精品解析：黑龙江大庆实验中学2026-2027学年高三上学期9月阶段考试数学试题

大庆实验中学2026—2027学年度上学期高三年级阶段考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知奇函数的周期为8，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为第二象限角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设的外接圆半径为，外接圆圆心为，且点满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，其图象关于轴对称，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 有个极小值点 C. 的单调递增区间为和 D. 不存在，使得方程恰有个实数根 11. 如图，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则角 B. 的最小值为 C. 若，则 D. 若，，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知等差数列的前项和为，且，，则__________. 13. 已知函数关于直线对称，且，则__________. 14. 已知向量，，满足，且，则的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，中，，，，点是上的一点，且，点是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，. （1）若，求的值； （2）若，求的余弦值. 16. 已知函数. （1）求函数的对称中心和单调递减区间； （2）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）如图，在所在平面内取一点（与在两侧），连接交于点. （ⅰ）若，且，求的值； （ⅱ）若，，，求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若，且，求证：； （3）若方程有两个不同的实根，，且满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2026—2027学年度上学期高三年级阶段考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】已知，则，对应复平面内的点为， 位于第四象限． 3. 已知奇函数的周期为8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为的周期为8，所以， 又为奇函数，所以，则， 所以. 无法确定. 4. 已知为第二象限角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由为第二象限角，得， 由可设， 代入得， ，. 5. 设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，且，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 比较， 所以的最小值为. 6. 设的外接圆半径为，外接圆圆心为，且点满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件进行向量的数量积运算，然后将向量关系转化为三角形边长和角度的关系，最后使用余弦定理求解. 【详解】已知，变形可得， 设为边的中点，根据向量加法的平行四边形法则有， 代入上式可得， 这说明三点共线，且， 因为是的外接圆圆心，且是弦的中点， 根据垂径定理必有，如图，作出符合题意的图形， 因为 三点共线，可知， 且平分，因此，是等腰三角形，即. 已知外接圆半径为，所以， 由 可得：， 在直角三角形 中，，， 可以求出， 得到， 在等腰中，，所以底角， 根据三角形内角和定理得​， 要求，即求，即， 利用半角公式可得, 因为是锐角，所以. 7. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】由题意可得，解得， 所以， 因此. 故选：A. 8. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，数形结合求出方程有3个解时的范围，再将目标式用表示并求出的范围. 【详解】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点， 则当时，直线与射线有一个交点， 当时，直线与函数有2个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图， 令直线与图象相切的切点为，由求导得：， 则，解得，即直线与图象相切时，， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 由，解得， 由，得，即， 因此，函数在上递减， 当时，，所以的取值范围是. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件求向量的坐标，再根据选项，判断选项. 【详解】由条件可知，， ，故A正确 其中，故B错误；，故C正确； ，所以，故D正确. 10. 已知函数的定义域为，其图象关于轴对称，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 有个极小值点 C. 的单调递增区间为和 D. 不存在，使得方程恰有个实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题意并利用偶函数的定义判断A，先讨论，的单调性，再由的图象关于y轴对称，得到的单调性，进而汇总判断C，根据极值点的定义判断B，将问题转化为函数和的交点问题，进而结合图象判断D即可. 【详解】因为的图象关于y轴对称，所以， 对于A，当时，，可得，故A正确， 对于C，由题意得当时，， 则，令， 可得，故在上单调递增， 又，因此当时，，即，此时单调递增， 当时，，即，单调递减， 因为的图象关于y轴对称，所以得到如下情况， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 综上， 的单调递增区间为和，故C错误， 对于B，根据选项C的单调性分析，和 都是的极小值点， 因此有2个极小值点，故B正确， 对于D，由题意得方程等价于， 当时，，令，， 令，且，当时，恒成立， 可得在上单调递增，且， 当时，，，此时单调递减， 当时，，，此时单调递增， 而，当时， ，当时， ， 因为是偶函数，所以， 则， 所以是奇函数，则的图象关于原点对称， 如图，作出函数和的图象， 由图可知函数和始终有2个交点， 因此不存在 使得方程恰有1个实根，故D正确. 11. 如图，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则角 B. 的最小值为 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据化简，结合角的关系及倍角公式判断C，由边角关系及判断A，借助三角恒等变换公式及正弦定理与面积公式计算可判断D，结合正弦定理可将原式化为与角有关的等式，再利用换元法及基本不等式判断B即可. 【详解】对于C，由题意得， 且， 因为，， 可得， 所以， 所以，故C正确， 对于A，由，则，可得， 由已知得，故，解得，故A正确， 对于D，由，则，故， 由，则，则， 故，，由，， 得到， 由正弦定理可得，则， ， 故，故D正确， 对于B，由正弦定理得， 又，故 ， 令，因为，所以，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 得到的最小值为，故B错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知等差数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】 7 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 又，即，所以，即， 可得，即，解得，故， 所以. 13. 已知函数关于直线对称，且，则__________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用三角函数对称轴处取最值的性质求出参数，化简函数解析式，再结合正弦函数的有界性得到的表达式，最终计算的值. 【详解】，其中，值域为， 因为关于直线对称，所以或， 所以，即，解得， 所以，值域为， 因为，所以与必有一个取最大值2，另一个取最小值： 若，则，得， 若，则，得， 因此，， 所以. 14. 已知向量，，满足，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目所给条件，设出，，的坐标，将所求取值范围转化为单变量三角函数的最值问题，求导找极值即可. 【详解】因为，所以可设向量， 由、得； 因为，所以可设. ， ， 所以设， ， 令，得或， 当时，， 当时，， 所以的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，中，，，，点是上的一点，且，点是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，. （1）若，求的值； （2）若，求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，求得，即可求出答案； （2）设，根据、、三点共线，求出，在中利用余弦定理解三角形即可求出答案. 【小问1详解】 因为点是的中点，所以， 因为，所以， ， ， 所以，，即. 【小问2详解】 因为，所以， 设， 因为、、三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 因为， ， 在中，由余弦定理得， ， ， 所以， 在中，由余弦定理得， ， 所以的余弦值为. 16. 已知函数. （1）求函数的对称中心和单调递减区间； （2）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）函数的对称中心为，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换和辅助角公式对进行化简，再利用整体换元看成余弦函数求解即可. （2）先利用三角函数图像平移伸缩变换得到，再通过三角恒等变换化简不等式，再通过换元，转化成求最值即可. 【小问1详解】 ∵ = = =，令， 解得，即函数的对称中心为 令，解得 ，即函数的 单调递减区间为. 【小问2详解】 将函数的图象上的所有点 向右平移个单位可得到， 再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍可得到 ，即， ∵，， ∴对任意的恒成立， 可化为对任意的恒成立， 即，令， 则，即， ，设，即求的最大值， 令，此时，则 ，令解得，当时， ，此时单调递减，当时，， 此时单调递增，∴函数的最大值在端点取到， 时，，时，，∴， ∴. 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减；在单调递增. （2） 【解析】 【分析】(1)先化简求导分解，分母恒正，符号由分子二次型决定，对参数分类讨论. (2)先把代入不等式，剥离参数得到，由于，构造函数，换元将不等式进一步简化，再分离参数，利用导数求出结果. 【小问1详解】 ，. . ①当时，当，，所以函数在单调递减； ②当时，令，则,，. 当，，所以函数在单调递减； 当，，所以函数在单调递增. 所以当时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减；在单调递增. 【小问2详解】 当时，恒成立,即. ,变形得：. 令，.. 函数在单调递减，在单调递增. . 即，,令，，. 函数在单调递增，, . 实数的取值范围为：. 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）如图，在所在平面内取一点（与在两侧），连接交于点. （ⅰ）若，且，求的值； （ⅱ）若，，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理进行边角互化，再利用辅助角公式得到，即可求出角； （2）（ⅰ）根据得到，结合余弦定理代入求值，（ⅱ）设，将边及用表示出来，利用正弦定理求面积，根据三角函数求最大值. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 又， 则， 即， 因为，故，则， 所以，即， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由余弦定理， 若，且， 因为，即， 即， . （ⅱ），所以为正三角形， 设，，， 在中，，， ， 即， ， 在中，由正弦定理得，， ， 因为，当，即时，取得最大值为. 19. 已知函数. （1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若，且，求证：； （3）若方程有两个不同的实根，，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2）证明：当时，， 在上恒成立， ∴在上单调递增，∵，， ，又∵，∴不妨设 ，设， =在上恒成立，∴在上单调递增， 即，即， 又，∴， 即，又∵在上单调递增， ∴，即，得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）先将问题转化成恒成立，再分离参数，转化求函数的最值即可. （2）先求导得到函数单调递增，再通过极值点偏移的对称，构造辅助函数把证明两个变量不等式问题转化为函数单调性问题. （3）先分离参数，由方程的解个数转化为两函数交点个数，得到第一个的取值范围，再通过换元，得到关于的函数，研究此函数的单调性，并求出最值，得到第二个关于的取值范围，最后得出结论即可. 【小问1详解】 的定义域为，，∵函数在定义域上单调递增， ∴在上恒成立，即， 又∵，当且仅当时取等号， ∴. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 方程可化简为，即， 即，设， ，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 时，取到极大值也是最大值， 与有两个不同交点，得， 设，， 由得，化简得， 又，即， 进而， 又，则，两边 取对数并设， 则=， 设， 将其视为关于的二次函数，其中， ∴有两个不同的根，解得或， ∵，，而， 显然恒成立，∵此二次函数开口向上， 当时，，即， ∴在上单调递增， 当时，有最小值， 又， 两边同时取指数得，又， ∴实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $