云南省昆明市云南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期第二次学科体验活动数学试题

第二次学科体验活动 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（ ） A． B． C． D． 2．在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数为奇函数，则（ ） A．1 B．0 C． D．2 4．已知，则（ ） A． B． C．2 D．3 5．设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ） A． B． C． D． 6．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20 h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A．2 h B．4 h C．20 h D．40 h 7．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ） 附：若：，则，，． A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773 8．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C上一点，右顶点A到直线的距离为，点P到x轴的距离为，若，且，，成等比数列，则双曲线C的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．已知函数，则（ ） A．的最大值为1 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的图象关于对称 10．设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ） A．直线l过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 11．已知连续函数满足，，，，则（ ） A． B．最小值为1 C．， D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 13．5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为_________． 14．已知e为自然对数的底数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． （1）当时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望． （2）当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 16．已知正项等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设满足，求的前n项和为． 17．如图，已知在斜三棱柱中，，是边长为2的菱形，且，． （1）求证：平面平面； （2）若，E是的中点，，求与平面所成线面角的正弦值． 18．已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点A是椭圆的右顶点． （1）求椭圆离心率； （2）已知点，，若椭圆上存在一点P，满足，求m的值； （3）若直线l与交于B、C两点，且为直角，求证：直线l恒过定点． 19．已知函数，． （1）证明：有唯一零点； （2）记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《第二次学科体验活动》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C B B D D AB ACD 题号 11 12 13 14 答案 ACD 8 15．（1）当时，X的可能取值为0，1，2，3，那么，得到，，1，2，3，分布列如下：故． X 0 1 2 3 P 6分 （2）由（1）可知，用X表示要补播种的坑的个数，则，当时，，设，则，令，得；令，得，，故，所以当时，单调递增；当时，单调递减，故当或6时，概率最大，最大概率为． 13分 16．【详解】（1）设正项等比数列的公比为q，则，由已知，故，两式相除得，结合，解得，又，故，代入可得，所以，又，得，所以； 7分 （2）由（1）得，n为偶数时， ， n为奇数时，， 综上，． 15分 17．（1）如图，连接，取的中点Q，连接，，由为菱形，所以．又由，且，平面，平面，所以平面，故而①．又由，所以为等边三角形，所以．由，所以，且，平面，平面，所以平面，所以②，由①②，平面，平面，所以平面，平面，故而平面平面 6分 （2）如图，取的中点F，连接，由（1）知：，，由F为的中点，则，即，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由，所以，，，，所以，． 设，由，得：， 所以，，，所以． 设平面的法向量为，则即 令，则，，所以， 令为与平面所成线面角， 所以， 所以与平面所成线面角的正弦值为． 15分 18．（1）抛物线的焦点为，因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距．又，所以．所以椭圆的离心率． 3分 （2）因为，所以，即P为线段的中点．又，，所以．由点P在椭圆上，得，即，解得． 又，所以． 9分 （3）由（1）知．设，，因为为直角，所以，即，其中B、C均与A不重合．若l与x轴平行，设，则B、C关于y轴对称，设，，由得，结合解得，，此时C与A重合，不合题意，故l不与x轴平行，可设．代入椭圆方程，整理得．因为直线l与椭圆交于B、C两个不同的点，所以判别式，即． 所以，，且，． 于是，即，因式分解得，解得或． 当时，直线恒过点，而A在椭圆上，所以B、C中恰有一点与A重合，不存在，不符合题意，舍去；当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点A，符合题意． 所以直线l恒过定点． 17分 19．（1）当时，，所以在上无零点，因为，所以在上单调递增，所以在上至多一个零点，当时，有唯一零点1．当时，因为，，所以函数有唯一零点，得证． 5分 （2）（i）不存在，理由如下：由（1）知，，且，两边取自然对数，得，（*）所以，两式相减，得，所以．因为函数在上单调递增，所以，所以数列单调递增．假设数列中存在，，成等比数列，则，所以． 由（*）式得，，代入上式，得，．（**）因为，所以，又，所以方程（**）无解．所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列； 11分 （ii）先证明：时，，（***）设，则，所以当时，，单调递减：当时，，单调递增，所以，当且仅当时，等号成立．由（***）式知，，所以，所以，所以．在（***）式中，令，得，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，，当且仅当时等号成立． 当时，在（***）式中，令，得，所以时，．当时，成立． 所以，得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $