4.2.1 均匀变化（教学课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版数学八年级上册 4.2.1 均匀变化 专项练习（约1230字） 核心考点 均匀变化：在变化过程中，自变量每增加相同的量，因变量的增加量（减少量）也相等，也就是变化量的比值恒定，均匀变化的两个变量满足一次函数关系。重点掌握表格读取、计算变化量、判断是否均匀变化、列关系式、简单实际应用。 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列变化属于均匀变化的是（） A. 自由下落小球，下落高度随时间变化 B. 汽车保持匀速行驶，路程随时间变化 C. 正方形面积随边长变化 D. 水池放水，放水速度越来越慢，剩余水量随时间变化 2. 已知变量 x、y 的表格： |x|0|1|2|3| | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | |y|5|8|11|14| 下列说法正确的是（） A. x 每增加 1，y 增加 3，属于均匀变化 B. x 每增加 1，y 增加 5，属于均匀变化 C. x 每增加 1，y 减少 3，不是均匀变化 D. y 和 x 不存在变化关系 3. 若两个变量均匀变化，当自变量增加 2，因变量减少 6，则自变量每增加 1，因变量（） A. 增加 6 B. 减少 6 C. 增加 3 D. 减少 3 4. 一个弹簧，不挂物体时长 10cm，每挂 1kg 重物，弹簧伸长 2cm，弹簧总长 y (cm) 与重物质量 x (kg) 的变化是均匀变化，那么挂 3kg 物体时弹簧总长为（） A. 12cm B. 14cm C. 16cm D. 18cm 5. 下列表格中，不属于均匀变化的一组是（） A. |x|1|2|3|4| |y|2|5|8|11| B. |x|0|2|4|6| |y|10|8|6|4| C. |x|1|2|3|4| |y|2|4|8|16| D. |x|0|1|2|3| |y|7|5|3|1| 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 6. 均匀变化的特点：自变量增加相同数值时，\\\\__的变化量始终相等。 7. 已知 x、y 均匀变化，x=0 时 y=4；x=1 时 y=7，则 x=3 时，y=\\\\\\。 8. 一根蜡烛长 24cm，每分钟燃烧 0.8cm，蜡烛剩余长度$$y$$（cm）与燃烧时间$$t$$（min）是均匀变化，自变量$$t$$的取值范围是\\\\\\\\。 9. 变量均匀变化，x 由 2 变到 5，增加了 3；对应的 y 由 10 变到 1，减少 9。则 x 每增加 1，y 减少\\\\\\。 10. 均匀变化的两个变量，对应的图像是一条\\\\\\\\。 三、解答题（共 60 分） 11.（12 分）观察表格，判断 y 随 x 的变化是不是均匀变化，并写出理由。 x -1 0 1 2 y 1 4 7 10 12.（14 分）某商店进货，购进 1 件商品总成本为 30 元，固定房租等开销一共 100 元。设进货数量为$$x$$件，总花费$$y$$元。 （1）判断$$y$$与$$x$$是否为均匀变化； （2）写出$$y$$与$$x$$之间的关系式。 13.（16 分）下表记录了一辆匀速行驶汽车的剩余油量$$Q$$（升）与行驶时间$$t$$（小时）的关系： t/h 0 1 2 3 Q/L 40 34 28 22 （1）$$t$$每增加 1 小时，剩余油量$$Q$$怎么变化？是否为均匀变化？ （2）求行驶 5 小时后，油箱剩余油量； （3）油箱油量耗尽时，一共行驶多少小时？ 14.（18 分）蓄水池原有水 120m³，以恒定速度向外排水，排水时间$$t$$（分钟），剩余水量$$V$$（m³）。已知$$t=0$$，$$V=120$$；$$t=10$$，$$V=100$$；$$t=20$$，$$V=80$$。 （1）填表并判断$$V$$与$$t$$是否均匀变化； （2）求每分钟排水量； （3）写出$$V$$关于$$t$$的关系式，并写出自变量取值范围； （4）当剩余水量为 30m³ 时，排水用时多少分钟？ 参考答案与解析 选择题 1.B 匀速行驶，时间每增加相同量，路程增量相等，均匀变化。A 高度随时间不是均匀增加；C 面积变化量不等；D 放水速度变化，不是均匀变化。 2.A x 每 + 1，y+3，增量固定，均匀变化。 3.D 自变量 + 2，因变量 - 6；自变量 + 1，因变量 - 3。 4.C 解析式$$y=10+2x$$，x=3，y=16。 5.C y 依次增加 2、4、8，增量不等，不是均匀变化。 填空题 6. 因变量；7.13；8.$$0\le t\le30$$；9.3；10. 直线 解答题 11. 是均匀变化。x 每增加 1，y 都增加 3，因变量变化量恒定。 12.（1）是均匀变化；（2）$$y=30x+100$$。 13.（1）t 每增加 1h，Q 减少 6L，均匀变化；（2）10 升；（3）$$\frac{20}{3}$$小时。 14.（1）t 每增加 10 分钟，V 减少 20m³，均匀变化；（2）每分钟排水 2m³；（3）$$V=120-2t$$，$$0\le t\le60$$；（4）45 分钟。 专项小结 均匀变化是学习一次函数的铺垫，核心看变化量是否恒定，不要混淆变量本身和变量的变化量。均匀变化，自变量等量增加，因变量等量增加或等量减少，可以写出形如$$y=kx+b$$的关系式，图像是直线。在实际问题中，自变量要结合现实意义确定取值范围，不能单纯看代数式。做题优先列表对比相邻两组数据，计算增量，快速判断是不是均匀变化。 （全文 1227 字） 要不要我把这份练习 \\ 单独拆成纯题目版（不带答案）\\ 方便你直接打印做题？ 北师大版（新教材）数学八年级上册 4.2.1均匀变化 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/24 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第四章 一次函数 从漏水、燃香现象抽象变量关系，通过实验推导公式，建立坐标系分析模型，理解 “均匀变化” 本质，掌握实际问题数学化方法。 整理实验数据并在坐标系中描点，分析数据规律与差异，培养数据处理与逻辑推理能力。 运用数学模型解决漏水量估算、燃香时长预测等问题，体会数学实用价值，增强数学应用意识。 02 回顾旧知 在某个变化过程中，有两个变量x 和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 函数有图象、表格、关系式三种表达方式. 03 问题导入 2020年，我国生活用水量，城镇（含公共用水）207L/d,农村100L/d 一个滴水的水龙头一年的滴水量大约是多少？够一个人使用一年吗？设计一个方案估算一下。 03 新知探究 活动一 一次函数的概念 将水龙头拧到适当的位置，造成漏水现象，在水龙头下放一个量杯，每隔1min记录一下量杯的水量，将记录的数据填入下表。在坐标纸上描出v、t的对应点，探究漏水量的变化规律，估算一下这个水龙头一天的漏水量。 时间t/min 1 2 3 4 5 6 漏水量V/L 03 新知探究 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 漏水量V/L 5.5 11 16.5 22 27.5 33 38.5 44 v t 1、描点、连线 . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 . . . . . . 2、思考 （1）连线后这线有什么特点？ （2）写出v与Y的关系式。 V=5.5t 03 新知探究 时间t/min 1 2 3 4 5 6 可燃烧长度L/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 19.9 活动二 为了估算一根驱蚊线香可燃烧时间，小颖点燃一根香，每隔1min测量一次线香燃烧的长度，数据如下。 （1）在平面直角坐标系中描出各点。 （2）估计燃烧10min后线香可燃烧的长度。 （3）估计这根线香燃烧的时间。 （4）试写出燃烧时间（t）和可燃烧的长度L的关系式。 03 新知探究 活动二 0 1 2 3 4 5 6 7 8 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 L t . . . . . . 从表格中可以看出每分钟燃烧长度 是0.5cm,线香总长度是22.9cm 所以10min燃烧5厘米，可燃烧长度 22.9-5=17.9cm;估计这根线香可以 燃烧22.9÷0.5≈46分钟。关系式是 L=22.9-0.5t 燃烧时间增加1min,可燃烧部分减少 0.5cm,也就是说随着时间的增加可 燃烧长度“均匀”的减少如何理解“均匀”？ 03 新知探究 活动三 x/千克 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：厘米）与所挂物体的重量x（单位kg)的关系如下表 （1）随着挂物体重量的增加，弹簧长度是均匀的增长吗？ （2）写出Y与x的关系式，并说明理由。 不挂物体的时候弹簧长度是3cm,随着挂物体重量的增加，弹簧长度是均匀的增长5cm,所以Y=3+0.5X 知识点“均匀”变化 1. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水已成为全球的共识.据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出60滴水，每滴水约0.05毫升.小康洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头按测试的速度滴水.设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，则y与x之间的关系式是(　　) A.y＝0.05x　　 B.y＝3x C.y＝60x　　 D.y＝0.05x＋60 返回 B 基础提优题 中考考法 2.如图是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中放入大小相同的骰子.随着放入骰子数量的增加，水杯中的水面会升高，这样的升高　　　　(填“是”或“不是”)“均匀”变化的. 返回 不是 基础提优题 中考考法 03 新知探究 活动四 某辆汽车油箱中原有油40L,汽车每行驶50km耗油4L. (1) 完成下表： 汽车行使路程x/千米 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 0 4 8 12 16 24 (1)写出耗油量y与汽车行驶的路程x的关系式 （2）写出油箱剩余油量z（单位：L)与行驶的路程x的关系式 继续探究 (1)v=5.5t (2)L=22.9-0.5t (3)y=3+0.5x 它们的结构特征有什么特点？ （1）都是含有两个变量等式.其中左边是因变量，右边是自变量； （2）自变量的系数都不为0； （3）自变量和因变量的次数都是一次的. (4) 自变量增加（减少），函数值就均匀增加（减少）。 知识要点1 若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k, b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数. 一次函数的定义 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 一次函数 关系式为：y=kx+b (k,b为常数，k≠0） 正比例函数 关系式为：y=kx (k为常数，k≠0） 知识要点2 一次函数与正比例函数的关系 一次函数 正比例函数 04 典例精析 例1 例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系; 解：由路程=速度×时间，得y=60x , y是x的 一次函数,也是x的正比例函数. 04 新知讲解 (2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系. (3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。 这个水池每小时增加5立方厘米，xh增加5x, y=15＋5x y是x的一次函数,但不是x的正比例函数. y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.判断下列函数关系式中，y是否为x一次函数？是否为正比例函数？ 是一次函数的是：（1）、（3）、（6）， 是正比例函数的是 （1）（6）.（填序号） 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2、写出下列一次函数关系式中的k和b. （1）y=2x-1，k=        ，b=        ； （2）y=-5x， k=        ，b=        ； （3） ，k=        ，b=        . 3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A. B. y=-3x C. y=2(x+3) D. c 2 -1 -5 0 - 2 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4.已知函数 （1）若该函数是一次函数，则m的取值范围为         ； （2）若该函数是正比例函数，则y与x之间的函数关系式为         . 5.下列说法中，不正确的是（    ）  A.一次函数不一定是正比例函数 B.正比例函数是一次函数的特例 C.不是正比例函数就不是一次函数 D.不是一次函数就不是正比例函数 m≠5 y=8x  C 解：由题知， 因为钢球加热后温度每增加1℃，体积增加0.051cm3， 所以温度由0℃增加到t℃时，体积就增加了0.051t cm3． 又钢球在0℃时，体积是1000cm3， 所以体积V关于温度t的函数解析式为：V＝1000+0.051t． 1．一个钢球在0℃时，体积是1000cm3，加热后温度每增加1℃，体积增加0.051cm3，写出体积V关于温度t的函数解析式． 当堂检测 2．一根弹簧原长12厘米，每挂2千克物体，伸长1厘米．若挂x千克物体后，弹簧的长度y是多少厘米？ 当堂检测 3．某汽车在加油后开始匀速行驶．已知汽车行驶到20km时，油箱中剩油58.4L．行驶到50km时，油箱中剩油56L，如果油箱余油量是均匀变化的，请油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系． 解：由题意 可得： y＝60﹣0.08x（0≤x≤750） 当堂检测 4．某油桶有油20升，现在有一进油管和一出油管，进油管每分钟进油4升，出油管每分钟出油6升，现同时打开两管．请写出油桶中剩油量Q（升）与开管时间t（分）之间的函数关系式。 解：Q＝20﹣2t 当堂检测 3.已知用于爆破工程的炸药包的导火线长100 cm，正常情况下，导火线每秒燃烧4 cm. (1)导火线燃烧时剩余的长度l(单位：cm)与燃烧时间t(单位：s)之间的函数关系式是　　　　　　　　　　； (2)点燃导火线　　s后爆炸，自变量t的取值范围是　　　　　　　　； 返回 l＝100－4t 25 0≤t≤25 基础提优题 中考考法 (3)填表(注意首尾两点的选取)： 返回 t/s 0 5 10 15 20 25 l/cm             100 80 60 40 20 0 基础提优题 中考考法 (4)根据上表中的对应值在如图所示的坐标系中画出这个函数的图象； 返回 【解】根据表格中的对应值画出函数图象如图. 基础提优题 中考考法 (5)由图象可知：点燃导火线12.5 s时，导火线还剩　　　　cm. 返回 50 基础提优题 中考考法 4.弹簧挂重物后会伸长，弹簧长度(最长为20 cm)y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)的部分对应值如下表： 下列说法不正确的是(　　) A.x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B.所挂物体为6 kg时，弹簧长度为11 cm C.物体每增加1 kg，弹簧长度就增加0.5 cm D.挂30 kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15 cm 返回 x/kg 0 1 2 3 4 … y/cm 8 8.5 9 9.5 10 … D 综合应用题 05 课堂小结 一次函数 正比例函数 1、一次函数与正比例函数的概念： 2、一次函数与正比例函数的关系； 3、依据实际问题的意义，会列出一次函数与正比例函数的表达式； 谢谢观看 THANKS $