3.6 正多边形与圆（知识解读）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

3.6 正多边形与圆（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【题型1求正多边形的中心角】 2 【题型 2·尺规作图--正多边形】 2 【题型3·己知正多边形的中心角求边数】 3 【题型 4·正多边形和圆的综合】 4 【题型 5·正多边形与坐标综合】 5 【随堂检测】 6 知识点1 正多边形的有关概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点2 圆内正多边形的有关计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 【题型1求正多边形的中心角】 【典例1】正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】等边三角形绕中心点至少旋转（    ）度后能与自身重合 A． B． C． D． 【变式1-2】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【变式1-3】如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 【题型 2·尺规作图--正多边形】 【典例2】如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【变式2-1】按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【变式2-2】试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． 【题型3·己知正多边形的中心角求边数】 【典例3】如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-1】如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式3-2】如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【变式3-3】如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【题型 4·正多边形和圆的综合】 【典例4】若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 【变式4-3】如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 【题型 5·正多边形与坐标综合】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点O重合，轴，交y轴于点 G．将绕点 O 顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】古典花窗是中国传统建筑中独具特色的窗式，常见于园林、住宅等场所，兼具实用功能与艺术装饰价值．如图①为某花窗的局部图案，中心部位包含一个菱形与3个全等的正六边形，如图②将其几何示意图放在平面直角坐标系中，点，，，为菱形的顶点，点为正六边形的顶点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】1月19日徐州地区下了一场大雪，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，正六边形，点C在x轴上，半径为2，则顶点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 2．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 4．如图，正六边形内接于，连接，，若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 5．如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 7．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 8．如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边．则是的内接正___________边形的一边． 9．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”计算出圆周率．如图①，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为． （1）如图②，在圆内接正十二边形中，______（度）； （2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为______． 10．如图，正五边形内接于为上一点（点与点不重合），求的度数． 11．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 正多边形与圆（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【题型1求正多边形的中心角】 2 【题型 2·尺规作图--正多边形】 3 【题型3·己知正多边形的中心角求边数】 6 【题型 4·正多边形和圆的综合】 8 【题型 5·正多边形与坐标综合】 11 【随堂检测】 15 知识点1 正多边形的有关概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点2 圆内正多边形的有关计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 【题型1求正多边形的中心角】 【典例1】正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正多边形的中心角．据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：，此题比较简单，注意准确掌握定义是关键． 【详解】解：正六边形的中心角是：． 故选：A． 【变式1-1】等边三角形绕中心点至少旋转（    ）度后能与自身重合 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键． 根据等边三角形的中心角的度数，以及旋转对称图形的性质解答． 【详解】解：∵等边三角形的中心角是， ∴等边三角形绕中心点旋转的整数倍后能与自身重合， ∴旋转的最小角为． 故选：D ． 【变式1-2】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等，列式计算即可． 【详解】解：正多边形的中心角和为，正多边形的中心角是， 这个正多边形的边数． 故选：D． 【变式1-3】如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 【答案】A 【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的度数为； 故选A． 【题型 2·尺规作图--正多边形】 【典例2】如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】 如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 【变式2-1】按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求； (2) 如图所示： 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-2】试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． 【答案】如图，十二边形即为所求． 【分析】在上任取一点，连接，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，再分别作，，，，，的垂直平分线交于，，，，，，连接，，，，，，，，，，，，十二边形即为所求． 【详解】略 【题型3·己知正多边形的中心角求边数】 【典例3】如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接，可得，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ∴这个正多边形的边数为． 【变式3-1】如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的中心角性质，核心知识点为：正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角的度数相等，因此正多边形的边数可通过“边数单个中心角度数”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角总和为，且每个中心角度数相等， ∴该正多边形的边数为； 故选：C． 【变式3-2】如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，圆周角定理，先根据圆周角定理求出，再用除以中心角可得边长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 故选：A． 【变式3-3】如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【题型 4·正多边形和圆的综合】 【典例4】若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正六边形的性质，可得正六边形的边长等于其外接圆的半径，再结合圆的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵正六边形的中心角为， ∴外接圆的圆心与正六边形任意两个相邻顶点构成顶角为的等腰三角形，该三角形为等边三角形， ∴外接圆的半径等于正六边形的边长， ∵正六边形边长为， ∴， ∴外接圆的面积． 【变式4-1】如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 【变式4-2】碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键． （1）由任意多边形的外角和为，可求正五边形每一个内角的度数. （2）为等边三角形，，得，故，即边心距为. 【详解】（1）解：∵任意多边形的外角和为， ∴五边形一个外角是， ∴五边形一个内角是. 故答案为：. （2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作． ， 是等边三角形， ． ． 在中，由勾股定理，得， 故该正六边形的边心距为． 【变式4-3】如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，直角三角形的特征，勾股定理等；连接，由正六边形的性质得及圆周角定理得，由勾股定理得 ，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，可求出圆的半径，即可求解；掌握正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 是的直径， ， ∴， 在中， ， ∴ ， ∴， ， 即的半径为2， ∴的面积为． 【题型 5·正多边形与坐标综合】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点O重合，轴，交y轴于点 G．将绕点 O 顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定为等边三角形，确定点B的坐标为，确定变化是每4次旋转为一个循环，结合，求解即可； 【详解】解：如图，连接，可得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴点B的坐标为， 第1次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点B的对应点在第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点B的对应点在第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点B的对应点在第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， …… 每4次旋转为一个循环，则， ∴与对应，坐标为． 【变式5-1】古典花窗是中国传统建筑中独具特色的窗式，常见于园林、住宅等场所，兼具实用功能与艺术装饰价值．如图①为某花窗的局部图案，中心部位包含一个菱形与3个全等的正六边形，如图②将其几何示意图放在平面直角坐标系中，点，，，为菱形的顶点，点为正六边形的顶点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题涉及了把几何图形放在平面直角坐标系中，利用坐标求线段的长度，了解菱形对角线的性质：互相垂直平分．熟悉正六边形的性质：中心到顶点的距离等于边长，正六边形的边心距与边长的关系．利用正六边形边长，边心距求E点的坐标． 【详解】解：根据图②， 得到． 设正六边形的边长为，根据正六边形的性质（正六边形的外接圆半径等于边长），则正六边形中心到顶点的距离为． E为其中一个正六边形的顶点， ， ． 正六边形的边长为1， 根据正六边形的边心距：中心到一条边的垂直距离为，得到正六边形中心到一边的垂直距离为． E点的坐标为． 【变式5-2】1月19日徐州地区下了一场大雪，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知和都是等边三角形，进而可知，的长度，根据平移的性质即可求解． 【详解】解：设正六边形中心为点，连接，作于点, , ∵,, 和都是等边三角形， 正六边形的边长为， ,, ∴, ∵与轴垂直， ∴轴， 轴， ， ， ∵, , , ． 【变式5-3】如图，正六边形，点C在x轴上，半径为2，则顶点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正六边形的性质，直角三角形的角所对的边等于斜边的一半，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点作轴于点，由正六边形的性质得，，在中，可求得，则，利用勾股定理即可求出，从而可得点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，连接，相交于点， 在正六边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA、OB，根据圆内接正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图： ∵是正八边形的外接圆， ∴， 由圆周角定理得：． 2．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数n可由公式“中心角”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，中心角为， ∴， ∴这个正多边形的边数为5． 故选：D． 3．中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，熟练把正多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键．正六边形的面积由个全等的边长为的等边三角形面积组成，计算一个等边三角形的面积，乘以即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵正六边形， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，． ∵在中，，，， ∴， ∴． ∵正六边形含有全等的个正三角形， ∴． 故选：C． 4．如图，正六边形内接于，连接，，若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由正六边形内接于，则，从而证明是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解． 【详解】解：∵正六边形内接于， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：A． 5．如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质定理． 根据正五边形的性质，可得，进而得到图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 【详解】解：由题可得，，，， ，， ， 图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 故答案为：C． 6．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，坐标与图形，设中间正六边形的中心为，连接根据的坐标分别为，得出，求出，即可求出，得出结果． 【详解】解：如图，设中间正六边形的中心为，连接． 点的坐标分别为， ， ． ， ， 点的坐标为． 故选：B． 7．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 8．如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边．则是的内接正___________边形的一边． 【答案】二十四 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，连接，先求得、的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得． 【详解】解：连接， ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴是的内接正二十四边形的一边， 故答案为：二十四． 9．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”计算出圆周率．如图①，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为． （1）如图②，在圆内接正十二边形中，______（度）； （2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为______． 【答案】 30 3 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据正多边形与圆的关系可进行求解； （2）过A作于M，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， ∴； 故答案为30； （2）过A作于M，如图所示： 在正十二边形中，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， ∴， ∴的近似值为3， 故答案为3． 10．如图，正五边形内接于为上一点（点与点不重合），求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆，先理解题意，得，运用圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：连接 正五边形内接于， ， ． 11．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)不存在一个正边形，使其中的，理由： 由（1）得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； （2）略 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 12．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图：   六边形是正六边形， ， 又 ，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $