3.2确定圆的条件（讲义，3知识5题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“确定圆的条件”核心知识点，系统梳理三点确定圆（不在同一直线上三点唯一确定圆，共线无法确定）、三角形外接圆（外心为三边垂直平分线交点及位置规律）、尺规作外接圆步骤，构建从原理到性质再到操作的递进式学习支架。 资料设计亮点在于“即学即练”融入中考真题即时巩固，题型分类覆盖判断、计算、作图等，通过外心位置分析培养几何直观，三点共线推理强化推理意识，拱桥圆心确定问题发展应用意识，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

第三章 圆 3.2 确定圆的条件 知识点一 三点确定圆 1. 不在同一直线上的三点确定一个圆。 2. 三点共线：不能确定圆（画不出过三点的圆）；三点不共线：唯一确定一个圆。 即学即练 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 知识点二 三角形的外接圆（圆内接三角形） 1. 三角形的外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆，叫外接圆。 圆心：外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点。 性质：外心到三个顶点距离相等（都等于半径）。 外心位置：锐角三角形：在三角形内部；直角三角形：在斜边中点；钝角三角形：在三角形外部。 2. 圆内接三角形定义：三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫作圆的内接三角形。 3.多边形的外接圆： 一般地，如果多边形的顶点在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆，这个多边形叫作圆的内接多边形。 注意：并不是所有四边形都有外接圆。 即学即练 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 知识点三 尺规作图——作三角形的外接圆 1. 如图，已知△ABC，作△ABC的外接圆。 A B C ① 分别作边AB，BC的垂直平分线l1，l2与l3的交点为O； ② 以点O为圆心，OA长为半径作圆，⊙O即为所求。 即学即练 1．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 题型01 判断能否确定圆 / 核心依据：不在同一直线上的三个点确定一个圆；三点共线，则无法确定圆。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北襄阳·一模）下列语句所描述的事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和为 B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个平行四边形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆 2．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 题型02 计算过多点可作圆的个数 / 从多个点中任取 3 个点组合，筛选出不共线的三点组合，组合总数即为可作圆的个数。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 题型03 尺规作图题 / （1）作三角形的外接圆：①选取三角形任意两条边；②分别作两条边的垂直平分线，交点为三角形外心（外接圆圆心）；③以外心到三角形任意顶点的长度为半径画圆，即为外接圆； （2）找残缺圆形的圆心：①在残缺圆弧上任取两条不平行的弦；②分别用尺规作出两条弦的垂直平分线； ③两条垂直平分线的交点即为圆心，以交点到圆弧上点的距离为半径补全圆。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，在中，，点为边的中点，请用尺规作图法，求作一个，使该圆经过点，，．（保留作图痕迹，不写作法）    变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    2．（2026·甘肃武威·一模）如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点； ③连接，交的垂直平分线于点． 请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法） 题型04 平面直角坐标系中外心与外接圆综合题 / （1）取三角形两条边，分别求出两条边的中点坐标和直线解析式； （2）根据垂直直线斜率关系，求出两条边垂直平分线的解析式； （3）联立两条垂直平分线的解析式，解方程组，交点即为外心坐标。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 题型05 求三角形外接圆半径 / 直角三角形的外心为斜边中点，外接圆半径 R=斜边长。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北随州·二模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M、N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆，则的半径为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是________． 3．（2025·浙江·模拟预测）【公式探索】 （1）计算______；________；__________ 【公式建构】 （2）根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明． 【迁移应用】 （3）如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆 3.2 确定圆的条件 知识点一 三点确定圆 1. 不在同一直线上的三点确定一个圆。 2. 三点共线：不能确定圆（画不出过三点的圆）；三点不共线：唯一确定一个圆。 即学即练 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括等弧、确定圆的条件、优弧与劣弧的比较以及圆心角与弦的关系．需根据初中数学知识逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵等弧需在同圆或等圆中定义，长度相等的弧不一定重合，故A错误； 三点共线时不能确定圆，故B错误； 优弧与劣弧长度比较需在同圆中成立，否则不一定，故C错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，这是圆心角定理，故D正确． 故选：D． 知识点二 三角形的外接圆（圆内接三角形） 1. 三角形的外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆，叫外接圆。 圆心：外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点。 性质：外心到三个顶点距离相等（都等于半径）。 外心位置：锐角三角形：在三角形内部；直角三角形：在斜边中点；钝角三角形：在三角形外部。 2. 圆内接三角形定义：三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫作圆的内接三角形。 3.多边形的外接圆： 一般地，如果多边形的顶点在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆，这个多边形叫作圆的内接多边形。 注意：并不是所有四边形都有外接圆。 即学即练 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 2．（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 知识点三 尺规作图——作三角形的外接圆 1. 如图，已知△ABC，作△ABC的外接圆。 A B C ① 分别作边AB，BC的垂直平分线l1，l2与l3的交点为O； ② 以点O为圆心，OA长为半径作圆，⊙O即为所求。 即学即练 1．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1)见解析 (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）解：如图，即所求． （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 题型01 判断能否确定圆 / 核心依据：不在同一直线上的三个点确定一个圆；三点共线，则无法确定圆。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北襄阳·一模）下列语句所描述的事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和为 B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个平行四边形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆 【答案】D 【详解】解：A. 任意四边形的内角和为，任意画一个四边形内角和为是不可能事件，不符合题意； B. 两点确定一条直线，经过任意两点一定可以画一条直线是必然事件，不符合题意； C. 所有平行四边形都是中心对称图形， 任意画一个平行四边形一定是中心对称图形是必然事件，不符合题意； D.  当平面内三点共线时，不能画出圆，当三点不共线时，可以画出一个圆，过平面内任意三点画一个圆是可能发生也可能不发生的事件，是随机事件，符合题意． 2．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 题型02 计算过多点可作圆的个数 / 从多个点中任取 3 个点组合，筛选出不共线的三点组合，组合总数即为可作圆的个数。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 题型03 尺规作图题 / （1）作三角形的外接圆：①选取三角形任意两条边；②分别作两条边的垂直平分线，交点为三角形外心（外接圆圆心）；③以外心到三角形任意顶点的长度为半径画圆，即为外接圆； （2）找残缺圆形的圆心：①在残缺圆弧上任取两条不平行的弦；②分别用尺规作出两条弦的垂直平分线； ③两条垂直平分线的交点即为圆心，以交点到圆弧上点的距离为半径补全圆。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，在中，，点为边的中点，请用尺规作图法，求作一个，使该圆经过点，，．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作一个三角形的外接圆，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．先作出线段的垂直平分线，得出的中点O，再以点O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求作的圆．    连接，， ∵，点为边的中点， ∴， ∴为直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∴过点A、B、D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）中国的拱桥始建于东汉中后期，距今已有一千八百余年的历史．它是由伸臂木石梁桥、撑架桥等逐步发展而成的．由于在形成和发展过程中的外形都是曲的，所以古时常称为曲桥．如平凉市的聚仙桥、长庆桥、平凉八里桥等． 如图是拱桥的一部分，点A、B在地面上，请用尺规作图法确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作图确定圆心，在上任取一点E，连接，分别作线段、的垂直平分线，两直线相交于点O，则点O即为圆心． 【详解】解：如图所示，圆心O即为所求．    2．（2026·甘肃武威·一模）如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点； ③连接，交的垂直平分线于点． 请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】根据步骤作图即可； 【详解】按照题干步骤完成作图，如下： ①连接，作线段的垂直平分线交于点，保留垂直平分线的作图痕迹； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点，保留画圆的痕迹； ③连接，交的垂直平分线于点，作图完成，所有痕迹保留； 如图： 题型04 平面直角坐标系中外心与外接圆综合题 / （1）取三角形两条边，分别求出两条边的中点坐标和直线解析式； （2）根据垂直直线斜率关系，求出两条边垂直平分线的解析式； （3）联立两条垂直平分线的解析式，解方程组，交点即为外心坐标。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 题型05 求三角形外接圆半径 / 直角三角形的外心为斜边中点，外接圆半径 R=斜边长。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 【分析】直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北随州·二模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M、N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆，则的半径为（    ）    A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】利用基本作图得到平分，垂直平分，利用等腰三角形的性质得到，，连接，如图，设的半径为，利用勾股定理计算出，则，再利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分，垂直平分， 设交于， ， ，， 连接，如图，设的半径为， 在中，， 在中，，， ， 解得， 即的半径为2.5．    2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理和三角形的外接圆，利用韦达定理和代数式变形求出斜边长是解题关键． 直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半．两直角边是方程的两个根，利用根与系数的关系求出两直角边的和与积，再通过勾股定理求出斜边长度，进而得到半径． 【详解】解：设两直角边分别为 和 ，则根据根与系数的关系，有 ，． 由勾股定理可得，斜边 ． ∵， ∴ ， ∵直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半， ∴外接圆半径， 故答案为：5． 3．（2025·浙江·模拟预测）【公式探索】 （1）计算______；________；__________ 【公式建构】 （2）根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明． 【迁移应用】 （3）如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径． 【答案】（1），，；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索、完全平方公式、勾股定理、直角三角形的外接圆等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）先计算乘方，再计算加法即可得； （2）根据（1）中的三个等式可得等号左边的第二项比第一项大1，第三项等于第一项与第二项的乘积，等号右边比等号左边的第三项大1，由此即可得；再利用完全平方公式即可得证； （3）利用勾股定理可得计算，的式子，再利用（2）中的规律即可得的值，从而可得的值，然后根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半即可得． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：，，． （2），即， ，即， ，即， 归纳类推得：（为正整数），证明如下： ，得证． （3）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴外接圆的半径为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $