第一章 勾股定理 章节测试试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

《勾股定理》 单元检测 【新教材北师大版】 满分：100分；考试时间：90分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共20题，单选8题，填空5题，解答7题，满分100分，限时90分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 2．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 3．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 5．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 8．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 10．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 11．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 12．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 13．如图，中，，，，平分．M、N分别是、上的点，则的最小值是________． 三、解答题（共7题，61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．如图，在中，，，，．求的长． 15．如图，在中，，，，为延长线上一点，且．求的长． 16．如图，在矩形中，，．请用尺规作图法在边上求作点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 17．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    18．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是______； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是______． 19．如图，在中，．延长到点D，连接． (1)求证：； (2)若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 20．如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接，．已知，，，设，． (1)写出与的函数关系式． (2)求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《勾股定理》 单元检测 【新教材北师大版】 满分：100分；考试时间：90分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共20题，单选8题，填空5题，解答7题，满分100分，限时90分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分情况讨论，避免漏解． 【详解】解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论： ①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ∴第三边长的平方是25或313． 2．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【答案】A 【分析】先由正方形的面积公式将，，，分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为，，之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 5．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 6．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 7．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 8．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ， 需要爬行的最短路程是． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 【答案】 【分析】利用勾股定理列等式求解，再根据边长为正数取正根即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为， ∴由勾股定理得， 整理得， ∵三角形边长为正数， ∴． 10．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 【答案】12或 【分析】根据直角三角形的性质，分为13为斜边和13为直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，当13为斜边时，第三边为， 当13为直角边时，第三边为， 故第三边的长为12或． 11．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 12．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 13．如图，中，，，，平分．M、N分别是、上的点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明，根据题意，得，故当H，M，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，当时，取得最小值，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 当H，M，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 设，则， 由勾股定理，得，， 故， 解得， 故， 故的最小值是12． 三、解答题（共7题，61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．如图，在中，，，，．求的长． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，，，，为延长线上一点，且．求的长． 【答案】18 【分析】本题主要考查了勾股定理、线段的和与差等知识点，灵活运用勾股定理求线段长是解题的关键． 先运用勾股定理求得，即，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴．     ∴． ∴． 16．如图，在矩形中，，．请用尺规作图法在边上求作点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】利用矩形性质和勾股定理构造所求点，矩形中为直角，已知，若，由勾股定理可得斜边，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，该点即为所求． 【详解】解：略． 17．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理判断形状，即可求出答案． 【详解】解： ∵，， 为直角三角形， ． 18．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是______； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是______． 【答案】 ； ． 【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解； 本题考查了整式运算的实际应用，完全平方公式的应用和勾股定理，正确理解完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（）阴影部分的面积是， 故答案为：； （）由题意得：，图中是梯形， ∵，，高为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可知：阴影部分面积为， 故答案为：． 19．如图，在中，．延长到点D，连接． (1)求证：； (2)若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵，，， ， 即， ∴是直角三角形，， ∴． (2)14 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形从而证明结果； （2）设为x，再表示的长，利用勾股定理构造方程求出的长度，进一步解出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴, ∴． 20．如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接，．已知，，，设，． (1)写出与的函数关系式． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】（1）结合线段总长表示出直角三角形直角边，利用勾股定理分别表示、，相加化简得到与的函数关系式； （2）构造矩形转化水平、竖直线段长度，拼接出直角三角形，依据“两点之间线段最短”，将的最小值转化为直角三角形斜边长度，再用勾股定理计算最小值． 【详解】（1）解：，， ， 为直角三角形， ， 同理，， ， 即； （2）解：过点作于，连接， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $