专题04圆的对称性与确定圆的条件暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题04圆的对称性与确定圆的条件暑假预习讲义 · 知识掌握：熟记圆的轴对称、旋转不变性质，吃透垂径定理及推论，掌握同圆中圆心角、弧、弦的等量关系；牢记三点定圆定理，理解三角形外接圆、外心概念，分清三类三角形外心位置特点。 · 解题能力：学会 “过圆心作弦垂线” 的辅助线作法，借助直角三角形结合勾股定理完成弦、半径相关计算；能尺规作出三角形外接圆，利用外心到三顶点距离相等求解线段，解决几何证明与生活实际题型。 · 学习规范：规范几何作图，证明题每一步写明对应定理，自学时标记不懂的难点，上课重点攻克。 · 教学导向：教师梳理两类题型固定解题模型，区分易混淆概念，针对易错点分层布置习题，统一几何书写标准。 预习必备 知识梳理 1.圆的两种对称性质 2.同圆/等圆中圆心角弧弦关系 3.垂径定理及推论 4.过点作圆的规律 5.三角形外接圆与外心相关概念 6.三类三角形外心位置 7.三角形外接圆尺规作图步骤 8.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.利用垂径定理求值 2.由垂径定理求平行弦问题 3.由垂径定理求同心圆问题 4.由垂径定理求解其他问题 5.垂径定理的推论 6.垂径定理的实际应用 7.由弧.弦.圆心角的关系求解 8.由弧.弦.圆心角的关系求证 9.判断确定圆的条件 10.确定圆心 11.求能确定的圆的个数 12.三角形外接圆的概念辨析 13.求三角形外心坐标 14.求特殊三角形外接圆的半径 15.外心位置判断三角形的形状 16.判断三角形外接圆圆心位置 加强题型 解答题11题 知识点 1：圆的两种对称性质 1.轴对称性质 圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 易错区分：直径是线段，不能称为对称轴，直径所在直线才是对称轴。 2.旋转不变性（中心对称） 圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合；旋转 180° 完全重合，圆心为对称中心。 知识点 2：同圆 / 等圆中圆心角、弧、弦关系 定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量，一组相等，则其余两组对应相等。 关键限制：缺少 “同圆或等圆” 条件，结论不成立。 用途：几何证明中实现弧、线段等量转化。 知识点03:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，∵CD⊥AB于P， 2.推论：平分非直径弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，直径CD平分非直径弦AB于P⇒CD⊥AB， 3.拓展结论：弦的垂直平分线必过圆心，且平分弦所对的两条弧 4.核心勾股模型（解题必考）：弦心距d、弦半长、半径r构成直角三角形 公式：d2+(l)2=r2 5.弦心距与弦长关系：同圆 / 等圆中，弦心距越大，弦越短；弦心距越小，弦越长（直径弦心距 = 0，为最长弦） 知识点 4：过点作圆的规律 过 1 个点：可作无数个圆； 过 2 个点：可作无数个圆，所有圆心在两点连线的垂直平分线上； 过 3 个点：三点共线，无外接圆；不在同一直线上的三点确定唯一圆（三点定圆定理）。 知识点 5：三角形外接圆与外心相关概念 概念 定义 核心性质 外接圆 经过三角形三个顶点的圆 圆心为外心，半径相等 内接三角形 三个顶点都在同一个圆上的三角形 顶点均在圆周上 外心 三角形三边垂直平分线交点 到三角形三个顶点距离相等，距离为外接圆半径 知识点 6：三类三角形外心位置对照表 三角形类型 外心位置 专属结论 锐角三角形 三角形内部 无特殊简化公式 直角三角形 斜边中点 外接圆半径=斜边 钝角三角形 三角形外部 外心在最长边外侧 知识点 7：三角形外接圆尺规作图步骤 1.作三角形任意两条边的垂直平分线； 2.两条垂直平分线交点即为外心； 3.以外心到任意顶点的线段长度为半径画圆，得到外接圆。 知识点8.易混概念区分：外心 vs 内心 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等（本节考点）； 内心：三条角平分线交点，到三边距离相等，极易混淆。 知识点9:全节高频易错清单（师生自查） 1.对称轴描述错误，将直径等同于对称轴； 2.圆心角定理遗漏 “同圆、等圆” 前提； 3.垂径定理计算时直接用整条弦长代入公式，未取一半； 4.使用垂径定理忽略 “平分直径弦无法证垂直” 特殊限制； 5.忽略三点定圆 “不共线” 前提，认为任意三点可画圆； 6.混淆外心、内心定义，记错直角三角形外接圆半径公式。 题型1.利用垂径定理求值 【典例】半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为_____；的圆心角所对的弦长为_____；的圆心角所对的弦长为_____． 【答案】 R 【详解】解：设圆心为，圆心角的两边与圆的交点分别为，，过作于，由垂径定理得，且， 当圆心角为时，如图： ∵，， ∴是等边三角形， ∴； 当圆心角为时，如图： ∵，， 在中，； 当圆心角为时，如图，过作于，则， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【跟踪专练1】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 【跟踪专练2】如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与，分别交于点D，E，则弦的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 作于，则，由勾股定理得，通过，从而求出，然后通过勾股定理得，然后代入即可求出的长． 【详解】解：如图，作于， ∴， 在中，由勾股定理，得 ∵， 得， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，先求出半径为，再证明是等腰直角三角形，得到，最后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 弦， ． 题型2.由垂径定理求平行弦问题 【典例】已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 【跟踪专练1】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【跟踪专练2】已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 题型3.由垂径定理求同心圆问题 【典例】如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB， 又∵∠COD＝∠AOB， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD， ∴CD＝AE＝BE， ∵在△ABE中，AE＋BE＞AB， ∴2CD＞AB， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 题型4.由垂径定理求解其他问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，据此即可求解； 【详解】解：由图可知：， 分别作出弦的垂直平分线，如图所示： 根据弦的垂直平分线必过圆心可得：该圆弧所在圆的圆心坐标为， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A：，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分， ∴， D：，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意． 故选：B ． 【跟踪专练2】如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，根据切线的性质可知轴，故可得出四边形是矩形，所以，再求出的长，由垂径定理可得出的长，故可得出的长，进而得出点坐标，再把点坐标代入直线即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵与轴相切于点，∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴， ∴，∵直线恰好平分的面积， ∴点在直线上， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出点坐标即可得出结论． 【跟踪专练3】如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 由是的直径，是弦，，根据垂径定理得，可判断不符合题意；连接、，因为垂直平分，而但不一定平分，所以，而与不一定相等，可判断B符合题意，不符合题意；由、都是的半径，得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径，是弦，， ， 故A不符合题意； 连接、， 垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等， 故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径， ， 故C不符合题意， 故选：B． 题型5.垂径定理的推论 【典例】下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及其推论． 根据垂径定理，平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧． 【详解】A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误； B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确； C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误； D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，所在圆的圆心坐标是______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，熟练掌握垂径定理的推论是解题关键．连接，根据垂径定理的推论可得的线段垂直平分线的交点即为所求，结合网格写出坐标即可得． 【详解】解：连接，结合网格作的线段垂直平分线，交点即为所在圆的圆心． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四点共圆，垂径定理的推论，勾股定理，由垂径定理的推论可得，则可证明点，，，在以为直径的圆上，则的最大值为的长，据此求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点，，，在以为直径的圆上， ， ∵， ∴, 在中，根据勾股定理得， 故选A． 题型6.垂径定理的实际应用 【典例】如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 【跟踪专练2】一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用勾股定理建立方程求出半径，进而求得直径． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为，半径为过点作于点，交于点，连接，， 纸条上下边沿平行，且， ， 由垂径定理可知，为中点，为中点， ，， 由题意及图形可知，圆心在弦，之间，且为纸条宽度， ，即， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得， ， 水杯杯口的直径为． 【跟踪专练3】图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩轴截面所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，矩形的性质与判定，连接交于点，设圆心为点O，连接，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得到，由垂径定理可得，设灯罩截面所在圆的半径为，则，由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点，设圆心为点O，连接， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵直线经过圆心， ∴， 设灯罩截面所在圆的半径为，则 在中，由勾股定理可得， 即， 解得 即灯罩截面所在圆的半径为， 故选：B． 题型7.由弧.弦.圆心角的关系求解 【典例】如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 根据平角的定义得到，根据同圆中等弧所对的圆心角相等计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，是直径，是上的点，于点，于点，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，三角形中位线定理，弧与弦之间的关系，由垂径定理得到点为的中点，则由三角形中位线定理得到，再由垂径定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴点为的中点， ∵是直径， ∴点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 题型8.由弧.弦.圆心角的关系求证 【典例】如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【跟踪专练1】如图，、是的直径，，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等边对等角，平行线的性质，弧、弦、圆心角的关系，灵活运用知识点是解决本题的关键． 连接，根据等边对等角和圆的性质可得，再根据平行线的性质可得，，则可得，即可得到解答． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为___________． 【答案】13 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一部分，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 【跟踪专练3】如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 题型9.判断确定圆的条件 【典例】下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【跟踪专练1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 【跟踪专练2】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【跟踪专练3】如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点、、、四点共圆是解本题的关键． 先判断出点、、、四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点、、、在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选：A． 题型10.确定圆心 【典例】有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________ 【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 再作的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可. 【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心. 【点睛】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键. 【跟踪专练1】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 题型11.求能确定的圆的个数 【典例】如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 【跟踪专练1】已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 【跟踪专练3】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 题型12.三角形外接圆的概念辨析 【典例】如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为____． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点． 先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数． 【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 【跟踪专练2】平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 【跟踪专练3】如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外心，勾股定理与网格，连接，由网格可得，然后根据三角形的外心的定义即可判断，熟练掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得， ∴点是的外心， 故选：． 题型13.求三角形外心坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 【跟踪专练1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图中外接圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外心的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即外心是三角形三边中垂线的交点． 【详解】解：和的垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心，由图知．     故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 题型14.求特殊三角形外接圆的半径 【典例】是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 【分析】直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 【跟踪专练1】在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 【跟踪专练2】点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为___________． 【答案】20 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，由点A坐标求长作为半径，则，设与x轴交于点，与y轴交于点，则，，即可求出b、c，在中利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：点到原点O的距离， 故圆的半径为10， ∴， 设与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，， ∵、两点不与原点重合，即，， ∴，， ∴在中，，，由勾股定理得， 则． 故答案为：20． 【跟踪专练3】如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 题型15.外心位置判断三角形的形状 【典例】若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是________． 【答案】钝角三角形 【分析】根据三角形外心的性质“锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外”即可得． 【详解】解：由三角形外心的性质可得： 钝角三角形的外心在其外部， 故答案为：钝角三角形． 【点睛】本题考查了三角形外心的性质，熟记三角形外心的性质是解题关键． 【跟踪专练1】如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，，如图， ∵是的外心，、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：． 题型16.判断三角形外接圆圆心位置 【典例】下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 【答案】3 【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∴垂直平分， ∵是的垂直平分线，交于点O， ∴点即为外接圆的圆心， ∵， ∴外接圆的半径为3； 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 解答题 1．如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分，已知拱门的地面宽度，线段是过圆心且垂直于于点M，，求构成该拱门的的半径． 【答案】构成该拱门的的半径为． 【分析】根据垂径定理求出，设的半径为，则，，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，线段是过圆心且， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴构成该拱门的的半径为． 2．如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 如图，即即为所求 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线的定义； （1）连接并延长，交于点，连接，即可求解； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求． 【详解】（1）如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求； ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求 ∵ ∴ ∴ ∴， 连接， ∴垂直平分 ∴ ∴ 3．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 4．如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用、垂直平分线的性质和平行四边形的性质，灵活运用知识点是解决本题的关键． （1）连接并延长交于点F，根据切线的定义可得，再根据平行四边形的性质和垂径定理可得垂直平分，进而即可求证； （2）设的半径为r，连接，则，根据平行线的性质可得，则，进而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 证明：如图，连接并延长交于点F， ∵与相切， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：设的半径为r，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 解得． ∴的半径长为． 5．石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，．根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理，得，解得．在中，，根据垂径定理得出，然后判断与12的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：如图，设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，． ∵，， ∴． 又∵， ∴设，则． 在中，根据勾股定理，得，解得． ∵船舱顶部为矩形且高出水面， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴此货船不能顺利通过这座拱桥． 6．如图，是的直径，弦与半径平行，连结交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用垂径定理证明即可； （2）利用垂径定理，勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，于点，于点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、圆心角与弧的关系，证明是解答的关键． 利用定理证明，得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弧相等即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ． 8．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 9．已知，如图，在中，，的角平分线交边于D．以边上一点O为圆心，过A，D两点作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】如图：作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可． 【详解】解：如图，⊙O即为所求． 【点睛】掌握垂直平分线的性质以及尺规作图的做法是解题的关键． 10．如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． （1）如图，连接、，由内接于，可知，再证明，进而可知垂直平分； （2）由（1）知，，，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，则，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接、， ∵内接于， ∴， ∵， ∴， ∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：由（1）知，，， 由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 11．问题提出： （1）如图1，在中，，点是的外接圆的圆心，则的长为_____． 问题探究 （2）如图2，矩形为的中点，以为直径作半圆为半圆上一动点，则点之间的最大距离为_____． 问题解决 （3）某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？ 【答案】（1）；（2）9；（3）修建这条小路最多要花费元． 【分析】（1）连接，，并延长交于D，根据题意得，是等腰三角形，由三线合一得且，求出，设，则，依据勾股定理列方程解答即可； （2）连接并延长交半圆于点P，取半圆上一点，连接，根据即可解答； （3）作射线交于点．根据题意得所在圆的圆心在射线上，假设圆心为点，半径为，连接，则，在中，求出，过点作，垂足为．求出 ，，得点在内部，连接并延长，交于点，在上任取一点异于点的点，连接．得为入口到上一点的最大距离．过点作，垂足为，则，，，即可解答． 【详解】解：（1）连接，，并延长交于D， ∵， ∴是等腰三角形， 由三线合一得且， ∴， ∴， ∵点是的外接圆的圆心， ∴， 设，则， ∴，即，化简得， 解得； （2）解：连接并延长交半圆于点P，取半圆上一点，连接， ∵矩形为的中点， ∴，， ∵以为直径作半圆， ∴为的中点， ∴，， ∵， ∴的最大值为； （3）如图，作射线交于点． 是劣弧， 所在圆的圆心在射线上，假设圆心为点，半径为， 连接，则（米）． 在中，， 解得（米），（米）． 过点作，垂足为． ，． 在中，（米）． 在中，（米）， ，点在内部． 连接并延长，交于点，在上任取一点异于点的点，连接． ，即， 为入口到上一点的最大距离． 过点作，垂足为， 则（米），（米）， （米）， （米）， 修建这条小路最多要花费元． 【点睛】本题考查三线合一，勾股定理，三角形外接圆的性质，三角形三边关系，圆的基本知识，熟练掌握相关知识，作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04圆的对称性与确定圆的条件暑假预习讲义 · 知识掌握：熟记圆的轴对称、旋转不变性质，吃透垂径定理及推论，掌握同圆中圆心角、弧、弦的等量关系；牢记三点定圆定理，理解三角形外接圆、外心概念，分清三类三角形外心位置特点。 · 解题能力：学会 “过圆心作弦垂线” 的辅助线作法，借助直角三角形结合勾股定理完成弦、半径相关计算；能尺规作出三角形外接圆，利用外心到三顶点距离相等求解线段，解决几何证明与生活实际题型。 · 学习规范：规范几何作图，证明题每一步写明对应定理，自学时标记不懂的难点，上课重点攻克。 · 教学导向：教师梳理两类题型固定解题模型，区分易混淆概念，针对易错点分层布置习题，统一几何书写标准。 预习必备 知识梳理 1.圆的两种对称性质 2.同圆/等圆中圆心角弧弦关系 3.垂径定理及推论 4.过点作圆的规律 5.三角形外接圆与外心相关概念 6.三类三角形外心位置 7.三角形外接圆尺规作图步骤 8.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.利用垂径定理求值 2.由垂径定理求平行弦问题 3.由垂径定理求同心圆问题 4.由垂径定理求解其他问题 5.垂径定理的推论 6.垂径定理的实际应用 7.由弧.弦.圆心角的关系求解 8.由弧.弦.圆心角的关系求证 9.判断确定圆的条件 10.确定圆心 11.求能确定的圆的个数 12.三角形外接圆的概念辨析 13.求三角形外心坐标 14.求特殊三角形外接圆的半径 15.外心位置判断三角形的形状 16.判断三角形外接圆圆心位置 加强题型 解答题11题 知识点 1：圆的两种对称性质 1.轴对称性质 圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 易错区分：直径是线段，不能称为对称轴，直径所在直线才是对称轴。 2.旋转不变性（中心对称） 圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合；旋转 180° 完全重合，圆心为对称中心。 知识点 2：同圆 / 等圆中圆心角、弧、弦关系 定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量，一组相等，则其余两组对应相等。 关键限制：缺少 “同圆或等圆” 条件，结论不成立。 用途：几何证明中实现弧、线段等量转化。 知识点03:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，∵CD⊥AB于P， 2.推论：平分非直径弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，直径CD平分非直径弦AB于P⇒CD⊥AB， 3.拓展结论：弦的垂直平分线必过圆心，且平分弦所对的两条弧 4.核心勾股模型（解题必考）：弦心距d、弦半长、半径r构成直角三角形 公式：d2+(l)2=r2 5.弦心距与弦长关系：同圆 / 等圆中，弦心距越大，弦越短；弦心距越小，弦越长（直径弦心距 = 0，为最长弦） 知识点 4：过点作圆的规律 过 1 个点：可作无数个圆； 过 2 个点：可作无数个圆，所有圆心在两点连线的垂直平分线上； 过 3 个点：三点共线，无外接圆；不在同一直线上的三点确定唯一圆（三点定圆定理）。 知识点 5：三角形外接圆与外心相关概念 概念 定义 核心性质 外接圆 经过三角形三个顶点的圆 圆心为外心，半径相等 内接三角形 三个顶点都在同一个圆上的三角形 顶点均在圆周上 外心 三角形三边垂直平分线交点 到三角形三个顶点距离相等，距离为外接圆半径 知识点 6：三类三角形外心位置对照表 三角形类型 外心位置 专属结论 锐角三角形 三角形内部 无特殊简化公式 直角三角形 斜边中点 外接圆半径=斜边 钝角三角形 三角形外部 外心在最长边外侧 知识点 7：三角形外接圆尺规作图步骤 1.作三角形任意两条边的垂直平分线； 2.两条垂直平分线交点即为外心； 3.以外心到任意顶点的线段长度为半径画圆，得到外接圆。 知识点8.易混概念区分：外心 vs 内心 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等（本节考点）； 内心：三条角平分线交点，到三边距离相等，极易混淆。 知识点9:全节高频易错清单（师生自查） 1.对称轴描述错误，将直径等同于对称轴； 2.圆心角定理遗漏 “同圆、等圆” 前提； 3.垂径定理计算时直接用整条弦长代入公式，未取一半； 4.使用垂径定理忽略 “平分直径弦无法证垂直” 特殊限制； 5.忽略三点定圆 “不共线” 前提，认为任意三点可画圆； 6.混淆外心、内心定义，记错直角三角形外接圆半径公式。 题型1.利用垂径定理求值 【典例】半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为_____；的圆心角所对的弦长为_____；的圆心角所对的弦长为_____． 【跟踪专练1】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【跟踪专练2】如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与，分别交于点D，E，则弦的长为________． 【跟踪专练3】如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 题型2.由垂径定理求平行弦问题 【典例】已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【跟踪专练1】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【跟踪专练2】已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【跟踪专练3】如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 题型3.由垂径定理求同心圆问题 【典例】如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【跟踪专练1】如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 【跟踪专练2】如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 题型4.由垂径定理求解其他问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为______． 【跟踪专练1】如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 【跟踪专练3】如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 题型5.垂径定理的推论 【典例】下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，所在圆的圆心坐标是______ ． 【跟踪专练2】如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【跟踪专练3】如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型6.垂径定理的实际应用 【典例】如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【跟踪专练1】如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【跟踪专练2】一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 【跟踪专练3】图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩轴截面所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 题型7.由弧.弦.圆心角的关系求解 【典例】如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【跟踪专练1】如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【跟踪专练3】如图，是直径，是上的点，于点，于点，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型8.由弧.弦.圆心角的关系求证 【典例】如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【跟踪专练1】如图，、是的直径，，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【跟踪专练2】“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为___________． 【跟踪专练3】如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 题型9.判断确定圆的条件 【典例】下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【跟踪专练1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【跟踪专练3】如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型10.确定圆心 【典例】有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________ 【跟踪专练1】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【跟踪专练2】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 题型11.求能确定的圆的个数 【典例】如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【跟踪专练1】已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【跟踪专练2】已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【跟踪专练3】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 题型12.三角形外接圆的概念辨析 【典例】如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为____． 【跟踪专练1】如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【跟踪专练2】平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【跟踪专练3】如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 题型13.求三角形外心坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【跟踪专练1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【跟踪专练2】如图中外接圆的圆心坐标是______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 题型14.求特殊三角形外接圆的半径 【典例】是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【跟踪专练1】在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为___________． 【跟踪专练3】如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 题型15.外心位置判断三角形的形状 【典例】若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是________． 【跟踪专练1】如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【跟踪专练3】如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型16.判断三角形外接圆圆心位置 【典例】下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A．B． C． D． 【跟踪专练1】如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 【跟踪专练2】如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解答题 1．如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分，已知拱门的地面宽度，线段是过圆心且垂直于于点M，，求构成该拱门的的半径． 2．如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 3．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 4．如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 5．石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 6．如图，是的直径，弦与半径平行，连结交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．如图，于点，于点，若，求证：． 8．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 9．已知，如图，在中，，的角平分线交边于D．以边上一点O为圆心，过A，D两点作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 10．如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 11．问题提出： （1）如图1，在中，，点是的外接圆的圆心，则的长为_____． 问题探究 （2）如图2，矩形为的中点，以为直径作半圆为半圆上一动点，则点之间的最大距离为_____． 问题解决 （3）某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $