指数函数与对数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数核心概念及性质，通过多题型覆盖概念辨析、性质应用及综合问题，构建从定义到应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选3题/多选2题|定义域值域、奇偶性判断|从函数定义出发，关联指数对数运算性质| |性质应用|单选5题/填空2题|比较大小、零点区间、恒成立|以单调性为核心，推导函数值变化规律| |综合问题|解答5题/多选1题|函数最值、零点个数、参数范围|整合函数性质与方程思想，构建数学模型|

高中数学人教A版必修一指数函数与对数函数 一、单选题 1．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．设，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，，是奇函数．且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 二、多选题 9．下列函数既是定义域上的奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知，，，则“”的充要条件是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则 三、填空题 12．若，则_____． 13．若实数满足，则_________． 14．设函数，若恒成立，则的取值范围为________________ 四、解答题 15．求值： (1)； (2). 16． ，对任意恒成立，求的取值范围. 17．已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求的取值范围. 18．已知，其中为奇函数，为偶函数. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)若对于任意的实数，都有恒成立，求的取值范围. 19．已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一指数函数与对数函数 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C C A C A BD AD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】利用中间值和指数函数的图像求解. 【详解】，， ，， 故选：A. 2．D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 3．D 【详解】选项A，由的定义域为，所以，即函数值域为，故A错误； 选项B，由的定义域为，所以， 所以函数值域为：，故B错误； 选项C，由的定义域为，此时函数值域为，故C错误； 选项D，由的定义域为，此时， 所以函数值域为，故D正确. 4．C 【分析】利用换底公式将转为，又，则，将已知和代入得解. 【详解】，故选项C正确. 故选：C. 5．C 【分析】根据函数的奇偶性及单调性，可得，由基本不等式可得的最小值. 【详解】由题知函数定义域为R， ， 所以为奇函数，所以， 又令，易知在R上单调递减， 所以在R上单调递减，所以即， 所以有， 由基本不等式得， 所以，解得， 当且仅当时等号成立，此时，最小值为. 故选：C 6．A 【分析】利用函数性质，借助中间值进行大小比较. 【详解】由对数函数性质可知，； 由指数函数性质可知，，因为且，所以； 又，因为且，所以. 综上所述，. 故选：A. 7．C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 8．A 【分析】利用对称性、奇偶性与周期性，结合函数的图象分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且满足， 所以函数的对称轴为：， 又是奇函数，则，所以函数关于点中心对称， 由函数关于直线对称，所以， 所以， 又， 所以函数的周期为，且当时，， 根据对称性和周期性可得函数的图象， 由题意知函数的零点个数等价于函数与函数图象交点个数， 由定义域为，且， 所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数， 且，如图所示： 由图可知函数与函数图象有个交点，故函数有个零点. 9．BD 【分析】利用函数的奇偶性的定义和函数的图像一一判断即可. 【详解】选项A，，，是偶函数；故选项A错误； 选项B，，，是奇函数；是幂函数，且幂函数中的，在上为增函数，又是奇函数，在上是增函数，又在上连续，在上是增函数；故选项B正确； 选项C，，，是偶函数，故选项C错误； 选项D，，，是奇函数；当时，，的对称轴为，开口向上，在上为增函数，又是奇函数，在上是增函数，又在上连续，在上是增函数；故选项D正确. 故选：BD. 10．AD 【详解】对于A，若，，则；若，，则，故A正确； 对于B，因为，，所以若，则，即， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C错误； 对于D，若，，，， 由幂函数的图象与性质知；若，，则，故D正确. 11．ABD 【分析】对于A，计算；对于B，当时，， 当时，计算；对于C，设，则方程即，由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根，，且，，得到，同时构造函数，得到，计算得解； 对于D，作出函数的图像，分析可知当时，直线与函数有两个交点；由时，，当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，，由图知，得到和，由解得，由解得，从而得到的范围，求出用表示的式子，利用 的单调性得到的取值范围. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或， 故有、、共三个实数根，故B正确； 对于C，设，则方程即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根，， 且，，则由解得或， 设，依题意，需使，则得到， 综上，可得； 对于D，作出函数的图像，由时，， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，，当时，直线与函数均有两个交点， 故由有4个实数根可得，，由图知，， ，则，解得， 又由解得，由解得，则有， 于是，因函数在单调递减，故， 则， 故选：ABD. 12．0 【分析】首先进行指对互化，再由换底公式得出、、的值，代入求解即可. 【详解】设， 则， 所以， ， 所以. 故答案为：. 13．243 【分析】根据及将原式进行化简， 求出的值，再进行指对互化即求得的值. 【详解】，即，解得 由题知， 即，解得， 所以． 故答案为：243 14．. 【分析】由恒成立，得恒成立等价于在定义域内恒成立，两个变号零点必须重合，得，即，代入所求式子，化简得，结合分式有意义的条件得出且，再利用换元法，把所求式子转化为求二次函数的值域即可. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，零点为， 当时，；当时，； 因为函数在上单调递增，零点为， 当时，；当时，； 由恒成立，得恒成立，等价于， 等价于函数和的零点重合，即得，即，， 所以，由分式有意义的条件得出且， 将代入得，， 令，则是对称轴为且开口向下的二次函数， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，，则，所以； 当时，，，即， ，所以； 当时，，，因为，所以 ， 当且仅当即，时等号成立，不符合前提条件，故舍去， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法归纳： 1.两因式同号恒成立等价于零点重合，建立参数等式； 2.分式最值常用换元法，转化为求二次函数值域. 易错归纳： 1.漏判分式的分母不为0：忽略且； 2.不会使用“零点重合”核心结论，无法建立和的关系式； 3.换元后不分正负区间分类讨论，直接套用二次函数最值导致范围不完整. 15．(1) (2) 【分析】第一问利用分数指数幂等公式求解；第二问利用对数公式求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 16． 【分析】先换元 令得到关于的二次不等式，再变换主元写成关于的一次不等式，对任意恒成立，所以代入端点满足即可 【详解】令 反客为主，以为主元整理一次函数 是关于的一次函数（含常数一次函数），闭区间恒正⟺， 即，解得 由解得， 故答案为：. 17．(1)2 (2) 【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值； （2）首先将函数和在定义域的值域设为，由题意可知，，确定的取值范围，再讨论去绝对值，求集合，根据子集关系，比较端点值，即可求解. 【详解】（1）若， ， 因为，令，则， 又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值2； （2）设在上的值域为，在上的值域为， 由题意可知，，由（1）知， 因为，解得：或， 当时，且，则， 可得， 可得的最大值为，最小值为， 即，可得，解得：， 当时，且，， 可得， 可知，的最大值为，最小值为， 即，可得，解得：， 综上可知，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数的值域，根据，缩小的取值范围，再讨论去绝对值. 18．(1)； (2) 在上是增函数. 证明如下： ，，的定义域为， 在上任取两个数，且， ， ， ，， ， ，， ， ，， ，， 在上是增函数. (3) 【分析】（1）将中的换，利用奇偶性，得到的另一个等式，将这两个等式相减即得； （2）先求出定义域，在上任取两个数，且，求与0的大小，根据增减函数的定义得解； （3）在上是增函数得到在上是增函数， 由对于任意的实数，都有恒成立，结合定义域得到，设，利用基本不等式结合定义域得解. 【详解】（1），， 为奇函数，， 为偶函数，， ，， 联立，解得； （2）略 （3）在上是增函数，在上是增函数， 对于任意的实数，都有恒成立， ，，，，， 设，， ， 当且仅当，即时，等号成立，而，则等号不成立， 故，，又，，的取值范围. 19．(1)，； (2)或. 【分析】（1）求出的定义域，再求出定义域；求出的表达式，解对数不等式即可； （2）求出，由函数只有一个零点，得到只有一解，由得到，代入，得到，从而得到关于的方程只有一个正根，讨论和两种情况求解即可. 【详解】（1），，，， ，的定义域，中，， 的定义域. ，，，，， 不等式的解集为. （2）， ， 函数只有一个零点， 只有一解，，， ，，， ，恒成立，关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，则有， 方程的两个根只能异号，，，此时方程只有一个正根，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $