2026-2027学年苏科版九年级上册数学 第三周 《“从确定性”研究圆中的角》专项复习

**基本信息** 聚焦圆中角的确定性关系，通过轨迹分析、动态转化等方法构建从概念到综合应用的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题|圆心角与圆周角转化、弧度数关系|从角的数量关系到弧长性质，建立圆中角的确定性认知| |性质应用|12题|轨迹法求最值、对称变换、中位线构造|结合动态问题，通过几何变换将不确定问题转化为确定关系| |综合探究|12题|辅助线模型（连半径、作垂线）、圆内接四边形性质|以圆的性质为核心，整合三角形、四边形知识，形成问题解决链|

2026-2027九上数学第三周《“从确定性”研究圆中的角》 1．（2025秋•南京校级月考）在⊙O中，若∠AOB＝2∠COD，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 2．（2024秋•锡山区校级期末）如图，已知⊙O的半径为2，P是⊙O外一点，PO＝5，点A、B在⊙O上，且满足BP＝BA，则线段PA的取值范围是　 　 ． 3．（2010•龙岩校级自主招生）AB、CD是⊙O的两条弦，∠AOB与∠C互补，∠COD与∠A相等，则∠AOB的度数是　 　 ． 4．（2008•南京自主招生）如图，DE为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，延长AB与直线DE交于C，且BC等于圆的半径，已知∠AOD＝54°，则∠ACD＝（　　） A．18° B．22.5° C．30° D．15° 5．（2025•南京一模）如图，△ABO为等边三角形，A，B在⊙O的圆周上，AO＝1，P为圆周上一动点，C为BP的中点，当P在圆周上运动时，AC的最小值为　 　 ． 6．（2025•濉溪县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到点B时停止运动，连接CP，点A关于直线CP的对称点A1，连接A1C，A1P． （1）线段A1C的长为 　 　 ； （2）在运动的过程中，点A1到直线AB距离的最大值是 　 　 ． 7．（2025春•玄武区期末）如图，点A的坐标为（8，6），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝5，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为 　 　 ． 8．（2025•秦淮区模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE＝3，若P为平面内一点，且满足∠APD＝90°，连接PE，则线段PE的最小值为 　 　 ，最大值为 　 　 ． 9．（2025•鼓楼区三模）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），，点C是坐标平面内一点，且BC＝2，点D是线段AC的中点，连接OD，当OD取最大值时，点D的坐标为　 　 ． 10．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，则CD的最大值为 　 　 ． 11．（2025•西城区校级模拟）如图，点E是边长为4的正方形ABCD内一点，且∠E＝90°，将线段DE以点D为中心逆时针旋转90°得到线段DF，点G是BC的中点，连接FG，则FG的最大值为　 　 ． 12．（2024•玄武区校级自主招生）如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB＝60°，D是的中点，则　 　 ． 13．（2025•南京一模）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，，且的度数为的度数的一半．若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为（　　） A．120° B．96° C．108° D．100° 14．（2026•南京一模）如图①，在半径为10的⊙O中，弦AB＝12，点P在优弧AB上，过点P作PC⊥AB分别交⊙O、弦AB于点C、D．连接PB，过点A作AE⊥PB分别交⊙O、弦PB、PC于点E、F、G． （1）如图②，当PC为⊙O的直径时，求CD的长； （2）求证：CD＝GD； （3）当点P运动时，关于PG的长的描述，正确的是　 　 ． A．PG的长随PC的增大而增大 B．PG的长随PC的增大而减小 C．PG的长随PC的增大先增大后减小 D．PG的长随PC的增大而不变 15．（2015•佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F． （1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC； （2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数； （3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小． 【典型例题】 1．（2026春•南京校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弧BC的中点，连接AC、BC、AD，AD与BC相交于点H，过点D作直线DG∥BC，交AC的延长线于点G． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若弧AC＝弧BD，CG＝2，求阴影部分的面积． 2．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角． （1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角， ①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝　 　 °； ②若⊙O的半径是1，AB，求∠APB的度数； （2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系． 3．（2026春•南岗区校级期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动，感受数学与生活的联系．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D到桌面的距离DE为20cm，此时底部边缘A与E之间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A与C之间的距离AC长多少厘米？ 4．（2021秋•句容市期中）【提出问题】 （1）如图①，已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短． 小明给出下列解答，请你补全小明的解答． 小明的解答 过点O作ON⊥l，垂足为N．ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．理由：不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ． ∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON， ∴　 　 ． 又ON＝OM+MN； ∴OP+PQ＞OM+MN． 又 　 　 ， ∴　 　 ． 【操作实践】 （2）如图②，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出满足条件的某一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹并用水笔加黑描粗） 【应用尝试】 （3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），⊙O的半径r的取值范围是 　 　 ． 5．（2021•南京一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的⊙O．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，⊙O过点C且与AB相切；（作出一个即可） （2）在图②中，D为AB上一定点，⊙O过点C且与AB相切于点D； （3）在图③中，E为AC上一定点，⊙O过点C、E且与AB相切． 【巩固提升】 1．（2023•南京模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，则弦CD＝　 　 ． 2．（2011•南京）如图，海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB＝80°．为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为　 　 ． 3．（2024秋•阳信县期末）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M，其中正确的结论是 　 　 （填序号）． ①∠MAC＝∠PBC； ②△ABC是等边三角形；③PC＝PA+PB；④△PCM是等边三角形． 4．（2024秋•雨花期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝6，则⊙O的半径长为 　 　 ． 5．（2024•宿城区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝　 　 °． 6．（2024秋•鼓楼区期中）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为40°，则∠B+∠D的度数为 　 　 °． 7．2025年镇江市足球联赛（俗称“镇超”）首轮比赛开始于10月25日．某校数学小组对进球进行了数学探究：足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门MN的张角大小，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点M，N，E，F，G均在格点上，球员带球沿EF方向进攻，最好的射点在（　　） A．点F B．线段EF（异于端点）上一点 C．点G D．线段FG（异于端点）上一点 8．（2024秋•西城区校级期中）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于． 下列说法中： ①AC的长为2；②∠ADC＝120°；③若劣弧被点D分为1：2的两部分，则∠DBC＝20°； ④若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是； 所有正确结论的序号是 　 　 ． 9．（2025•江岸区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD． （1）求证：AD＝BD； （2）若AB＝6，AC＝2，求的值． ∴OB＝BC ∴∠ABO＝2∠ACD， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA ∴∠AOD＝∠OAB+∠OCA＝3∠ACD ∵∠AOD＝54°， ∴∠ACD＝18°． 故选：A． 4．（2024秋•锡山区校级期末）如图，已知⊙O的半径为2，P是⊙O外一点，PO＝5，点A、B在⊙O上，且满足BP＝BA，则线段PA的取值范围是　．　 ． 【解答】解：∵BP＝BA， ∴点B为AP的中垂线与⊙O的交点， 如图，当点A在PO的延长线上时，存在点B，此时AP有最大值，最大值为OP+OA＝5+2＝7； 如图，当PA的中垂线与⊙O相切于点B时，PA最小，设中垂线交PA于点C，连接OB，OA，过O作OD⊥PA于点D， 则∠OBC＝∠BCD＝∠ODC＝90°， 又∵OB＝OD， ∴四边形BCDO是正方形， ∴BC＝CD＝OB＝2， 设PC＝AC＝t，则AD＝2﹣t，PD＝t+2， 在Rt△AOD中，OD2＝22﹣（2﹣t）2， 在Rt△POD中，OD2＝52﹣（2+t）2， ∴22﹣（2﹣t）2＝52﹣（2+t）2， 解得t，则PA＝2t＝2， 综上分析，线段PA的取值范围是． 故答案为：． 5．（2025•兰山区一模）如图，△ABO为等边三角形，A，B在⊙O的圆周上，AO＝1，P为圆周上一动点，C为BP的中点，当P在圆周上运动时，AC的最小值为　　 ． 【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥OB，连接CE， ∵OA＝1， ∴OP＝OB＝OA＝1， ∵△ABO是等边三角形， ∴点E是BO的中点， 又∵点C是BP的中点， ∴CE是△BPO的中位线， ∴，BE＝OE，AE⊥OB， 在Rt△AEB中，， ∵当点A、C、E三点共线时AE有最小值， ∴当点A、C、E三点共线时AC有最小值， 最小值为， 故答案为：． 6．（2025•濉溪县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到点B时停止运动，连接CP，点A关于直线CP的对称点A1，连接A1C，A1P． （1）线段A1C的长为 　　 ； （2）在运动的过程中，点A1到直线AB距离的最大值是 　　 ． 【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图1， ∵∠ACB＝45°，则△CDB为等腰直角三角形， ∵∠BAC＝30°，AB＝2， ∴AD＝AB•cos30°，BD＝1， 故AC＝CD+AD＝BD+AD＝1， ∵点A关于直线CP的对称点为A1， 故A1C＝AC， 故答案为：． （2）由题意知A1C＝AC，故点A1的运动轨迹为圆弧，如图2所示： 当A1C⊥直线AB于点D时，此时点A1到直线AB距离 A1 D最大． ∵AC，∠BAC＝30°， ∴CD， 故A1 D＝A1C﹣CD， 故答案为：． 7．（2025春•邗江区期末）如图，点A的坐标为（8，6），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝5，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为 　　 ． 【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点E（8，﹣6），连接CE，OE， 则点B是AE的中点， 又∵点D是AC的中点， ∴BD是△AEC的中位线， ∴， ∴当EC最大时，BD最大， ∵点C为坐标平面内一点，且OC＝5，当点C在EO延长线时，EC有最大值， ∵OB＝8，BE＝6， ∴， ∴CE的最大值为10+5＝15， ∴BD的最大值， 故答案为：． 8．（2025•驿城区模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE＝3，若P为平面内一点，且满足∠APD＝90°，连接PE，则线段PE的最小值为 　　 ，最大值为 　　 ． 【解答】解：取AD的中点F，连接EF，以AD为直径作圆， ∵∠APD＝90°， ∴点P在以AD为直径的圆上， ∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，AE＝3， ∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°， ∴AF＝DF＝2， ∴， ∵点P在以AD为直径的圆上， ∴PE的最小值为，最大值为． 故答案为：，． 9．（2025•凉州区三模）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），，点C是坐标平面内一点，且BC＝2，点D是线段AC的中点，连接OD，当OD取最大值时，点D的坐标为　（2，2）　 ． 【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0）， 则点O是AA'的中点， 又∵点D是AC的中点， ∴OD是△AA'C 的中位线， ∴，OD∥A'C． ∴当A'C最大时，OD最大， ∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2， ∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动， ∴当A'C经过圆心B时，A'C最大，即点C在图中C'位置， ， A'C'＝A'B+BC'＝6+2＝8， ∴， 设点D的横坐标为x， ∵OD∥A'C'，， ∴点D的纵坐标为， ∴， 解得 x＝±2（负值去除），即点D的横坐标为 x＝2， ∴点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 10．（2024秋•荔湾区校级期末）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，则CD的最大值为 　　 ． 【解答】解：连接OD，OA，OC，取OA的中点O1，连接O1C，O1D， ∵D是AB的中点， ∴∠ODA＝90°， ∴， ∴点D在以2为半径的⊙O1上运动， ∴当点D运动至CO1的延长线与⊙O1的交点处时，CD取得最大值为CO1+2， ∵OA＝OC＝4，， ∴∠AOC＝90°， ∴， ∴CD的最大值为， 故答案为：． 11．（2025•西城区校级模拟）如图，点E是边长为4的正方形ABCD内一点，且∠E＝90°，将线段DE以点D为中心逆时针旋转90°得到线段DF，点G是BC的中点，连接FG，则FG的最大值为　2+2　 ． 【解答】解：连接CF，取CD的中点H， 由旋转的性质知，∠CDF＝∠ADE， ∵AD＝CD，DE＝DF， 则△ADE≌△DCF（SAS）， 则∠CFD＝∠E＝90°， 则点F在以CD为直径的圆H上，连接GH、FH， 当G、H、F共线时，GF最大， 则HFCD＝2，GHCG＝2， 则GF的到最大值为2+2， 故答案为：2+2． 12．（2024•海曙区校级自主招生）如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB＝60°，D是的中点，则　　 ． 【解答】解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠DPB＝60°， ∴∠APC＝∠DPB＝60°， ∴∠CAD＝90°﹣∠APC＝30°， ∵D是的中点， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BAC＝∠CAD+∠BAD＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°， ∴． 故答案为：． 13．（2025•南京一模）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，，且的度数为的度数的一半．若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为（　　） A．120° B．96° C．108° D．100° 【解答】解：连接OA，OC，OB，OD， ∵∠BAC＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， ∴∠AOD+∠BOD+∠AOC＝360°﹣∠BOC＝280°， ∵， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵的度数为的度数的一半， ∴∠AOC∠AOD， ∴∠AOC∠AOD∠BOD， ∴∠AOD＝112°， ∴∠ACD∠AOD＝56°， ∵∠BEC是△AEC的一个外角， ∴∠BEC＝∠ACD+∠BAC＝96°， 故选：B． 14．（2026•南京一模）如图①，在半径为10的⊙O中，弦AB＝12，点P在优弧AB上，过点P作PC⊥AB分别交⊙O、弦AB于点C、D．连接PB，过点A作AE⊥PB分别交⊙O、弦PB、PC于点E、F、G． （1）如图②，当PC为⊙O的直径时，求CD的长； （2）求证：CD＝GD； （3）当点P运动时，关于PG的长的描述，正确的是D ． A．PG的长随PC的增大而增大 B．PG的长随PC的增大而减小 C．PG的长随PC的增大先增大后减小 D．PG的长随PC的增大而不变 【解答】（1）解：连接OA． ∵PC为⊙O的直径时，PC⊥AB， ∴AD＝BD＝6， 在Rt△OAD中，OA＝10，AD＝6， ∴OD2＝OA2﹣AD2， 解得OD＝8． ∴CD＝OC﹣OD＝10﹣8＝2； （2）证明：连接AC， ∵在⊙O中，PC⊥AB，AE⊥PB， ∴∠ADG＝∠PFG＝90°． 又∵∠AGD＝∠PGF， ∠ADG+∠AGD+∠GAD＝∠PFG+∠GPF+∠PGF＝180°， ∴∠GAD＝∠GPF． ∵， ∴∠CAD＝∠GPF． ∴∠GAD＝∠CAD． 在△GAD和△CAD中， ， ∴△ABC≌△CAD（ASA）． ∴CD＝GD； （3）解：如图，过O作AB、PC的垂线段，垂足分别为M、N，连接OB， 则AM＝BMAB＝8，PN＝CNPC， 在Rt△OBM中，OM8， ∵∠OMD＝∠MDN＝∠OND＝90°， ∴四边形AMDN是矩形， ∴OM＝DN＝8， 设GD＝CD＝x， ∴PN＝CN＝CD+DN＝x+8， ∴PC＝PN+CN＝2x+16， ∴PG＝PC﹣CG＝2x+16﹣2x＝16， ∴PG的长随PC的增大而不变， 故答案为：D． 15．（2015•佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F． （1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC； （2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数； （3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小． 【解答】解：（1）∠E＝∠F， ∵∠DCE＝∠BCF， ∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF， ∴∠ADC＝∠ABC； （2）由（1）知∠ADC＝∠ABC， ∵∠EDC＝∠ABC， ∴∠EDC＝∠ADC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A＝90°﹣42°＝48°； （3）连接EF，如图， ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠ECD＝∠A， ∵∠ECD＝∠1+∠2， ∴∠A＝∠1+∠2， ∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°， ∴2∠A+α+β＝180°， ∴∠A＝90°． 16．（2026春•南京校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弧BC的中点，连接AC、BC、AD，AD与BC相交于点H，过点D作直线DG∥BC，交AC的延长线于点G． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若弧AC＝弧BD，CG＝2，求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OD，交BC于点E， ∵点D为的中点， ∴OD垂直平分BC， ∵DG∥BC， ∴∠ODG＝∠OEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DG⊥OD， ∴DG是⊙O的切线． （2）解：连接OC、CD，则OA＝OC＝OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠G＝∠ACB＝90°，∠CED＝∠EDG＝90°， ∴四边形CEDG是矩形， ∴DE＝CG＝2， ∵，点D为的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD180°＝60°， ∴△AOC和△COD都是等边三角形， ∵CE⊥OD， ∴OE＝DE＝2， ∴AC＝OC＝CD＝OD＝2DE＝4， ∴AG＝AC+CG＝6，DG2， ∵∠CAH∠COD＝30°， ∴AH＝2CH， ∵ACCH＝4， ∴CH， ∴S阴影＝S△AGD﹣S△ACH6×24， ∴阴影部分的面积是． 17．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角． （1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角， ①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝　90　 °； ②若⊙O的半径是1，AB，求∠APB的度数； （2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系． 【解答】解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝90°． 故答案为：90； ②如图，连接AB、OA、OB． 在△AOB中， ∵OA＝OB＝1．AB， ∴OA2+OB2＝AB2． ∴∠AOB＝90°． 当点P在优弧上时，∠APB∠AOB＝45°； 当点P在劣弧上时，∠AP′B（360°﹣∠AOB）＝135° （2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况． 第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图① ∵∠MAN＝∠APB+∠ANB， ∴∠APB＝∠MAN﹣∠ANB； 第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②． ∵∠MAN＝∠APB+∠ANP＝∠APB+（180°﹣∠ANB）， ∴∠APB＝∠MAN+∠ANB﹣180°； 第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③． ∵∠APB+∠ANB+∠MAN＝180°， ∴∠APB＝180°﹣∠MAN﹣∠ANB， 第四种情况：点P在⊙O2内，如图④， ∠APB＝∠MAN+∠ANB． 18．（2026春•南岗区校级期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动，感受数学与生活的联系．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D到桌面的距离DE为20cm，此时底部边缘A与E之间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A与C之间的距离AC长多少厘米？ 【解答】解：在Rt△ADE中，， 由题意得AB＝AD＝25cm， 在Rt△ABC中，， ∴AC的长为24厘米，即底部边缘A与C之间的距离AC长为24厘米． 19．（2021秋•句容市期中）【提出问题】 （1）如图①，已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短． 小明给出下列解答，请你补全小明的解答． 小明的解答 过点O作ON⊥l，垂足为N．ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．理由：不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ． ∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON， ∴OP+PQ＞ON ． 又ON＝OM+MN； ∴OP+PQ＞OM+MN． 又 OP＝OM ， ∴PQ＞MN ． 【操作实践】 （2）如图②，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出满足条件的某一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹并用水笔加黑描粗） 【应用尝试】 （3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），⊙O的半径r的取值范围是 　1＜r＜4　 ． 【解答】解：（1）答案是OP+PQ＞ON，OP＝OM，PQ＞MN； （2）如图1， ⊙O是求作的图形； （3）如图2， 取AC的中点，作EF∥BC交AE于F，以AF为直径作⊙O，作⊙O′过点A切EF于F， ∴∠FEO′＝∠AFE＝90°， ∴AF∥EO′， ∴∠AEO′＝∠BAC＝60°， ∵AO′＝EO′， ∴△ADO′是等边三角形， ∴AE＝AO′， ∵AB＝8，∠B＝30°， ∴ACAB＝4， ∴AF＝2， ∴⊙O的半径是1， 作AD⊥O′E于D， ∴AE4， ∴1＜r＜4， 故答案为：1＜r＜4． 20．（2021•南京一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的⊙O．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，⊙O过点C且与AB相切；（作出一个即可） （2）在图②中，D为AB上一定点，⊙O过点C且与AB相切于点D； （3）在图③中，E为AC上一定点，⊙O过点C、E且与AB相切． 【解答】解：（1）如图1，⊙O即为所求． ①以A为圆心，AC为半径画弧交AB于E； ②分别以E、C为圆心，大于EC长为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点A，交BC于点O； ③以O为圆心，OC为半径的圆O即为所求． （2）如图2，⊙O即为所求． ①连接CD，作CD垂直平分线； ②过点D作AB垂线交CD的垂直平分线于点O； ③连接OD、OC，以O为圆心，OD为半径的圆即为所求． （3）如图3，⊙O即为所求． ①作CE垂直平分线，确定其中点D； ②以D为圆心，DA为半径画弧交BC于点F； ③以A为圆心，CF为半径画弧交AB于点H； ④过点H作AB垂线交CE垂直平分线于点O； ⑤O为圆心，OC为半径作圆O即为所求． 21．（2023•南京模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，则弦CD＝　2　 ． 【解答】解：连接OC，过点O作OH⊥CD，垂足为H， ∴CD＝2CH， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝45°， ∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACO＝90°， ∵， ∴OA＝OC2， ∵∠B＝75°， ∴∠ACD＝∠B＝75°， ∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝30°， 在Rt△OCH中，OHOC＝1，CHOH， ∴CD＝2CH＝2， 故答案为：2． 22．（2011•南京）如图，海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB＝80°．为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为　40°　 ． 【解答】解：∵海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB＝80°． ∴当P点在圆上时，不进入经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，轮船P与A、B的张角∠APB最大， 此时为∠AOB＝80°的一半，为40°． 故答案为：40°． 23．（2025•江岸区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD． （1）求证：AD＝BD； （2）若AB＝6，AC＝2，求的值． 【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴． ∵∠ACD＝∠ABD，∠BCD＝∠BAD， ∴∠ABD＝∠BAD． ∴AD＝BD． （2）解：如图所示，连接OD，过点C作CH⊥AB于H． ∵AB是⊙O的直径，AB＝6， ∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝DO＝3． ∵AC＝2， ∴． ∴． ∴． ∵AD＝BD，CH⊥AB， ∴OD垂直平分AB，∠EHC＝90°． ∴∠EOD＝90°． ∴∠EHC＝∠EOD． ∵∠CEH＝∠DEO， ∴△CEH∽△DEO． ∴． 24．（2024秋•阳信县期末）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M，其中正确的结论是 　①②③④　 （填序号）． ①∠MAC＝∠PBC； ②△ABC是等边三角形； ③PC＝PA+PB； ④△PCM是等边三角形． 【解答】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点， ∴∠PBC+∠PAC＝180°， ∵∠PAC+∠MAC＝180°， ∴∠MAC＝∠PBC；故①正确，符合题意； ∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形，故②正确，符合题意； ∵四边形APBC是⊙O的内接四边形， ∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°； ∵CM∥BP， ∴∠M+∠APB＝180°， ∴∠M＝∠ACB； 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC， ∵∠BPC＝∠BAC＝60°， ∴∠M＝∠BPC； 在△ACM与△BCP中， ， ∴△ACM≌△BCP（AAS）． ∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM； ∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°， ∴△MPC为等边三角形，故④正确，符合题意； ∴PC＝PM， ∴PC＝PA+PB，故③正确，符合题意， 故答案为：①②③④． 25．（2024秋•宁波期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝6，则⊙O的半径长为 　　 ． 【解答】解：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，如图所示： 则∠ACE＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AC＝EC，∠E＝45°， ∴∠CAD＝∠E＝45°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＝∠CBE， 在△CAD和△CBE中， ， ∴△CAD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝BE， ∵AB+AD＝6， ∴AE＝AB+BE＝AB+AD＝6， 在Rt△ACE中，AC＝EC， 由勾股定理得：AEAC， ∴ACAE， ∵CF是⊙O的直径， ∴∠CAF＝90°， 在Rt△CAF中，∠F＝∠ABC＝60°， ∴∠ACF＝30°， ∴AFCF， 由勾股定理得：CF2﹣AF2＝AC2， ∴， ∴CF， ∴⊙O的半径长为． 26．（2024•宿城区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝　35　 °． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°， ∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°， ∴∠EDC+∠FBC＝180°， ∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵∠E＝45°， ∴∠F＝35°， 故答案为：35． 27．（2024秋•鼓楼区期中）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为40°，则∠B+∠D的度数为 　160　 °． 【解答】解：连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE， ∵为40°， ∴∠ABE＝∠ADE＝20°， ∵点A、B、C、D在⊙O上， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°， ∴∠B+∠D＝180°﹣∠ABE＝180°﹣20°＝160°． 故答案为：160． 28．2025年镇江市足球联赛（俗称“镇超”）首轮比赛开始于10月25日．某校数学小组对进球进行了数学探究：足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门MN的张角大小，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点M，N，E，F，G均在格点上，球员带球沿EF方向进攻，最好的射点在（　　） A．点F B．线段EF（异于端点）上一点 C．点G D．线段FG（异于端点）上一点 【解答】解：如图所示， 令正方形网格的边长为1， 所以OE＝OF＝OM＝ON， 所以点M，N，E，F都在圆O上． 令点A为MG与圆O的交点， 由同弧所对的圆周角相等可知，∠MEN＝∠MFN＝∠MAN． 因为∠MAN＝∠MGN+∠ANG， 所以∠MAN＞∠MGN， 所以∠MEN＝∠MFN＞∠MGN． 令点B为EF上异于端点的一点，MB的延长线与圆O交于点C， 则∠MCN＝∠MEN＝∠MFN． 因为∠MBN＝∠MCN+∠BNC， 所以∠MBN＞∠MCN， 所以∠MBN＞∠MEN＝∠MFN＞∠MGN， 所以最好的射点在线段EF（异于端点）上一点． 故选：B． 29．（2024秋•西城区校级期中）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于． 下列说法中： ①AC的长为2； ②∠ADC＝120°； ③若劣弧被点D分为1：2的两部分，则∠DBC＝20°； ④若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是； 所有正确结论的序号是 　①　 ． 【解答】解：①过点O作OH⊥AC于点H，连接OA，OC，如图1所示： 第5页（共30页） 学科网（北京）股份有限公司 $