期中综合试题（1-3章）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

期中综合试题（1-3章） 2026-2027学年高二数学上学期人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．如图，在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 3．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知空间向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知是抛物线的焦点，准线为，，是抛物线上不同的两点，过点作的垂线段，垂足为，过点作的垂线段，垂足为，的值为一常数，当的最小值为时，这一常数值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 10．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知正方体的棱长为2，点，在正方体的面内（包括边界），若，，则下述结论正确的是（   ）    A．二面角的平面角的正切值为2 B． C．点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 12．已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 13．若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 14．不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 四、解答题 15．已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16．已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程． (2)若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 17．已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过右焦点F且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB的面积. 18．如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，分别连接、就得到了一个空间五面体（如图2）.    (1)若是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面； (2)若图2中的，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19．已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D B C C AD ABC 题号 11 答案 BD 1．C 根据空间向量的加减法的运算法则，即可求解. 根据空间向量的加法、减法法则， 则. 2．D 根据给定直线的特征确定其斜率情况. 直线过点且垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 3．C 若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 4．B 因为的夹角为钝角,故， 又不共线，当共线时，，所以的取值范围是. 5．D ，几何意义是点到原点的距离的平方. ，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 6．B 根据椭圆和双曲线的定义及基本性质，结合余弦定理，列出方程，求得，即可求得双曲线的离心率. 由题意，椭圆与双曲线的焦距相同，即焦点相同，设，， 则在椭圆中，可得。，则， 则， 又，即， 即，所以， 所以， 在双曲线中，可得，则， 所以， 又，所以，化简得， 又，所以，所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 7．C 取的中点， 利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到. 取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值， 圆的圆心为，半径为， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 点为直线上的动点， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径， ， ，故选项C正确. 8．C 根据抛物线的定义有，设，，，，应用余弦定理得，令，进而化为方程存在实数解求得，结合已知求对应的常数值. 已知抛物线的焦点，准线 ， 根据抛物线定义，，所以， 设，，，则， 令，则， 设，整理得， 由判别式，得， 因为，所以，即，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，则， 当关于轴对称时，即且夹角满足，所求常数为. 9．AD A选项，变形后可得方程组，求出所过定点；B选项，时，两直线重合，B错误；C选项，根据直线的方向向量可得直线的斜率，从而得到，两直线不垂直；D选项，将直线转化为斜截式方程，可得始终不过第四象限. 对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然， 而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限， 可得始终不过第四象限，D正确． 10．ABC 直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 11．BD 根据二面角的几何法可得其平面角为，即可求解；根据勾股定理可得，即可求解C；建立空间坐标系，根据向量垂直判断B；根据向量的夹角即可得，求解D. 对于A：连接相交于，连接, 由于，且，故， 因此为二面角的平面角， 故，故A错误； 对于C：在正方体中， 平面，平面， 所以，故，则有， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以轨迹长为，故C错误； 对于B：在正方体中，平面平面，且两平面交线为, 平面，故平面， 因为，则平面，故在上， 建立如图所示的空间直角坐标系，    因为点的轨迹是线段，所以可设，， 则， ， 则,,， 所以,,，， 故， 进而可得，故，故B正确； 对于：，，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则，， 故平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 当时，有最大值， 故与平面所成角的正弦值的最大值，故D正确． 故选：BD． 12．2 根据空间向量共面定理的推论求解. 因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 13． 先说明直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 14． 由，可知点与点到直线的距离都为，以，为圆心，半径分别作圆，判断两圆公切线个数即可求解. 由，得， 根据点到直线的距离公式，可知点与点到直线的距离都为， 分别以，为圆心，半径作圆、圆， ，，所以两圆外离， 根据圆的位置关系，外离的两圆有条公切线 结合图形，可知这条公切线对应的直线都满足点、到直线的距离为，且每条公切线对应一组实数对， 因此，满足条件的实数对共有对. 15．(1) (2)或 （1）由两点坐标求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，将其转化为一般式方程； （2）当直线的纵截距和横截距均为零时，根据直线过点A和原点，求出其方程；当直线的纵截距和横截距均不为零时，设它的截距式方程，求其方程． （1）由、，可得直线的斜率为， 所以边所在的直线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率为，方程为.此时，直线的纵截距和横截距均为零，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得，所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16．(1)或 (2)， （1）根据切线斜率是否存在进行分类讨论，则切线方程可求； （2）通过两圆方程相减可得直线的方程，再由到直线的距离以及的半径可求. （1）因为，所以在圆外； 当切线斜率存在时，设切线，即， 所以，解得，即切线方程为； 当切线斜率不存在时，切线方程为，且，故满足条件， 综上所述，切线方程为或. （2）， 将的方程相减可得，即， 所以直线的方程为； 因为的圆心为，半径为， 所以. 17．(1) (2) （1）利用椭圆的长轴长与离心率，结合的关系求标准方程； （2）求出直线方程后与椭圆联立，利用韦达定理求纵坐标差的绝对值，结合焦点到原点的距离计算三角形面积. （1）由长轴长得，离心率得，则， 故椭圆标准方程为. （2）右焦点，直线的斜率为，方程为. 联立，消去得，， 设，，则，. . 的面积.    18．(1) 取中点，连接，，    由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且，所以且， 则四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； (2)； (3) 存在，与点重合 （1）取中点，构造平行四边形，结合线线平行证线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面夹角即可； （3）利用空间向量研究面面夹角，建立方程计算参数即可. （1）略 （2）因为在图1中，，且，， 在图2中上述关系依然成立， 以为坐标原点，，分别为轴，轴正向， 垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， ，，，所以， 又因为，平面，所以， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在. 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 又平面与平面所成的二面角的余弦值为， 则，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，满足题意， 即在棱上存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为. 19．(1) (2) ①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ； ② （1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. （1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为. （2）①略； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $