3.3 圆的对称性（知识解读）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册《知识解读·题型专练》

3.3 圆的对称性（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【题型 1··利用弧、弦、圆心角的关系求解】 2 【题型 2··利用弧、弦、圆心角的关系求证】 3 【题型 3·求圆弧的度数】 4 【题型 4·利用垂径定理求值】 5 【题型 5·利用垂径定理求平行弦问题】 6 【题型 6·利用垂径定理求同心圆问题】 7 【题型 7·利用垂径定理求解其他问题】 8 【题型 8·垂径定理的实际应用】 9 【随堂检测】 10 知识点1 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 知识点2 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【题型 1··利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【典例1】如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】图，的半径为9，是两条弦，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型 2··利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【典例2】如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 【变式2-1】如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？    【变式2-2】已知：如图，，是的直径，C是上一点，且． 求证： ． 【变式2-3】已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 【题型 3·求圆弧的度数】 【典例3】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________． 【变式3-2】如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为________°． 【变式3-3】如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 【题型 4·利用垂径定理求值】 【典例4】如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-1】如图，水平放置的一个油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，则截面上有油部分油面（单位：）等于（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知的半径为，是的弦，，点是线段上的动点，连接，则的最小值是____． 【变式4-3】向日葵是日常生活中较常见的一种植物，图1中向日葵结籽的部分可近似看成是如图2所示的圆形，其圆心为，直径为，弦上结了一排葵花籽，经测量，圆心到弦的距离为，则弦的长为_______． 【题型 5·利用垂径定理求平行弦问题】 【典例5】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式5-1】已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【变式5-2】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【变式5-3】的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【题型 6·利用垂径定理求同心圆问题】 【典例6】如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【变式6-1】如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 【变式6-2】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 【变式6-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【题型 7·利用垂径定理求解其他问题】 【典例7】如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 【变式7-1】下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【变式7-2】如图，为球门边框的两端点，为的外接圆，．当运动员带球沿运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．无法确定 【变式7-3】如图，为的直径，为的弦，于点E，延长交于点F，，求证：． 【题型 8·垂径定理的实际应用】 【典例8】如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【变式8-1】文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【变式8-2】福州是一座蕴存着绚丽风光，并拥有深厚人文底蕴的城市．她散落分布着很多历史悠久的古村落．现福州某乡镇景区需要复原一个古代圆拱形木门（示意图），已知木门半径，测得门槛，门的高于点，且过点，求的长．    【变式8-3】如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．    (1)作于点C，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 随堂检测 【随堂检测】 1．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 6．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图圆的一条弦长为，圆心到弦的距离为，则该圆的半径为______． 8．半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 9．如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 10．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 11．小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 12．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为60分米，过点作，交于点，交AB于点，水面下盛水筒的最大深度为10分米（即分米）． (1)求的半径； (2)若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的60分米变为80分米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少分米？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 圆的对称性（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【题型 1··利用弧、弦、圆心角的关系求解】 2 【题型 2··利用弧、弦、圆心角的关系求证】 4 【题型 3·求圆弧的度数】 7 【题型 4·利用垂径定理求值】 10 【题型 5·利用垂径定理求平行弦问题】 12 【题型 6·利用垂径定理求同心圆问题】 17 【题型 7·利用垂径定理求解其他问题】 21 【题型 8·垂径定理的实际应用】 23 【随堂检测】 27 知识点1 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 知识点2 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【题型 1··利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【典例1】如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-1】如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：C 【变式1-2】如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：A． 【变式1-3】图，的半径为9，是两条弦，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求弧长，弧与弦之间的关系，先根据弧长公式求出的长，再根据同圆中等弦所对的弧相等可得，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为9，， ∴的长， ∵， ∴， ∴的长为， 故选B． 【题型 2··利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【典例2】如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，从而得到，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】略 【变式2-1】如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？    【答案】 相等，理由如下： ∵， ∴， ∴，即 ∴， 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等是解题的关键． 先根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明，由此得到． 【详解】解：略． 【变式2-2】已知：如图，，是的直径，C是上一点，且． 求证： ． 【答案】 证明：∵， ∴． 又∵（已知）， ∴， ∴． 【分析】先由得到，通过等量代换得到即可证明． 【详解】略． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【变式2-3】已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 【答案】 证：∵ ∴ ∴ 【分析】根据角之间的关系，得到，再根据弦与圆心角的关系，即可求解． 【详解】略 【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们之间的关系． 【题型 3·求圆弧的度数】 【典例3】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 【变式3-1】如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________． 【答案】/50度 【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，则， 由折叠的性质得：， ， 是等边三角形， ， ， ， 则弧的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【变式3-2】如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为________°． 【答案】70 【分析】连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出弧CF度数． 【详解】 解：如图，连接OF， ∵∠A＝70°，∠B＝55°， ∴∠C＝180°−∠A−∠B＝55°， ∵OC＝OF， ∴∠CFO＝∠C＝55°， ∴∠COF＝180°−∠C−∠CFO ＝70°， ∴弧CF的度数是70°． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键． 【变式3-3】如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 【答案】105°． 【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°， ∴∠AOD=35°， ∵CD=CO， ∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE， ∴∠ODC=∠E=35°， ∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴的度数是105°． 故答案为105°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【题型 4·利用垂径定理求值】 【典例4】如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 【变式4-1】如图，水平放置的一个油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，则截面上有油部分油面（单位：）等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理，易知、的长；连接，根据勾股定理即可求出的长，进而可求出的值． 此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用． 【详解】解：如图；连接； 根据垂径定理，得； 中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故选：A． 【变式4-2】如图，已知的半径为，是的弦，，点是线段上的动点，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，理解垂线段最短是解题的关键．连接，当时，的最小值，由垂径定理可得：，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，当时，的最小值， 是的弦，， ， 的半径为，即， ， 故答案为：． 【变式4-3】向日葵是日常生活中较常见的一种植物，图1中向日葵结籽的部分可近似看成是如图2所示的圆形，其圆心为，直径为，弦上结了一排葵花籽，经测量，圆心到弦的距离为，则弦的长为_______． 【答案】24 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵圆心到弦的距离为， ∴， ∴； 故答案为：24． 【题型 5·利用垂径定理求平行弦问题】 【典例5】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式5-1】已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 【变式5-2】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 【变式5-3】的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：当两条平行弦在的同侧时和当两条平行弦在的异侧时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当两条平行弦在的同侧时，如图，过点作于点，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当两条平行弦在的异侧时，如图，过点作于点，于，连接， ∵，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴共线， ∴， 综上，这两条平行弦之间的距离为或， 故答案为：或． 【题型 6·利用垂径定理求同心圆问题】 【典例6】如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1) 证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【变式6-1】如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 【变式6-2】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式6-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1) 证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【题型 7·利用垂径定理求解其他问题】 【典例7】如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】首先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再通过垂径定理可得，从而可证． 本题考查等腰三角形的三线合一性质及圆的垂径定理，掌握相关定理是解题的关键． 【详解】略 【变式7-1】下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理， 根据垂径定理及其逆定理逐项判断即可. 【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确； 因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确； 因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确； 因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确. 故选：B. 【变式7-2】如图，为球门边框的两端点，为的外接圆，．当运动员带球沿运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】由垂径定理得垂直平分，进而推导出，，，，再根据三角形外角定理判断出，从而得到射门角越来越大的结论． 【详解】解：∵的圆心在上， ∴线段是的直径， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∵， ∴， 即， ∴射门角的变化情况是越来越大． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的外角定理，解题关键是根据三角形外角定理判断角的大小关系． 【变式7-3】如图，为的直径，为的弦，于点E，延长交于点F，，求证：． 【答案】 证明：，为的直径， ，， ∵延长交于点，， ，， 在和中， ， ， ， ． 【分析】先根据垂径定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 【题型 8·垂径定理的实际应用】 【典例8】如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【答案】米 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接，设圆的半径为，米根据勾股定理，则，即可． 【详解】连接， ∵， ∴米， 设圆的半径为， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为米． 【变式8-1】文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 【变式8-2】福州是一座蕴存着绚丽风光，并拥有深厚人文底蕴的城市．她散落分布着很多历史悠久的古村落．现福州某乡镇景区需要复原一个古代圆拱形木门（示意图），已知木门半径，测得门槛，门的高于点，且过点，求的长．    【答案】的长是． 【分析】本题考查了垂径定理的应用．利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：依题意得：， ，， ， 在中，，根据勾股定理得： ， ， 答：门的高度的长是． 【变式8-3】如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．    (1)作于点C，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理： （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过O作于点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，    ∵O为圆心，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的长为； （2）解：过O作于点D，连接，    由题意得，， 在中，， ∴， ∴ ∴水面截线减少了． 随堂检测 【随堂检测】 1．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，过点O作于点D，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D， 弦， ， ， 即圆心O到的距离为． 2．如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 3．如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过邻补角的性质得到的度数，再由圆心角定理即可求得结果． 【详解】在中，C，D是上的点，， ∴， ∴． 4．如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，利用弧、弦、圆心角的关系即可得的度数． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 5．如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 6．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 7．如图圆的一条弦长为，圆心到弦的距离为，则该圆的半径为______． 【答案】 【分析】由垂径定理求出，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由题意的，，， ∴， ∴在中，， 即该圆的半径为． 8．半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，垂径定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接，如图 有， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则，， ∴， 在中， ， ． 故答案为：． 9．如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1) ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，        ∴为的中点； (2) 【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定理，进行解答，即可． （1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线是性质，可得， 根据垂径定理，即可； （2）根据三角形的中位线，则，根据，求出，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）略 （2）解：为的中点，为的中点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 【答案】 【分析】连接，根据是的直径，弦于点E得，根据得，根据得，根据得，在中，根据勾股定理得，计算得，即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， ， ， ， ∴． 11．小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【答案】 尝试：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 猜想：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 【分析】尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦；再通过等腰三角形内角计算，证明，得出，同理证明，最终得到； 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明，得出，同理，结合等弧对等弦的性质完成证明． 【详解】尝试： 略 猜想： 略 12．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为60分米，过点作，交于点，交AB于点，水面下盛水筒的最大深度为10分米（即分米）． (1)求的半径； (2)若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的60分米变为80分米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少分米？ 【答案】(1)50分米 (2)10分米 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得分米，设圆的半径为r分米，则分米，分米，利用勾股定理得，即，解方程即可得解； （2）设水面升到如图的位置，则，与相交于点G，根据垂径定理得分米，由勾股定理求出，再根据即可得解． 【详解】（1）解：如图，由题意可知，分米，分米， ∵分米，， ∴分米， 设圆的半径为r分米，则分米，分米， 在中，，即， 解得， 即该圆的半径为50分米； （2）解：设水面升到如图的位置，则，与相交于点G， ∵，且经过圆心， ∴（分米）， 连接， 在中，分米，分米， ∴（分米）， ∴（分米）， 即水面上涨的高度为10分米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $