指数函数与对数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数核心性质，通过选择、填空、解答题系统覆盖单调性、奇偶性、图像识别等考法，注重数学思维与逻辑推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|基础性质应用（单调性、奇偶性、图像识别、零点问题）|从函数概念到性质推导，再到图像与零点应用的递进| |多选|3题|综合性质辨析（奇偶性与单调性综合、结论判断）|性质间交叉关联，强化逻辑推理与批判性思维| |填空|3题|计算与范围求解（函数值范围、对数运算、值域）|运算能力与性质应用结合，体现数学语言表达| |解答|5题|证明与综合应用（奇偶性证明、单调性证明、不等式求解）|从概念证明到实际问题解决，构建完整知识应用链|

高中数学人教A版指数函数与对数函数 一、单选题 1．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数若方程有3个实数解，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．下面四个条件中，“函数存在零点”的必要但不充分的条件是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数有3个零点 D．当时， 10．给出下列结论，其中不正确的结论是（    ） A．函数的最大值为 B．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是 C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D．已知定义在上的奇函数在内有110个零点，则函数的零点个数为221 11．若正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，若 且则的取值范围是_______________ 13．计算______． 14．已知函数的值域为，的值域为，则_______ 四、解答题 15．已知，其中且． (1)判断的奇偶性并证明； (2)解不等式：． 16．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求b的值； (2)判断在定义域R上单调性并证明 (3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围. 17．已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性; (2)判断函数在区间上的单调性（不必写出过程），并解不等式 18．已知函数（为常数，） (1)讨论函数的奇偶性； (2)当，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 19．已知是偶函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在上的单调性； (3)解不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版指数函数与对数函数 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D D B A A AB AB 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】根据单调区间是定义域的子集可知：在上恒成立，然后再将原函数看成一个对数和一个一次函数的复合函数，根据复合函数的单调性特性可得答案. 【详解】依题意在上恒成立且， 又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，. 故选：B 2．B 【分析】由已知求出函数的周期及其在区间上的表达式即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∴，∴的周期为4， 当时，，则， 又∵为奇函数，∴，∴当时，， 又∵，且， ∴， 故选：B. 3．C 【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在上函数值符号，即可确定图象. 【详解】由解析式，知的定义域为， ， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，BD不合题意， 当时，，， 则， 所以在上， 结合各项函数图象知，A选项不合题意，C选项满足要求. 故选：C 4．D 【分析】画出分段函数的图像，然后结合函数与方程的交点个数求解. 【详解】 因为方程有3个实数解，所以与的图像有三个交点， 因为 所以做出 与的大致图像，如图， 由图可知， 故选：D. 5．D 【分析】根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性来求解. 【详解】由题意知函数由复合而成， 而在定义域上为增函数，故要使函数在区间上单调递增， 需满足在区间上单调递增且； 当时，二次函数图象开口方向向上，对称轴， 所以，解得：，即， 当时，二次函数图象开口方向向下，对称轴， 所以，无解， 当时，在区间上单调递减， 不合题意， 综合可知， 故选：D. 6．B 【分析】先由函数存在零点，得到有解，从而得到，解出的范围，再按照选项一一分析得解. 【详解】函数存在零点，有解，，， 对于选项A：是的充分但不必要条件； 对于选项B：是的必要但不充分条件； 对于选项C：是的充要条件； 对于选项D：是的既不充分也不必要条件. 故选：B. 7．A 【分析】借助中间值比较大小. 由得到，由得到，由得到，从而得到. 【详解】，， ，， ，，. 故选：A. 8．A 【分析】先判断是单调递增的奇函数，再利用、奇偶性和单调性，把不等式转化为，解得. 【详解】当时，，是单调递增函数，且； 当时，，是单调递增函数，且（时）， 所以是奇函数，且在上单调递增； 则，因为是奇函数，且在上单调递增，所以，解得. 9．AB 【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】因为当时，，则， 因为， 所以， 则，所以不成立，故A错误； 又函数为偶函数， 所以 ， 故的周期为4，由函数的周期为4，则，， 所以，故选项B错误； 令可得， 作出函数和的图像如下图所示， 由图可知，两个函数图像有3个交点，故选项C正确； 当时，，则， 故选项D正确， 故选：AB. 10．AB 【分析】由复合函数的单调性可求的的最小值，在上为减函数时的范围，判断A、B的正误，结合指对数函数图像的关系、奇函数的性质可判断C、D的正误. 【详解】对A选项，利用复合函数的单调性，令，随增大函数值减小， 而当时，有最大值，可求得当时，的最小值为，可知A选项错误； 对B选项，可令， 当时，中，随增大而减小，若原函数是减函数，则随增大而增大，可得，与条件矛盾； 当时，随减小而减小，且真数要恒大于0， 满足题意的不等式组为，可知的取值范围为，B选项错误； 对C选项，设的图像上任意一点，将指数式转化为对数式：，可知其关于的对称点在的图像上， 反之，对于的图像上的任意一点，将对数式转化为指数式，有，即点关于直线的对称点在函数的图像上， 可知的图像与的图像关于对称，C选项正确； （也可根据同一底数的指数函数和对数函数互为反函数，互为反函数的函数图像关于对称判断）； 对于D选项，奇函数的图像关于原点中心对称，在有个零点，则在也有个零点，再加上定义在上的奇函数图像必过原点，也是一个零点，共有个零点，D选项正确. 故选：AB 11．BCD 【分析】根据指数函数的单调性，可以用中间值求出和的范围，验证选项A不正确，再通过指数对数互化，，，结合换底公式，得到，，再考虑与的范围可以验证BCD选项正确. 【详解】由可得，由可得，则，可知选项A错误； 由指对数互化可得，，则，即可知选项B正确； 又，由，可知等号不成立，即，可知选项C正确； 由得， 令，由，，则在上单调递增，故，选项D正确． 故选：BCD 12．. 【分析】根据对数函数图象的性质求解判断 【详解】根据对数函数性质，画出， 因为所以即，且 ， 由对勾函数的性质可知，在上是增函数， 故有 故答案为：. 13． 【分析】利用指数对数的运算公式求解. 【详解】，，，， ， . 故答案为：. 14．0 【分析】由的值域为，得到的值域为，则有，从而求得；由的值域为，得到的最小值为9，则有，从而求得，计算的值得解. 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为，所以，解得； 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以. 故答案为：. 15．(1) 为奇函数．证明如下： 要使函数有意义，则有， ∴的定义域为，（注：不求定义域扣2分） ∵， ∴为奇函数． (2)当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）利用对数函数的定义求得函数的定义域，根据奇函数的定义判定函数为奇函数； （2）利用对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，转化求解不等式. 【详解】（1）略 （2），即， 当时，，即， 当时，，即， 综上：当时，解集为；当时，解集为． 16．(1) (2)是上的减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据为R上的奇函数，列等式，从而确定参数b的值； （2）运用定义法判断函数的单调性即可得出结果； （3）根据（2）中得出的单调性化简不等式，再运用分离变量法求解参数的值. 【详解】（1）为上的奇函数，. 时，，此时 所以为奇函数时，b的值为1. （2）是上的减函数. 证明：任取，且 ，， 又 ，故 所以是上的减函数. （3），不等式恒成立， 在R上恒成立，又为奇函数， 为减函数     在R上恒成立 即  在R上恒成立，而. 所以k的取值范围为. 17．(1)函数是R上的偶函数，证明如下： 依题意，函数的定义域为R．对于任意， 都有， 所以函数是R上的偶函数． (2)函数在上单调递增，不等式解集为 【分析】（1）利用偶函数的定义判断并证明函数为偶函数； （2）根据指数函数和复合函数及函数的加减合成的单调性规律判定函数的单调性，然后结合函数是偶函数，将不等式转化为，进而两边同时平方，等价转化为二次方程，求解即得. 【详解】（1）略 （2）函数在上单调递增． 因为函数R上的偶数函数，所以 等价于．因为函数在上单调递增， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）直接使用奇偶性的定义进行求解； （2）在函数为偶函数的条件下，确定函数的解析式，并通过函数零点和方程根的关系，求解实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为， 又 ①当时，即时，可得 即当时，函数为偶函数； ②当时，即时，可得 即当时，函数为奇函数； ③当时，函数为非奇非偶函数． （2）由（1）可得，当函数为偶函数时，， 即时， 由题可得， 令，则有 ， 又，当且仅当时，等号成立 根据对勾函数的性质可知，，即 ①化简得，解得 化简得，解得 此时的取值不存在； ②化简得，解得 化简得，解得 此时，可得的取值为 综上可得 19．(1) (2) 任取，，且， 则， 由于得，，所以，， 故，所以，则， 又因为，所以在上是增函数． (3) 【分析】（1）利用偶函数的概念恒成立，可求的值； （2）直接用函数单调性的定义进行推理证明； （3）利用偶函数的性质，结合（2）的结论，把不等式转化为代数不等式，再求解即可. 【详解】（1）依题意，定义域为， 由是偶函数，则，即，得， 又，则不恒等于0，故； （2）略 （3）因为为偶函数，在上是增函数， 则即为，两边平方得，解得或 不等式的解集为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $