函数的极小值是______． 13．已知函数，，对均有，则__________． 14．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的一般式方程是__________． 四、解答题 15．已知函数   在 处取得极值. (1)求函数 的解析式; (2)求函数 的单调区间及极值. 16．已知函数，在处的切线过点． (1)求； (2)证明：． 17．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； (4)若存在零点，求的取值范围． 18．已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，函数与关于直线对称，证明：当时，. 19．已知函数，． (1)求的极值； (2)设，记函数的最小值为，证明：； (3)若对于任意和，均有，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：导数及其应用-2027届高三数学专项提优练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C B D B ABD BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】. 2．D 【分析】使用导数的几何意义求解切线方程. 【详解】当时，，切点坐标为， ，令，， 所以切线方程为：，即. 3．A 【详解】由题意，切线的斜率为2， 设切点为， 由，得，则，即， 则切点为，代入，得，即. 4．C 【分析】利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可. 【详解】选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误； 选项B，在中，，函数是奇函数，但在定义域上不单调递减，不符合题意，B错误； 选项C，在中，，因为，所以函数是奇函数， 因为函数和均在上单调递减，所以函数在定义域上单调递减，符合题意，C正确； 选项D，在中，解，得，即定义域为，关于坐标原点对称， 因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，所以函数在定义域上单调递增，不符合题意，D错误． 5．C 【分析】根据三角函数值域可求得的值域，进而将问题转化为恒成立；构造函数，利用导数可求得的单调性和最大值，由可求得结果. 【详解】当时，， ，恒成立， 恒成立，即恒成立； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，解得：，即实数的取值范围为. 6．B 【分析】利用导数求函数在各种条件下的单调性和极值情况，由此判断A，B，C，再结合零点存在性定理判断D. 【详解】对于A选项，函数定义域为，关于原点对称， 且， 对任意，，函数是偶函数，故A正确； 对于B选项，当时，，， 当时，，，故， 在上单调递减，无极值点，故B错误； 对于C选项，当时，，， 令，则，故在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 因此是上唯一的极小值点，为，故C正确； 对于D选项，当时，结合C选项，函数在时取得最小值， 且，，，， 方程有两个实数解，则最小值，即，故D正确. 7．D 【分析】根据为偶函数，可得，两边求导后可得，令，得，令，得；由，可得的周期为6，进而得，从而可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 两边同时求导得，即， 所以，即， 令，得， 令，得，又因为，所以， 由，所以， 所以的周期为6，则， 而，所以， 所以. 8．B 【分析】先考虑函数是否具有奇偶性、单调性；再根据函数的性质将题中条件等价为对任意恒成立，因而将求的最大值转换为先求的最小值，再求该最小值的最大值 【详解】对，，故函数的定义域为， ， 因此函数是奇函数， 对，， 所以函数在上单调递增， 对，不等式恒成立， 即， 由于单调递增，所以对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立，所以， 设函数，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在时取最小值，， 要使对恒成立，等价于恒成立， 设，，则， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立. 9．ABD 【分析】A选项，赋值得到答案；BCD选项，设出解析式，得到，，结合，可得，得到解析式，从而判断BCD 【详解】A选项，令得，故，A正确； B选项，设， 由得，解得， 故，， 由得， 由①得，显然，且， 即，解得， 由②得，即，，显然成立， 故，，所以， ，，B正确； C选项，，C错误； D选项，恒成立，D正确 10．BCD 【分析】先求导分析函数的单调性、极值，再结合奇偶性、对称性的定义逐一验证选项. 【详解】对于A：对求导得， 当时，导函数存在两个不同零点，故原函数存在单调递减区间，不是上的增函数，A错误； 对于B：当时，，满足，是奇函数，故B正确； 对于C：当时，，则， ， 则，故C正确； 对于D：令得，即或， 当时，，由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减，故为极小值点，舍去； 而当时，，由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减，此时为极大值点，，故D正确. 11．ABD 【分析】先确定函数定义域为，求导得到，以此分析单调性、极值最值，再结合零点定义、切线方程逐一判断选项. 【详解】对于A，令，因为，所以，解得，是唯一零点，故A正确； 对于B，，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B正确； 对于C，由B知最小值为，故无实根，故C错误； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为，代入化简得. 设，， 在单调递减，在单调递增， 最小值，且，故有两个零点，即存在两条切线，故D正确. 12． 【分析】根据导数求函数的极小值即可. 【详解】由，则， 令，解得或， 则当，时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 因此当时，函数取得极小值. 13． 【分析】先根据导数分析出两个函数的单调性，结合题目得出与在上的零点一定唯一存在且重合，设为，列出方程组求解即可． 【详解】对于，因为有意义，所以， ，， 所以在上为增函数，且时，；时，， 在上为减函数，且时，；时，， 由题可知，满足对均有， 则与在上的零点一定唯一存在且重合，设为， 可得：消去，可得， 故，即，所以． 14． 【分析】首先根据条件求出，进而可求得，再用点斜式写出切线方程，化简转换即可得到一般式方程． 【详解】把代入，解得，即， 由的斜率为2，得到， ， ，即所求切线的斜率为6， 又，即所求直线与的切点坐标为， 则所求切线的方程为，即． 15．(1)； (2)在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为. 【分析】（1）由题设可得，据此可得答案； （2）由（1）中验证过程可得的单调区间与极值. 【详解】（1）. 由在处取极值可得， 则此时. ，， 得在上单调递增，在上单调递减，即符合题意； （2）由（1）分析可得：在上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为. 16．(1) (2)由（1）知，则，函数定义域为， ，令，， 所以在上单调递增， ，， 所以，使得，即， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以的最小值为， 由可得， 所以， 因为，所以， 取等的条件为，故不能取等， 所以. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出处的切线，将代入得到，令，根据函数的单调性求出方程的解且解唯一； （2），再次求导可得在定义域上单调递增，根据零点存在性定理可知，使得，从而得到的单调性，求出的最小值为，证明即可证明. 【详解】（1）由题意，， ，又因为， 所以处的切线方程为， 将代入，得，化简得， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，所以方程有唯一解，解为. （2）略. 17．(1) (2)极大值为，无极小值 (3) (4) 【分析】（1）由导数得出斜率，进而由切点写出切线方程； （2）由导数得出单调性，进而得出极值； （3）将问题转化为，构造函数，利用导数得出最大值，进而得出的取值范围； （4）存在零点等价于与轴有交点，结合（3）知，当且仅当时等号成立，所以当时，，不符合题意；当时，利用零点存在定理即可判断. 【详解】（1）若，则， 所以，， 所以，故曲线在点处的切线方程为， 即． （2）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． （3）若对任意的恒成立，即， 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即的取值范围是． （4）令，得，令， 令，，所以， 所以当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（3）知，，即，所以， 当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，，， 所以存在，使得，符合题意． 综上，的取值范围为． 18．(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)当时，，由对称性得， 令， ， 函数在上为减函数，故当时， 当时，，所以， 所以在上单调递增，， 所以当时，，即. 【分析】（1）使用导数的几何意义求解切线方程； （2）求出函数的导函数，对进行分类讨论，利用导函数的正负判断函数的单调性； （3）利用对称性求出函数的解析式，令，使用导数分析函数的单调性即可证明. 【详解】（1），，， 所以函数在处的切线方程为：. （2）， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增. （3）略. 19．(1)极小值为，无极大值. (2)因为，. 所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的极小值，也是最小值为. 又，所以. (3) 【分析】（1）求导，分析函数单调性，可得函数的极值情况. （2）求导，分析函数的单调性，可求函数的极小值. （3）分离参数，得到，再结合（2）的结论，求式子的最小值即可. 【详解】（1）因为，， 所以. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极小值为，无极大值. （2）略 （3）由， 因为，所以. 问题转化为求，时，求代数式的最小值. 由（2）知在上单调递减，在上单调递增，最小值为. 所以在上单调递减，在上单调递增，最小值为. 所以， 又，所以. 即实数的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $