3.4 圆周角 知识解读·题型专练 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

3.4 圆周角（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【颖型1·圆周角的概念辨析及简单运算】 2 【颖型2 圆周角定理】 4 【题型3·同弧或等弧所对的圆周角相等】 6 【题型4·半圆(直径)所对的圆周角是直角】 9 【题型5·90 度的圆周角所对的弦是直径】 11 【题型6·己知圆内接四边形求角度】 14 【题型7·求四边形外接圆的直径】 16 【随堂检测】 19 知识点1 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 3. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 知识点2 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【颖型1·圆周角的概念辨析及简单运算】 【典例1】下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 【变式1-1】如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 【变式1-2】如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 【变式1-3】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 【颖型2 圆周角定理】 【典例2】如图，点A、B、C均在上，连接、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角定理可知． 【变式2-1】如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的半径相等、等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：在中，，，则是等边三角形， ， ， ． 【变式2-2】如图，点A，B，C在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形性质推出，进而得到，再根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解： ，， ， ， ， ． 【变式2-3】如图，是的直径，A，C分别是圆周上的两个点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出的度数，再利用邻补角的性质求出的度数． 【详解】解：与分别是中弧所对的圆周角和圆心角 是的直径 【题型3·同弧或等弧所对的圆周角相等】 【典例3】如图，在中，为直径，弦，，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由弦相等得到弧相等，再由等弧所对的圆周角相等得到，再由等边对等角得到，再由三角形内角和定理得到，从而得到所对的圆心角为，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：弦， ， 则， ， ， 则在中，由三角形内角和定理可得， 所对的圆心角为， 则由圆周角定理可得． 【变式3-1】如图，点，，，在上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，的直径平分弦．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据垂径定理的推论得，进而得出，然后根据“同弧所对的圆周角相等”得出答案． 【详解】解：如图， ∵直径平分弦， ∴，交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，是的直径，点在上，，连接交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据，可以求出，再根据圆周角定理可得，最后利用三角形外角性质即可求出． 【详解】解：如图，连接 , 又 ． 【题型4·半圆(直径)所对的圆周角是直角】 【典例4】如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 【变式4-1】如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，内接于，是的直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直径得出直角，再根据圆周角定理进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵与所对的弧相同， ∴． 【变式4-3】如图，是四边形的外接圆，是的一条直径，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是的直径可得，由得，可得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5·90 度的圆周角所对的弦是直径】 【典例5】下列图形中的线段是圆的直径的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．连接，由邻补角的性质求得，利用圆周角定理求得，，据此求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-2】如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现，则该圆形工件的半径长为（    ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，90°的圆周角所对的弦是直径，先根据等边对等角的到，然后得到，进而求出，然后根据是圆O的直径即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是圆O的直径，即半径长为10cm， 故选A． 【变式5-3】如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（    ）度 A．64 B．26 C．52 D．32 【答案】C 【分析】连接，根据，可得点C在点O为圆心的圆上，从而得到，再求出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴点C在点O为圆心的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点P在量角器上显示的读数为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据题意得到点C在点O为圆心的圆上是解题的关键． 【题型6·己知圆内接四边形求角度】 【典例6】如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角是圆心角的一半即可得，根据是直径可知，，根据等腰直角三角形可知，，进而根据角度关系即可求解． 【详解】， ． 是的直径， ， ， ， ． ∵四边形是的内接四边形， ∴ ． 【变式6-2】如图，四边形内接于，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 【变式-6-3】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”即可求得答案． 【详解】解：因为四边形是的内接四边形，， 所以． 所以． 【题型7·求四边形外接圆的直径】 【典例7】如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【变式7-1】如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 【变式7-2】如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角． 2．如图，是上的三个点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 4．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 5．如图，在中，是的中点，点是上一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由圆心角、弧、弦的关系得到，再由圆周角定理即可知． 【详解】解：如图，连接， 是中点，， ， ． 6．如图，四边形内接于圆，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∴， ∴． 7．同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 【详解】解：同圆中，所对的圆周角是． 8．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 9．如图所示，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，交于点E．若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】连接，根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形三线合一得出，根据求得． 【详解】解：连接， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴． 10．如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________． 【答案】50 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得解． 【详解】解：如图，连接． ， ． 是的直径，是的弦，且， ， ． 11．如图，是的直径，点C、D在上，且在的两侧，连接，若，则的度数为____________． 【答案】/100度 【分析】先推导出，进而得到，则，即可解答． 【详解】解：∵同为的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是_____． 【答案】24寸 【分析】易得为直角三角形，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴（寸）． 13．如图，中，，则的度数是_______． 【答案】/度 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，求出，根据圆周角定理得到，再根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 圆周角（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【颖型1·圆周角的概念辨析及简单运算】 2 【颖型2 圆周角定理】 3 【题型3·同弧或等弧所对的圆周角相等】 4 【题型4·半圆(直径)所对的圆周角是直角】 5 【题型5·90 度的圆周角所对的弦是直径】 6 【题型6·己知圆内接四边形求角度】 7 【题型7·求四边形外接圆的直径】 8 【随堂检测】 9 知识点1 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 3. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 知识点2 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【颖型1·圆周角的概念辨析及简单运算】 【典例1】下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【变式1-2】如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【颖型2 圆周角定理】 【典例2】如图，点A、B、C均在上，连接、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点A，B，C在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，是的直径，A，C分别是圆周上的两个点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3·同弧或等弧所对的圆周角相等】 【典例3】如图，在中，为直径，弦，，的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，点，，，在上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，的直径平分弦．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，是的直径，点在上，，连接交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型4·半圆(直径)所对的圆周角是直角】 【典例4】如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，内接于，是的直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，是四边形的外接圆，是的一条直径，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型5·90 度的圆周角所对的弦是直径】 【典例5】下列图形中的线段是圆的直径的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】筒车作为我国古代伟大的水利灌溉发明，在水利发展史上意义非凡．图②是从正面看到的一个筒车（图①）的形状示意图，筒车与水面分别交于点，，连接，，点在的延长线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现，则该圆形工件的半径长为（    ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【变式5-3】如图，在中，，，以点O为圆心的量角器（半圆O）的直径和重合，零刻度落在点B处（即从点B处开始读数），点D是上一点，连结并延长交半圆于点P，若，则点P在量角器上显示的读数为（    ）度 A．64 B．26 C．52 D．32 【题型6·己知圆内接四边形求角度】 【典例6】如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，四边形内接于，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式-6-3】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【题型7·求四边形外接圆的直径】 【典例7】如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是上的三个点．若，则（     ） A． B． C． D． 3. 如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是的中点，点是上一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于圆，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 8．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 9．如图所示，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，交于点E．若，，则的长为______． 10．如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________． 11．如图，是的直径，点C、D在上，且在的两侧，连接，若，则的度数为____________． 12．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是_____． 13．如图，中，，则的度数是_______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $