第1章 勾股定理 易错集训-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册北师大版勾股定理单元易错集训卷，通过10选择+6填空+6解答的梯度设计，聚焦定理应用、逆定理判定及实际情境问题，强化数学眼光与推理思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|直角三角形判定（如3,4,5三角形）、逆定理应用（角度比1:2:3）|结合海军训练、华表柱等真实情境，考查空间观念| |填空题|6题|勾股数计算（12,16求斜边）、折叠问题|设置分类讨论（c为斜边或直角边），培养严谨思维| |解答题|6题|综合应用（草坪面积、风筝高度测量）、文化传承（赵爽弦图）|通过“总统证法”推导定理，融合数学史与推理能力，适配单元复习易错点突破|

第1章勾股定理易错集训-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•江西期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，6，7 2．（2025秋•萍乡期末）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝2：3：4 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 3．（2025秋•宜兴市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，AC＝5，则BC的长为（　　） A．7 B．8 C．12 D．18 4．（2025秋•德化县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．已知AB＝15，BC＝24，则AD的长为（　　） A．9 B．13 C．6 D．12 5．（2025秋•莲湖区期末）如图，已知正方形A的面积为4，正方形B的面积为3，则正方形C的面积（　　） A．1 B．5 C．7 D．25 6．（2025秋•闻喜县期末）如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知∠AOB＝90°红方战舰A在雷达站O的北偏东60°方向，距离40nmile处，且红方战舰A与蓝方战舰B相距50nmile，则蓝方战舰B在雷达站O的（　　） A．南偏东30°方向，距离30nmile处 B．北偏东30°方向，距离30nmile处 C．南偏东60°方向，距离30nmile处 D．北偏东60°方向，距离30nmile处 7．（2025秋•商河县期末）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 8．（2025秋•市北区期末）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积（　　） A．24m2 B．36m2 C．48m2 D．60m2 9．（2025秋•仙居县期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D、E均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（　　） A．∠ABC+∠BCD＝45° B．AB∥CD C．AB2+DE2＝CB2 D．AB2+DE2＝CD2 10．（2025秋•松桃县期末）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的边长是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 二．填空题（共6小题） 11．（2024秋•太康县期末）若直角三角形两直角边长分别为12和16，则斜边长为　 　 ． 12．（2025秋•泉山区校级月考）如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是 　 　 ． 13．（2025春•东港区校级期中）已知线段a＝3，b＝4，若线段c能和a，b构成直角三角形，则c的长度是　 　 ． 14．（2024秋•浦东新区校级期末）如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 　 　 米． 15．（2025春•邯郸校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，则小巷的宽为 　 　 米． 16．（2025秋•西安校级月考）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•临平区期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格线的交点上． （1）直接写出△ABC三边的长度． （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 18．（2025秋•井冈山市期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB＝AC．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．求原路线AC的长． 19．（2025秋•井冈山市期中）如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，BD＝11，CE＝10，AE2＝125． （1）求AC，DE的长； （2）求证：△ACE为直角三角形． 20．（2025春•椒江区校级期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 21．（2025秋•海门区期末）图①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板AB的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案： 课题 测量篮板AB的长度 成员 组长：×××组员：×××××× 工具 竹竿、皮尺、计算器等 测量示意图 如图，AB垂直地面于点C，线段AD，BE表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处 测量数据 竹竿的长度 5m CD的长度 3m CE的长度 4m 根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板AB的长度． 22．（2025秋•醴陵市期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B）在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）如图④，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请求出CH的值． 第1章勾股定理易错集训-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•江西期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，6，7 【解答】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误； B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误； C、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确； D、52+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误； 故选：C． 2．（2025秋•萍乡期末）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝2：3：4 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 【解答】解：根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项分析判断如下： A、∵32+42＝9+16＝25＝52， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； B、设AB＝2k，BC＝3k，AC＝4k， ∵（2k）2+（3k）2＝13k2≠（4k）2， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠A﹣∠B＝180°，解得：∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3．（2025秋•宜兴市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，AC＝5，则BC的长为（　　） A．7 B．8 C．12 D．18 【解答】解：∵AB＝13，AC＝5，∠C＝90°， ∴BC12． 故选：C． 4．（2025秋•德化县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．已知AB＝15，BC＝24，则AD的长为（　　） A．9 B．13 C．6 D．12 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．BC＝24， ∴AD⊥BC，， 在直角三角形ABD中，AB＝15， 由勾股定理得：， 故选：A． 5．（2025秋•莲湖区期末）如图，已知正方形A的面积为4，正方形B的面积为3，则正方形C的面积（　　） A．1 B．5 C．7 D．25 【解答】解：∵正方形A的面积为4，正方形B的面积为3， ∴正方形C的面积＝3+4＝7． 故选：C． 6．（2025秋•闻喜县期末）如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知∠AOB＝90°红方战舰A在雷达站O的北偏东60°方向，距离40nmile处，且红方战舰A与蓝方战舰B相距50nmile，则蓝方战舰B在雷达站O的（　　） A．南偏东30°方向，距离30nmile处 B．北偏东30°方向，距离30nmile处 C．南偏东60°方向，距离30nmile处 D．北偏东60°方向，距离30nmile处 【解答】解：∵∠AOB＝90°，点A在点O的北偏东60°方向， ∴点B在点O的南偏东30°方向， 根据勾股定理可知， 综上可知点B在点O的南偏东30°方向，距离30（nmile）处． 故选：A． 7．（2025秋•商河县期末）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 【解答】解：展开图： 12÷3＝4（米）， （米）， 5×3＝15（米）， 故选：C． 8．（2025秋•市北区期末）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积（　　） A．24m2 B．36m2 C．48m2 D．60m2 【解答】解：连接AC，如图， ∵AB⊥CB， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3米，BC＝4米， ∴AC＝5米， ∵AD＝12米，CD＝13米， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD为直角三角形， ∴这块草坪的面积＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36（m2）． 故选：B． 9．（2025秋•仙居县期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D、E均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（　　） A．∠ABC+∠BCD＝45° B．AB∥CD C．AB2+DE2＝CB2 D．AB2+DE2＝CD2 【解答】解：如图，连接BF，设每个小正方形的边长是1， 根据勾股定理得AB2＝5，BF2＝CD2＝10，DE2＝2，AF2＝5， ∴AF＝AB， ∵AB2+AF2＝10， ∴AB2+AF2＝BF2， 根据勾股定理的逆定理得，∠FAB＝90°， ∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝45°， ∵在矩形BCFD中，∠CBF＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BCD＝45°， 故A选项正确； ∵tan∠ABC，tan∠BCD， ∴∠ABC≠∠BCD， ∴AB与CD不平行， 故B选项错误； ∵AB2+DE2＝7，CB2＝9， ∴AB2+DE2≠CB2， 故C选项错误； ∵CD210，∴AB2+DE2≠CD2，故D选项错误； 故选：A． 10．（2025秋•松桃县期末）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的边长是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【解答】解：根据勾股定理可得，， ∴4﹣3＝1，即小正方形ABCD的边长为1， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．（2024秋•太康县期末）若直角三角形两直角边长分别为12和16，则斜边长为　20　 ． 【解答】解：直角三角形的两直角边长分别为12、16， ∴直角三角形的斜边长为20， 故答案为：20． 12．（2025秋•泉山区校级月考）如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是 　64　 ． 【解答】解：由勾股定理得，AC2+CD2＝AD2， 则字母B所代表的正方形的面积＝CD2＝AC2﹣AD2＝100﹣36＝64， 故答案为：64． 13．（2025春•东港区校级期中）已知线段a＝3，b＝4，若线段c能和a，b构成直角三角形，则c的长度是　5或　 ． 【解答】解：分两种情况，当c为斜边时，x5，当长4的边为斜边时，c（根据勾股定理列出算式）．故填5和． 14．（2024秋•浦东新区校级期末）如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 　4　 米． 【解答】解：由勾股定理知，“路”长（米）， 12+5﹣13＝4（米）， 所以其实他们仅仅少走了4米． 故答案为：4． 15．（2025春•邯郸校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，则小巷的宽为 　2.7　 米． 【解答】解：在Rt△ABC中， AB2.5（米）， ∴A′B＝2.5米， 在Rt△A′BD中， BD2（米）， ∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米）， 答：小巷的宽为2.7米， 故答案为：2.7． 16．（2025秋•西安校级月考）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为　　 ． 【解答】解：连接AE， 由题意知：MN垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴AC2+CE2＝AE2， 令CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x， ∴AE＝4﹣x，∴x2+32＝（4﹣x）2， ∴x， ∴CE． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•临平区期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格线的交点上． （1）直接写出△ABC三边的长度． （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）AB2， AC， BC5； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB＝2，AC，BC＝5， ∴AB2+AC2＝（2）2+（）2＝20+5＝25，BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 18．（2025秋•井冈山市期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB＝AC．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．求原路线AC的长． 【解答】解：∵62+82＝100＝102， ∴△BCH是直角三角形， ∴∠CHA＝90°， 设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣6）千米， ∵AC2＝AH2+CH2， 即x2＝（x﹣6）2+82， 解得：， 即原路线千米． 19．（2025秋•井冈山市期中）如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，BD＝11，CE＝10，AE2＝125． （1）求AC，DE的长； （2）求证：△ACE为直角三角形． 【解答】（1）解：由勾股定理可得，， ∵∠D＝90°，CD＝BD﹣BC＝11﹣3＝8，CE＝10， ∴； （2）证明：∵AC＝5，CE＝10，AE2＝125， ∴AC2+CE2＝AE2， ∴△ACE为直角三角形． 20．（2025春•椒江区校级期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）由题意得，CM＝12， ∴DM＝8， ∴BM（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 21．（2025秋•海门区期末）图①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板AB的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案： 课题 测量篮板AB的长度 成员 组长：×××组员：×××××× 工具 竹竿、皮尺、计算器等 测量示意图 如图，AB垂直地面于点C，线段AD，BE表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处 测量数据 竹竿的长度 5m CD的长度 3m CE的长度 4m 根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板AB的长度． 【解答】解：∵Rt△ADC中，AD＝5m，CD＝3m， ∴． ∵Rt△BEC中，BE＝5m，CE＝4m， ∴． ∴AB＝AC﹣BC＝4﹣3＝1（m）， 答：学校篮板AB的长度为1m． 22．（2025秋•醴陵市期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B）在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）如图④，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请求出CH的值． 【解答】解：（1）如图①，梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴，即a2+b2＝c2； （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH（x﹣0.6）千米， 在Rt△ACH中，根据勾股定理得：x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得，即千米， ∴（千米）， 答：新路CH比原路CA少千米； （3）如图④， 设AH＝y， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣y， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21， 由勾股定理可得CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2， 解得：y＝6， ∴AH＝6， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $