精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三上学期高考适应性月考卷（三）数学试题

云南师大附中2027届高考适应性月考卷（三） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】由题意得：，或，． 2. 已知复数满足，则在复平面内的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据复数的几何意义即可得解. 【详解】设，由， 得在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则表示点到原点的距离， 又圆心到原点的距离为， 所以圆上的点到原点的距离的最小值为. 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的投影公式即可求解. 【详解】向量在向量方向上的投影向量. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式及平方关系可得，再代入条件关系即可求出结论. 【详解】. 5. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，根据单调性判断即可. 【详解】根据所给三个数的形式构造函数， 求导得， 令，则， 所以在上单调递增，故，即， 所以当时，，即在单调递减. 因为，所以，即. 6. 在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置和球的半径，再由球的表面积公式求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以为直角三角形，为其斜边，为直角三角形，为其斜边， 取的中点为，则， 所以点是三棱锥的外接球的球心，球的半径， 所以外接球的表面积． 7. 设集合，，建立到的一个函数关系，：，为值域，且有，则从集合到集合的不同的函数的个数为（ ） A. 3 B. 12 C. 27 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】先由把问题转化为“的象须同时取到与”，再从全部种对应中扣除象集缺少或缺少的情形，重复扣除的部分补回，即得所求函数的个数． 【详解】由知已含在值域中，而值域恰为， 故、都须在、、中取到． 暂不要求值域为时，、、各自可在中任取一值，共有种对应； 其中象集中不含的有种（象只能取自）， 象集中不含的也有种（象只能取自）， 象集中既不含又不含的有种（象只能取自）， 所以满足值域为的对应共有种． 8. 已知，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根据做差法可求出，令，再利用基本不等式，即可求得其最小值. 【详解】由题意知 ， 因为，，所以，， 所以，即 令，， 当时，即时，两个等号同时成立， 故原式取得最小值8. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在分层抽样中，每层抽取的样本数量一定要相等 B. 回归分析中，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C. 回归分析中，线性相关系数，表示两个变量没有任何关系 D. 在二项分布中，如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】结合分层抽样定义判断A；结合残差定义和性质判断B；结合相关系数定义判断C；结合二项分布性质判断D. 【详解】分层抽样为按比例抽样，每层样本数不一定相等，A不正确； 线性相关系数，表示两个变量没有线性相关关系，可能存在非线性关系，C不正确；B为残差的性质，D为二项分布的性质，故均正确. 10. 若数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列是递增数列，数列可能不是递增数列 B. 数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 C. 若是等差数列（公差），，则是的充分不必要条件 D. 若是等比数列，则（，）的充要条件是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列递增定义、等差与等比数列前项和性质，通过举反例和逻辑推导逐一判断命题真假. 【详解】若数列是递增数列，当数列时，是递减数列，故A正确； 数列是递增数列不能推出数列的各项均为正数， 例如：0，1，2，3， ，故B不正确； 不能推出 例如：，，1，3，故C不正确； 等比数列，，乘积为 0，说明至少某个，且. 等比求和 ，所以公比， 此时，即； 反过来，若，则，所以，时乘积为 0，D正确. 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：（），设，，点为抛物线上的动点（异于顶点），连接并延长交抛物线于点，连接，并延长交抛物线于点，，连接，，，设，的斜率分别为，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，则的坐标为 C. 若为抛物线的焦点，则的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线与抛物线方程联立，求弦长即可判断A，根据抛物线的性质即可判断BC，利用斜率公式即可判断D. 【详解】选项A．直线，设∴ ∴．∵∴，故A正确； 对于B，若，则E的坐标为，故B错误； 对于C，若E为抛物线的焦点，设MN的倾斜角为则的最小值为，故C正确； 对于D，设则有， 即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某电商平台统计了次促销活动中，优惠券发放数量（万张）与当日订单量（万单）的样本数据，如下表：若变量，的经验回归方程为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由表格中的数据可得，， 所以这组数据的样本中心点的坐标为，代入经验回归方程得，解得. 13. 如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式、累加法求得正确答案. 【详解】由图中实心点的个数得 ，， ， 相邻两数之差依次构成首项为 、公差为 的等差数列，故 ， 则 ， 所以 14. 已知椭圆，左焦点，右焦点，点在椭圆上，点为内切圆的圆心，则的横坐标为__________，若、的斜率分别为、，则__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设内切圆与三个切点分别为、、，设点，将点的坐标代入椭圆方程，可得出的值，可求出、的值，结合切线长定理可求出的值，结合等面积法可求出内切圆的半径，可得出的值，再结合斜率公式求解即可. 【详解】如图，设内切圆与三个切点分别为、、， 在椭圆中，，，则， 故其焦点为、， 由椭圆的定义可得，， 将点的坐标代入椭圆方程得，可得， 所以，， 由切线长定理可得，，， ， 又因为， 故，设点，由圆的几何性质可得，则，解得， ， 设的内切圆半径为，则 ，解得，故， ，，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某农场对两块试验田种植的同一种农作物产量进行抽样统计，甲试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差，乙试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差． （1）求全部100株样本单株产量的总体平均数与总体方差； （2）已知甲试验田的单株作物评为优质品的概率为，乙试验田的单株作物评为优质品的概率为．现对这100株样本采用分层抽样的方式抽取5株，若从这5株中随机抽取1株检测，求该株为优质品的概率． 【答案】（1）85，27.4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、方差的求法求得总体平均数与总体方差； （2）根据全概率公式求得正确答案. 【小问1详解】 总体平均值： 【小问2详解】 分层抽样按各层容量之比分配， 抽取的 株中来自甲、乙试验田的株数之比为 ， 即甲 株、乙 株， 从这 株中随机抽取 株， 该株来自甲、乙试验田的概率依次为 、． 记 为“抽到的这 株为优质品”， 由全概率公式得 ． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，点为的中点，点为线段上靠近点的三等分点． （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质确定四棱锥的高，然后计算底面的面积，最后由到平面的高是的，再结合棱锥体积公式计算体积； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量的夹角公式计算二面角的大小. 【小问1详解】 ∵，为的中点，∴，. 又平面平面，平面平面，平面， 由面面垂直性质定理得：平面.为上靠近的三等分点，则， 由底面，得点到底面 ABCD的距离：，， 故四棱锥的体积为. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 取为上靠近点的三等分点，可得， 因为，所以，即，取得. 由（1）知平面，则取平面的一个法向量为， ，故二面角的大小为． 17. 在中，已知，． （1）证明：为锐角三角形； （2）若的周长为10，求的面积． 【答案】（1）证明：由正弦定理得，， 又，所以. 又，则， 则，又且， 所以. 由余弦定理得， 所以. 由正弦定理有，， ，又，所以，所以， 所以为锐角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得和正弦定理边角互化求得，再结合三角形内角和证明； （2）由正弦定理求三边比例，结合周长求边长，再代入面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 又，所以， 则. 又，可得：， 所以. 18. 已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． （1）求双曲线的标准方程； （2）试证明直线的斜率为定值； （3）若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）证明：显然直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，将其与双曲线方程联立得， 化简得（，且）． 设，由韦达定理，，得， 将代入直线的方程，解得，则． 同理可得． 故直线的斜率. （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入双曲线方程结合离心率公式以及的关系即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线联立根据韦达定理解出点的坐标，同理可得点的坐标，再根据两点斜率公式即可证明； （3）根据的坐标可求出点的坐标，然后消去参数即可求解. 【小问1详解】 由题意，则,∵点在双曲线上， ∴，解得，则， ∴双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，， ∴的中点的坐标为， 即，整理得：，又因为， 所以点的轨迹方程为：或. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）证明：当时，恒成立； （3）若函数．存在，满足，且，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， （2）由（1）知，则. 令，，则. . 令，则， 所以在上单调递增，又，所以，即. 同理令，则， 所以在上单调递增，又，所以，即. 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即当时，. （3）. 理由如下： 的定义域为. . 令，则，易知在上单调递增， 又. 故在上单调递减，在上单调递增，. 所以，在上单调递增，且. 由，满足，且. 若，则，，，矛盾. 所以. 由（2）知，当时，①. 下面先证，即证. 由，，且在上单调递增，要证，只需证. 又，即证，从而只需证. 令，，即证. . 令，， 则. 令， 则， 令， 则， 所以在上单调递增，又，所以. 则在上单调递减，又，所以. 则在上单调递增，又，所以. 从而，， 所以在上单调递减，又，所以，即. 故，. 因为，所以与单调性相同，在上单调递减，在上单调递增. 由，且，，在上单调递增，所以. 结合①式，所以. 【解析】 【分析】（1）切点在切线上，得；切线斜率为，即，联立可求，. （2）构造，只需证，将拆项配对，利用，的变形判断每一项的符号证明在上单调递减，即可证明； （3）先求的单调性：令，由得，结合定位；再证推出，利用（2）的结论与在上单调递增完成大小比较. 【小问1详解】 因为点在切线上，所以，即. ，切线的斜率为，所以，解得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高考适应性月考卷（三） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，，建立到的一个函数关系，：，为值域，且有，则从集合到集合的不同的函数的个数为（ ） A. 3 B. 12 C. 27 D. 36 8. 已知，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在分层抽样中，每层抽取的样本数量一定要相等 B. 回归分析中，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C. 回归分析中，线性相关系数，表示两个变量没有任何关系 D. 在二项分布中，如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值 10. 若数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列是递增数列，数列可能不是递增数列 B. 数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 C. 若是等差数列（公差），，则是的充分不必要条件 D. 若是等比数列，则（，）的充要条件是 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：（），设，，点为抛物线上的动点（异于顶点），连接并延长交抛物线于点，连接，并延长交抛物线于点，，连接，，，设，的斜率分别为，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，则的坐标为 C. 若为抛物线的焦点，则的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某电商平台统计了次促销活动中，优惠券发放数量（万张）与当日订单量（万单）的样本数据，如下表：若变量，的经验回归方程为，则__________． 13. 如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则______． 14. 已知椭圆，左焦点，右焦点，点在椭圆上，点为内切圆的圆心，则的横坐标为__________，若、的斜率分别为、，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某农场对两块试验田种植的同一种农作物产量进行抽样统计，甲试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差，乙试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差． （1）求全部100株样本单株产量的总体平均数与总体方差； （2）已知甲试验田的单株作物评为优质品的概率为，乙试验田的单株作物评为优质品的概率为．现对这100株样本采用分层抽样的方式抽取5株，若从这5株中随机抽取1株检测，求该株为优质品的概率． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，点为的中点，点为线段上靠近点的三等分点． （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 17. 在中，已知，． （1）证明：为锐角三角形； （2）若的周长为10，求的面积． 18. 已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． （1）求双曲线的标准方程； （2）试证明直线的斜率为定值； （3）若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）证明：当时，恒成立； （3）若函数．存在，满足，且，试比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $