第06讲 圆的基本概念、垂径定理、圆心角圆周角（核心知识+8易错辨析+9典例精讲+课后作业）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦圆的核心知识，系统梳理圆的定义、弦与弧等相关概念、点与圆位置关系，递进讲解垂径定理及“知二推三”推论，圆心角弧弦关系（强调同圆等圆前提），圆周角定理及推论（直径对直角、圆内接四边形对角互补），构建从概念到定理应用的学习支架。 资料亮点在于8个易错辨析精准突破概念混淆（如等弧需同圆等圆），9个典例覆盖多题型（如垂径定理计算、足球射门视角问题），结合勾股定理模型培养推理能力。课中助教师高效授课，课后通过分层作业帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

第06讲 圆的基本概念、垂径定理、圆心角圆周角 （核心知识+8易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【知识点01】圆的基本概念 1. 圆的定义 描述性定义：平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆。其中O为圆心，OA为半径。 集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 记法：⊙O，读作圆O。 2. 基础相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段；直径：经过圆心的弦，直径是圆中最长的弦，长度满足直径=2r。 弧：圆上两点间的部分。半圆：直径分圆得到的两条弧；优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示；劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示。 等圆：半径相等的两个圆；等弧：能够互相重合的弧，核心前提：必须在同圆或等圆中。 3. 点与圆的位置关系 设圆半径为r，点到圆心距离为d： 点在圆外⇔ d>r 点在圆上⇔ d=r 点在圆内⇔ d<r 【知识点02】垂径定理及其推论 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：∵CD是⊙O直径，CD⊥AB，∴AE=BE,， 2. 垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 关键限制：被平分的弦不能是直径，两条直径互相平分，但不一定垂直。 3. 垂径五要素 ①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对劣弧；⑤平分弦所对优弧。知二推三，需规避弦为直径的特殊情况。 4. 核心计算模型 常用辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理得核心公式：r²=d²+()² （r为半径，d为圆心到弦距离，l为弦长） 【知识点03】圆心角、弧、弦的关系 核心前提：同圆或等圆中 相等的圆心角⇔所对弧相等⇔所对弦相等⇔弦心距相等。 规律：知一得三，只要一组量相等，其余对应量全部相等，脱离同圆或等圆前提，结论不成立。 【知识点04】圆周角定理及推论 1. 圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，即∠A=∠O。 3. 重要推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：直径所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。（高频辅助线：遇直径，构造直角三角形） 推论3：圆内接四边形对角互补；外角等于内对角。 符号语言：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 常见易错点 错误案例 正确结论 弦与直径的概念混淆 认为弦就是直径 直径是特殊的弦，弦不一定是直径 等弧概念误解 认为长度相等的弧是等弧 等弧必须是同圆/等圆中能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧 垂径定理推论漏条件 平分弦的直径垂直于弦 平分非直径弦的直径垂直于弦，两条直径互相平分但不一定垂直 圆心角弧弦关系漏前提 圆心角相等，则弦、弧相等 必须在同圆或等圆中，该结论才成立 圆周角定义理解错误 顶点在圆上的角就是圆周角 需同时满足：顶点在圆上、两边都与圆相交 弦对应圆周角认知偏差 一条弦只对应一个圆周角 一条弦对应优弧、劣弧两条弧，对应两组互补的圆周角 圆内接四边形性质混淆 邻角互补 对角互补，外角等于内对角，邻角不互补 垂径计算漏解 默认圆心在弦单侧，只算一种情况 圆心可在弦的两侧，此类题型常存在双解，需分类讨论 【题型一】圆的相关概念 【例1】．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 【例2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【例3】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，，，则__________． 【变式1】．下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C在上．若，则的度数为__________ 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 【题型二】确定圆的条件 【例4】．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例5】．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【例6】．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【例7】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 【例8】．（24-25九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为______． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为________ 【变式3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    【变式4】．如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．    (1)请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (2)若，求小明家花坛的周长（结果保留π） 【变式5】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，画出的外心O； (2)在图②中，画出的内心 【题型三】利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 【例9】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例10】．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 【例11】．如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是圆O的直径，C是弧的中点，若，则的度数___________．    【变式2】．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？    【题型四】利用垂径定理求值 【例12】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离是_______． 【变式2】．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__ ． 【变式3】．（2024·江苏泰州·一模）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 【题型五】垂径定理的实际应用 【例13】．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是___________．    【变式2】．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【题型六】圆周角定理 【例14】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的弦的延长线相交于点E，的度数是（　　） A．150° B．140° C．145° D．130° 【例15】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 【例16】．（2024·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则________°． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，点都在上，，则的度数等于______． 【变式2】．如图，已知四边形内接于．求证：． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【题型七】同弧或等弧所对的圆周角相等 【例17】．（25-26九年级上·江苏·寒假作业）如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门前的点，，处射门，点，，都在同一个以为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是（　　） A．甲踢进足球的可能性最大 B．乙踢进足球的可能性最大 C．丙踢进足球的可能性最大 D．三位球员踢进足球的可能性一样大 【变式1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、在上，且，．则的周长为___________． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，弦与相交于点H，，连接．求证：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． (1)若，，求的度数； (2)作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 【题型八】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例18】．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，内接于，是直径，若，则___________°． 【变式3】．如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的度数是________． 【题型九】已知圆内接四边形求角度 【例19】．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【例20】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的度数为____． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，A、B、C、D是上的点，若的度数为，则________． 【变式3】．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【题型十】综合压轴小问 【例21】．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，的弦、相交于点P，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为的直径，C、D是半圆的两个三等分点，求的度数． 【例22】．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，内接于，仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在上找一点P，使得； (2)如图2，在上找一点Q，使得． 【例23】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数 【变式1】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【变式3】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是的直径，点在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图1，若是半圆的中点，且与点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图2，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，，交直径于点，则______． 1. 概念辨析：明确弦、直径、弧、等弧的区别，牢记等弧、圆心角弧弦关系的前提是同圆或等圆；点与圆位置关系由d与r的大小关系判定。 2. 垂径定理核心：掌握“知二推三”规则，熟记勾股计算模型，重点规避“平分直径的弦不垂直”的特例，平行弦、弦距问题注意分类讨论双解。 3. 角度核心定理：圆周角是对应圆心角的一半；直径对应直角，直角对应直径；圆内接四边形对角互补、外角等于内对角。 4. 万能辅助线：①遇弦，作圆心垂线（用垂径定理）；②遇直径，连圆上点（构造直角三角形）。 5. 解题避坑要点：区分“弦所对”与“弧所对”的角度，弦对应两条弧、两组互补圆周角，做题切勿遗漏多解情况。 一、单选题 1．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（    ） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 3．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 4．下列说法正确的是：（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则下列角中可确定大小的是（　　） A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA 6．如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 8．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（　　） A．55° B．64° C．65° D．70° 二、填空题 9．如图所示，为的弦，，则的度数为______． 10．如图，在中，弦，点A是圆上一点，且，则的半径是________． 11．如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若，则的长为______． 12．平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为______． 13．已知：如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过CO的中点D作DE∥AB交⊙O于点E，连接EO，则∠EOC的度数为________． 14．如图，内接于，，，为的直径，，则长为___________． 15．直角三角形的两条边分别为和，则其外接圆半径长为_____． 三、解答题 16．如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 17．如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：． 18．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证； (2)若，，求的度数． 19．如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 20．如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． (1)求的长． (2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 21．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． (1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： (3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 22．已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 圆的基本概念、垂径定理、圆心角圆周角 （核心知识+8易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【知识点01】圆的基本概念 1. 圆的定义 描述性定义：平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆。其中O为圆心，OA为半径。 集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 记法：⊙O，读作圆O。 2. 基础相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段；直径：经过圆心的弦，直径是圆中最长的弦，长度满足直径=2r。 弧：圆上两点间的部分。半圆：直径分圆得到的两条弧；优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示；劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示。 等圆：半径相等的两个圆；等弧：能够互相重合的弧，核心前提：必须在同圆或等圆中。 3. 点与圆的位置关系 设圆半径为r，点到圆心距离为d： 点在圆外⇔ d>r 点在圆上⇔ d=r 点在圆内⇔ d<r 【知识点02】垂径定理及其推论 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：∵CD是⊙O直径，CD⊥AB，∴AE=BE,， 2. 垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 关键限制：被平分的弦不能是直径，两条直径互相平分，但不一定垂直。 3. 垂径五要素 ①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对劣弧；⑤平分弦所对优弧。知二推三，需规避弦为直径的特殊情况。 4. 核心计算模型 常用辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理得核心公式：r²=d²+()² （r为半径，d为圆心到弦距离，l为弦长） 【知识点03】圆心角、弧、弦的关系 核心前提：同圆或等圆中 相等的圆心角⇔所对弧相等⇔所对弦相等⇔弦心距相等。 规律：知一得三，只要一组量相等，其余对应量全部相等，脱离同圆或等圆前提，结论不成立。 【知识点04】圆周角定理及推论 1. 圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，即∠A=∠O。 3. 重要推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：直径所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。（高频辅助线：遇直径，构造直角三角形） 推论3：圆内接四边形对角互补；外角等于内对角。 符号语言：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 常见易错点 错误案例 正确结论 弦与直径的概念混淆 认为弦就是直径 直径是特殊的弦，弦不一定是直径 等弧概念误解 认为长度相等的弧是等弧 等弧必须是同圆/等圆中能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧 垂径定理推论漏条件 平分弦的直径垂直于弦 平分非直径弦的直径垂直于弦，两条直径互相平分但不一定垂直 圆心角弧弦关系漏前提 圆心角相等，则弦、弧相等 必须在同圆或等圆中，该结论才成立 圆周角定义理解错误 顶点在圆上的角就是圆周角 需同时满足：顶点在圆上、两边都与圆相交 弦对应圆周角认知偏差 一条弦只对应一个圆周角 一条弦对应优弧、劣弧两条弧，对应两组互补的圆周角 圆内接四边形性质混淆 邻角互补 对角互补，外角等于内对角，邻角不互补 垂径计算漏解 默认圆心在弦单侧，只算一种情况 圆心可在弦的两侧，此类题型常存在双解，需分类讨论 【题型一】圆的相关概念 【例1】．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了圆的定义，解题的关键是掌握圆的定义．利用圆的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，“一中”指的是定点（圆心），“同长”指的是到定点的距离相等（半径）， 所以该图形是圆． 故选：A． 【例2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是②③． 对于①：正方形也是轴对称图形，但不会用于当作车轮，故排除； 对于④：该描述为垂径定理的内容，与题干信息无关联，故排除； 故答案为：C． 【例3】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，，，则__________． 【答案】/40度 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的相关性质、三角形的内角和定理．先利用邻补角性质和平行线的性质求得，再根据等边对等角性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 【变式2】．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C在上．若，则的度数为__________ 【答案】 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】分两种情况讨论：当弦在靠近点C的一侧时；当弦在靠近点D的一侧时；连接、，由直径为10得出半径为5，根据线段比得出的长，由，由勾股定理得出长，再用勾股定理求长． 【详解】解：分以下两种情况： 当弦在靠近点C的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当弦在靠近点D的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，弦的长为或． 【题型二】确定圆的条件 【例4】．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 【例5】．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【知识点】确定圆心(尺规作图)、圆的基本概念辨析 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 【例6】．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 【例7】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 【例8】．（24-25九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为______． 【答案】 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】根据三角形的外心是三边中垂线的交点，由的坐标可知，圆心M必在直线上；由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到． 【详解】解：设的外心为M， ， ∴M必在直线上，由图知：的垂直平分线过，故， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心是三边中垂线的交点、确定圆心的位置是解题的关键． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为________ 【答案】． 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 所以的外心坐标为 ， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．则能完全覆盖的最小圆的半径为___________．    【答案】 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求出，根据钝角三角形最小覆盖圆是以最长边为直径的圆得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 则能够完全覆盖这个三角形的最小圆面是以为直径的圆，圆的半径是， 故答案为：． 【变式4】．如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．    (1)请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (2)若，求小明家花坛的周长（结果保留π） 【答案】(1) 如图所示：圆即为所求：    (2) 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作出的外接圆即可； （2）算出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 圆的半径为 ∴小明家花坛的周长为： 【点睛】本题考查了三角形的外接圆．三角形的外接圆圆心是三条边垂直平分线的交点，熟记结论即可． 【变式5】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，画出的外心O； (2)在图②中，画出的内心 【答案】(1) 如图①中，点O即为所求； 理由：取格点D，连接交于点O， 根据题意得：四边形是矩形， ∴，点O为的中点， ∴点O为的外心； (2) 如图②中，点P即为所求． 理由：连接，由作法得：平分，点E到的距离为2 ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 设点E到的距离为h， ∵， ∴， 解得：， ∴点E到，的距离相等， ∴点E在的平分线上， ∴点P为，的平分线交点， 即点P为的内心． 【知识点】三角形内心有关应用、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）线段的垂直平分线与的交点O即为所求； （2）取格点E，F，作射线交于点P，点P即为所求． 【题型三】利用弧、弦、圆心角的关系求解与证明 【例9】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】求出，可得结论． 【详解】解：∵的度数为， ∴， ∴的度数为， 故选D． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解圆心角的度数与所对的弧的度数相等． 【例10】．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 【例11】．如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，从而得到，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】略 【变式1】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是圆O的直径，C是弧的中点，若，则的度数___________．    【答案】/40度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵C是弧的中点， ∴弧弧， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【变式2】．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】连接，由，知，据此得，根据可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？    【答案】 相等，理由如下： ∵， ∴， ∴，即 ∴， 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等是解题的关键． 先根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明，由此得到． 【详解】解：略． 【题型四】利用垂径定理求值 【例12】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了用垂径定理求值以及勾股定理解三角形，连接，求出、，根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案． 【详解】解：连接，如下图： ∵的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选∶D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离是_______． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意可得两条平行弦的位置关系分为当和在的两旁时，当和在的同旁时两种情况，分别画出图形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：如图，当和在的两旁时，过作于，交于N，连接，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； 如图，当和在的同旁时， 同理可得：； 故答案为：或． 【变式2】．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，设圆的半径长是r，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径的长． 【详解】解：设圆的半径长是r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径． 故答案为：10． 【变式3】．（2024·江苏泰州·一模）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． 理由：连接， ∵， ∴ 又， ∴ ∴ 又∵， ∴垂直平分， 由垂径定理：点P是的中点， ∴平分． (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理： （1）连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． （2）过点O作，垂足为H，求出由勾股定理求出,从而得,在中由勾股定理求出 【详解】（1）略 （2）解：过点O作，垂足为H， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵ ∴， ∴ 又 ∴ ∴． 【题型五】垂径定理的实际应用 【例13】．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 【答案】2 【知识点】垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是___________．    【答案】/度 【知识点】垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】过O作半径于点F，连，由垂径定理得到，则有，再根据题意证明为等边三角形，得到，则的度数可求． 【详解】解：过O作半径于点F，连， ∴， ∴，    ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 则的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定，及轴对称图形的性质，熟练根据垂径定理作辅助线得到等边三角形是关键． 【变式2】．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【知识点】垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1) 解：如图，点O即为所求； (2) 【知识点】垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点D．连接．利用勾股定理求出，再利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点D．连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 在中，， 解得． 【题型六】圆周角定理 【例14】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的弦的延长线相交于点E，的度数是（　　） A．150° B．140° C．145° D．130° 【答案】B 【知识点】等边对等角、圆周角定理 【分析】根据等腰三角形等边对等角以及三角形外角的性质得出的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键 【例15】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 【详解】解：同圆中，所对的圆周角是． 【例16】．（2024·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则________°． 【答案】28 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到． 由邻补角的性质得到，由圆周角定理求出． 【详解】解：∵， ， ． 故答案为：28． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，点都在上，，则的度数等于______． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，已知四边形内接于．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴． 【知识点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理可得，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是半的直径， ∴， ∵， ∴； (2)圆弧所对的圆心角的度数为． 【知识点】三线合一、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）连接，利用，，得到，再利用圆周角定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角的度数为． 【题型七】同弧或等弧所对的圆周角相等 【例17】．（25-26九年级上·江苏·寒假作业）如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门前的点，，处射门，点，，都在同一个以为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是（　　） A．甲踢进足球的可能性最大 B．乙踢进足球的可能性最大 C．丙踢进足球的可能性最大 D．三位球员踢进足球的可能性一样大 【答案】D 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键就是找到射门角，即射门点与球门两侧所成的角，且角越大，进球率越高．根据射门角越大，射门进球的可能性就越大． 【详解】解：因为点都在圆上，故通过观察处的射门角相等； 故三位球员踢进足球的可能性一样大． 故选：D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、在上，且，．则的周长为___________． 【答案】9 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、等边三角形的判定 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等得到，进而推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为． 故答案为：9． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，弦与相交于点H，，连接．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，根据圆周角定理得出，，再根据全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】略 【变式3】．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． (1)若，，求的度数； (2)作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 【答案】(1) (2) 如图，作的角平分线交圆于点，点即为所求；   【知识点】作角平分线(尺规作图)、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论（同弧所对圆周角相等）和角平分线的作法， （1）根据同弧所对圆周角相等可得，，结合已知即可求出， （2）由（1）可知，进而可得，即是的角平分线，由此即可作图， 【详解】（1）解：∵，， ， 又， ， ∵ ∴. 【题型八】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例18】．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．根据圆周角定理的推论即可得出的度数，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，先确定点在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点在该量角器所在的圆上， ∴， 故选：B ． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，内接于，是直径，若，则___________°． 【答案】 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据圆周角定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵是直径， ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式3】．如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的度数是________． 【答案】/65度 【知识点】圆周角定理、角平分线的有关计算、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】以为直径，以中点O为圆心作四边形外接圆，连接，根据为直径得，根据得，即可得，根据得，即可得，根据平分得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，以为直径，以中点O为圆心作四边形外接圆，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形外接圆，圆周角定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点． 【题型九】已知圆内接四边形求角度 【例19】．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， 故选：． 【例20】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的度数为____． 【答案】/度 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，准确分析计算是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补得到，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，可得出的度数； 【详解】解：四边形内接于，， ， 是所对的圆周角，是所对的圆心角， ； 故答案为：． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形．根据题意得，可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ， ∴， 故选：B． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，A、B、C、D是上的点，若的度数为，则________． 【答案】155 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题主要考查圆周角的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角的性质及圆内接四边形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∴； 故答案为155． 【变式3】．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：四边形内接于圆， ， ， ； (2) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【题型十】综合压轴小问 【例21】．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，的弦、相交于点P，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为的直径，C、D是半圆的两个三等分点，求的度数． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； (2) 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用弧、弦、圆心角的关系求证、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明，从而得出，即可得证； （2）连接，由题意得出的度数为，从而得出，再由圆周角定理即可得解． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接， ， ∵为的直径，C、D是半圆的两个三等分点， ∴的度数为， ∴， ∴． 【例22】．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，内接于，仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在上找一点P，使得； (2)如图2，在上找一点Q，使得． 【答案】(1) 如图1，点即为所求作： (2) 如图2，点即为所求作： 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了作图——复杂作图，圆周角，掌握圆周角定理是解题关键． （1）连接并延长交于点，连接，由是直径，则，即可得解； （2）连接并延长交于点，连接，则是直径，由同弧所对的圆周角相等可得，由直径所对的圆周角是直角可得，则，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【例23】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； (2)． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用弧、弦、圆心角的关系求证、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角． （1）利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）利用圆周角定理求得，再利用直角三角形的性质即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【答案】 尝试：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 猜想：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦；再通过等腰三角形内角计算，证明，得出，同理证明，最终得到； 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明，得出，同理，结合等弧对等弦的性质完成证明． 【详解】尝试： 略 猜想： 略 【变式2】．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1)如图①，t为何值时，的面积等于； (2)如图②，若以点P为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在t值，使得经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)或 5 (2)当时，经过点 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解一元二次方程，圆的相关知识点，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）直接利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题； （2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：在矩形中，， 由题意设运动时间为秒， ， ∵的面积等于， ， 整理得：， 解得：， 即或 5 时，的面积等于； （2）解：在运动过程中，存在值，使得经过点，理由如下： 如图②，连接， ∵经过点， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴当时，经过点． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是的直径，点在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图1，若是半圆的中点，且与点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图2，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，，交直径于点，则______． 【答案】(1) 解：如图1，即为所求的平分线； 证明：是半圆的中点， ， 直径直径， ， ， 即平分； (2) 如图2中，射线即为所求． (3) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、利用垂径定理求平行弦问题、圆周角定理 【分析】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作直径，作射线即可，理由见详解； （2）连接交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论． （3）过点作于点，于点，勾股定理求出的长，根据角平分线的性质，得到，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点F作于点，于点． 是直径， ， ， 平分，，， ， ， ， ， 故答案为：． 1. 概念辨析：明确弦、直径、弧、等弧的区别，牢记等弧、圆心角弧弦关系的前提是同圆或等圆；点与圆位置关系由d与r的大小关系判定。 2. 垂径定理核心：掌握“知二推三”规则，熟记勾股计算模型，重点规避“平分直径的弦不垂直”的特例，平行弦、弦距问题注意分类讨论双解。 3. 角度核心定理：圆周角是对应圆心角的一半；直径对应直角，直角对应直径；圆内接四边形对角互补、外角等于内对角。 4. 万能辅助线：①遇弦，作圆心垂线（用垂径定理）；②遇直径，连圆上点（构造直角三角形）。 5. 解题避坑要点：区分“弦所对”与“弧所对”的角度，弦对应两条弧、两组互补圆周角，做题切勿遗漏多解情况。 一、单选题 1．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 2．已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（    ） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 【答案】D 【分析】根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】解：∵⊙O的直径为10cm， ∴⊙O的弦不可能比10cm更长， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，熟知直径是圆中最长的弦是解题的关键． 3．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键． 根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 4．下列说法正确的是：（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识．根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法不正确； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确． 故选：D． 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则下列角中可确定大小的是（　　） A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA 【答案】C 【分析】由题意根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行分析求解． 【详解】 解：连接OB、OC，如图， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴所对的圆心角为90°， ∴∠BOC=90°， ∴∠BPC=∠BOC=45°． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°是解题的关键． 6．如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先求得，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再根据与互余求解即可，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 8．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（　　） A．55° B．64° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数． 【详解】解：∵BC＝CD， ∴， ∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是， ∴∠BAC＝∠DAC＝36°， ， ∵∠ABD＝∠ACD＝44°， ∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 二、填空题 9．如图所示，为的弦，，则的度数为______． 【答案】/80度 【分析】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握这些知识是解本题的关键． 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：为的弦， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，在中，弦，点A是圆上一点，且，则的半径是________． 【答案】2 【分析】连接，，先由圆周角定理求出的度数，再由判断出是等边三角形，故可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键． 11．如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若，则的长为______． 【答案】5 【分析】连接，则，根据矩形的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆是解决本题的关键． 12．平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为______． 【答案】 【分析】设的外心坐标为点，由三角形的外心到三个顶点的距离相等列出等量关系式，求出点P坐标，即可求解． 【详解】解：设的外心坐标为点，则， ，，， 即解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外心知识以及解直角三角形，掌握三角形的外心到三个顶点的距离相等是解题的关键． 13．已知：如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过CO的中点D作DE∥AB交⊙O于点E，连接EO，则∠EOC的度数为________． 【答案】60° 【分析】由D是OC的中点，得到，然后证明∠EDO=90°，即可得到∠DEO=30°则∠DOE=90°，即∠EOC=60°． 【详解】解：∵D是OC的中点， ∴， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC=90°， ∵ED∥AB， ∴∠EDO=90°， ∴∠DEO=30°， ∴∠DOE=60°，即∠EOC=60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，平行线的性质，垂线的定义，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 14．如图，内接于，，，为的直径，，则长为___________． 【答案】 【分析】根据等角对等边以及三角形内角和定理得出,进而得出，，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴, ∵为的直径， ∴， 又， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 15．直角三角形的两条边分别为和，则其外接圆半径长为_____． 【答案】6.5或6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半．先确定该直角三角形的斜边长，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径． 【详解】解：∵直角三角形的两条边分别为和， ∴当斜边长为时，其外接圆半径长为 当和为直角边长时，斜边长为， ∴其外接圆半径长为； 故答案为：6.5或6． 三、解答题 16．如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆周角定理的推论，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：是直径， ， 又， ， ， ， 17．如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：． 【答案】 证明：∵是直径， ∴，即， ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等知识点． 由是直径得到，则，．再由角平分线得到，那么，即可得到． 【详解】略 18．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：四边形内接于圆， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 19．如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴． 20．如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． (1)求的长． (2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 【答案】(1)米 (2) 解：该船能通过该桥洞．理由如下： 如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米， 由（1）易得米， 米， 若该船随水面上升1米，则点H到线段的距离为2米， 若该船刚好能通过该桥洞，情形如图（2），过点O作于点G， 延长交半圆O于点H，连接， 则米，米． 在中，由勾股定理得（米）． 米． ， 该船能通过该桥洞． 【分析】（1）由垂径定理可知，易得米，，于是，（米），再由可得答案； （2）如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米，由（1）易得米，则米， 【详解】（1）解：如图（1），过点O作于点E，则，． 连接，则米，，当箱子随水面上升1米，点H到线段的距离为2米，求出当木箱刚好通过该桥洞时，的长度，若该长度小于2，则此木箱能通过该桥洞，否则不能． ， （米）， （米）； （2）略 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、特殊角的三角函数值、含30度角的直角三角形性质、矩形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 21．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． (1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： (3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 【答案】(1)③ (2) ①证明∶连接并延长交于点F，分别连接，，，， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是“闪亮四边形”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：过点O作于点G， 由①知， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据“闪亮四边形”的定义结合平行四边形的性质即可解答； （2）①连接并延长交于点F，分别连接，，，，利用垂径定理证明是的中位线，推出，再根据圆周角定理结合“闪亮四边形”的定义，推出，进而推出，，得到，最后，即可得出结论；②过点O作于点G，是等腰三角形，再证明，推出，再根据四边形是的内接四边形，得到，进而求出，，利用勾股定理即可证明； （3）同理（2）②可得，由圆周角定理推出，得到，再根据四边形为的“闪亮四边形”，结合，利用勾股定理可求出，求出，再利用勾股定理求出，由（2）②可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴是矩形， ∵圆的“闪亮四边形”， ∴， ∴是菱形， ∵是矩形， ∴是正方形， 故答案为：③； （2）①略 ②略 （3）解：同理（2）②可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为的“闪亮四边形”，， ∴，， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 由（2）②可得， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键． 22．已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明． 【答案】（1）①；②； （2）证明：延长交圆于点，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心； （3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点D，连接，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， . 【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形； （2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可； （3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等． 【详解】（1）解：①，， ， ． ②连接，过作，垂足为， ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形中，， ； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了圆周角定理，并对圆周角定理的逆命题进行了创新，还考查了解直角三角形和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $