4.2整式的加法与减法第3课时整式的加减（讲义，知识点&9大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦整式的加减这一核心知识点，系统整合去括号、合并同类项知识，明确运算步骤为去括号后合并同类项，衔接整式的概念与后续代数式求值等内容，构建完整的整式运算学习支架。 该资料通过分层题型设计，涵盖化简求值、与字母无关、错看问题等，结合实际问题如垃圾桶采购培养运算能力与推理意识，融入新定义运算发展模型观念与应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第四章 整式的加减 4.2整式的加法与减法 第3课时 整式的加减 课标要点 1. 整合去括号、合并同类项知识，归纳整式加减完整运算步骤：去括号→合并同类项，掌握整式加减通用流程。 2. 掌握两个整式求和、求差的列式方法，求差时给后一个整式整体加括号再去括号，规范列式书写。 熟练完成整式化简后代入数值求值，能处理含负数、分数、π 的代入计算，简化运算量。 4. 会解决整式加减综合题型：不含某项、与字母取值无关、多项式升幂 / 降幂排列、实际应用列式化简。 5. 体会数式通性、类比、化归思想，能运用整式加减模型解决生活中数量、价格、图形周长面积等实际问题。 学习重难点 重点： 1. 整式加减完整运算步骤（去括号 + 合并同类项）； 2. 两个整式相减时正确添加括号、规范去符号； 3. 整式先化简再代入求值的标准解题格式。 难点： 1. 整式作差列式时忘记给后式加括号，导致符号全部出错； 2. 多层括号、多字母、负系数混合运算中符号连续出错； 3. 综合题型结合参数求解（不含某项、与字母无关）； 4. 根据几何图形、生活应用题自主列出整式并完成化简计算。 知识点 整式的加减 ◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. ◆2、整式的加减步骤及注意问题 （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 随学随练 1．（24-25七年级下·重庆·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 3．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 4．（25-26七年级上·四川凉山·期末）一位同学做一道题：“已知两个多项式，，计算?他误将“”看成“”，求得的结果为，已知 ． (1)求； (2)当 时，求的值． 题型一 利用整式的加减计算 ▌例1（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 解题贴士 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. ▌对点练1-1 （25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算减去的差，结果正确的 是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 若一个一次式与的和是，那么这个一次式是_______． ▌对点练1-3已知，． (1)求． (2)如果，求． 题型二 整式的化简求值---直接代入求值 ▌例2 （24-25七年级上·辽宁本溪·期末）先化简，再求值：．其中，． 解题贴士 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可. ▌对点练2-1 先化简，再求值：，其中，． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． ▌对点练2-3 先化简，再求值： ，其中x，y满足． 题型三 整式的化简求值---整体代入求值 ▌例3 （25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）若，则的值为_____． 解题贴士 先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可． ▌对点练3-1 （25-26七年级上·湖北随州·期中）已知，则代数式的值为________． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的加减中应用极为广泛．我们知道， ①； ②． ①、②中就是把和各看成了一个整体进行的化简． 请利用“整体思想”尝试解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简； (2)若时，整式，当时，求整式的值． ▌对点练3-3（24-25七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“x”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 题型四 整式加减中与某个字母无关问题 ▌例4（22-23七年级下·江苏泰州·开学考试）已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 解题贴士 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. ▌对点练4-1 （25-26七年级上·贵州铜仁·期中）已知多项式． (1)求； (2)试判断的值是否与的取值无关． ▌对点练4-2（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． ▌对点练4-3（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 题型五 整式加减中的错看问题 ▌例5 （24-25七年级上·四川广安·期末）一道关于多项式的题“已知两个多项式A，B，若，求．”小明做这道题时，误将看成，得到的结果为．请求出的正确结果． 解题贴士 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. ▌对点练5-1 （25-26七年级上·江西宜春·期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求的正确答案． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·山东临沂·期中）已知两个多项式，，计算．某同学做题时误将“”看成了“”， 求得的结果为．已知，求． ▌对点练5-3 小强同学在考试时没有认真审题，在计算时，误将看成了，求得的结果是，已知， (1)请你帮他求出； (2)若，求的值． 题型六 整式加减与数轴、绝对值的结合 ▌例6 （25-26七年级上·全国·阶段检测）a，b在数轴上对应的点如图所示： (1)比较大小 ________； (2)化简：． 解题贴士 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． ▌对点练6-1 （25-26七年级上·湖南常德·期中）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：________0，________0，________0，________0； (2)化简：． ▌对点练6-2 （24-25七年级上·天津河北·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示， (1)判断：______0，______0，______0；（填“>”，“<”或“”） (2)化简式子：． ▌对点练6-3（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示： (1)___________0，___________0，___________0． (2)___________，___________． (3)化简： 题型七 利用整式加减解决数学问题 ▌例6 7（25-26七年级下·云南玉溪·期末）一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，把这个两位数记为，交换十位与个位数字后得到的新两位数记为，且． (1)若，试比较与的大小关系； (2)若，且的值为正整数，求，的值． 解题贴士 根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． ▌对点练7-1 （25-26七年级下·河北承德·阶段检测）按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设 是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． ▌对点练7-2 （25-26七年级下·北京·期末）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： (1)如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； (2)如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值； 小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出的值． ▌对点练7-3（25-26七年级上·河北保定·期末）【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． (1)若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． (2)在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． (3)【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 题型八 利用整式加减进行新定义运算 ▌例8【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 解题贴士 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去 括号． ▌对点练8-1 （24-25七年级上·河北沧州·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数，都有，例如：． (1)直接写出的值； (2)先化简，再求值：，其中，． ▌对点练8-2对于有理数，定义了一种新运算“※”为：※ ， 如： ， (1)计算：① ；② ． (2)若 ，且，求的表达式． (3)若 ， ，且 ，求 的值． ▌对点练8-3（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 题型九 运用整式的加减解决实际问题 ▌例9 新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶．大垃圾桶单价元/个，小垃圾桶单价比大垃圾桶单价的多20元，此次预计采购大垃圾桶5个，小垃圾桶7个． (1)用含的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？ (2)若大垃圾桶单价为120元/个，学校预算1200元，是否够用？请说明理由． 解题贴士 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. ▌对点练9-1 （25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）为进一步优化校园环境，营造雅致的学习生活氛围，学校计划在勤业楼前修建一块凹字形花坛，专门用于种植麦冬草如图是计划修建的一块凹字形花坛．(单位：米) (1)用含，的代数式表示花坛的周长： (2)当，时，求花坛的周长． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·江苏徐州·期中）对联是中华传统文化的瑰宝，对联（阴影部分）装裱后，如图所示，上下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左右的侧边宽相等．若某副对联长为，宽为． (1)天头长＝______；地头长＝______；侧边宽＝______； (2)求这幅对联装裱后的周长（用含m、n代数式表示）； (3)若，，求这幅对联装裱后的面积． ▌对点练9-3某学校为了全面提高学生的综合素养，组织了音乐，朗诵，舞蹈，美术共四个社团，学生积极参加（每个学生限报一项），参加社团的学生共有（6x﹣2y）人，其中音乐社团有x人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的两倍少y人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的一半多3人． （1）参加朗诵社团有 　 人；（用含x，y的式子表示） （2）求朗诵社团比舞蹈社团多多少人？（用含x，y的式子表示） （3）求美术社团有多少人？（用含x，y的式子表示） （4）若x＝65，y＝40，求美术社团的人数． 基础通关 1．（23-24七年级上·上海·阶段检测）一个四次整式与一个五次整式相加，其结果是（     ） A．四次整式 B．五次整式 C．不高于四次的整式 D．不低于四次的整式 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）一多项式与的和为，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，，且，则C的表达式是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）已知，，则代数式的值为（ ） A．59 B．62 C．77 D．139 6．（22-23七年级上·全国·期末）当时，化简得（     ）． A． B． C．2 D． 素养提升 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 8．（25-26七年级下·广东茂名·期末）某客户到商场购买夹克30件，T恤x件（）．商场有两种优惠方案：方案一，买一件夹克送一件T恤；方案二，夹克和T恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200元，T恤每件40元．当时，选择方案一比方案二节省（     ） A．200元 B．240元 C．300元 D．400元 9．（25-26七年级上·陕西安康·期末）若将多项式的次数记为，三次项的系数记为，常数项记为，则代数式的值为_____． 10．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，，则代数式的值为__________． 11．（23-24六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 12．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的长为__________． 13．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·云南昆明·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，试求，的值． 迁移创新 16．（25-26七年级上·江西吉安·期末）已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求多项式； (2)的正确结果是多少？ 17．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 18．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 19．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 20．我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为 （a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”． （1）数对（1，），（1.5，3），（，﹣1）中，是“有趣数对”的是 　 　； （2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值； （3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mnm﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 4.2整式的加法与减法 第3课时 整式的加减 课标要点 1. 整合去括号、合并同类项知识，归纳整式加减完整运算步骤：去括号→合并同类项，掌握整式加减通用流程。 2. 掌握两个整式求和、求差的列式方法，求差时给后一个整式整体加括号再去括号，规范列式书写。 熟练完成整式化简后代入数值求值，能处理含负数、分数、π 的代入计算，简化运算量。 4. 会解决整式加减综合题型：不含某项、与字母取值无关、多项式升幂 / 降幂排列、实际应用列式化简。 5. 体会数式通性、类比、化归思想，能运用整式加减模型解决生活中数量、价格、图形周长面积等实际问题。 学习重难点 重点： 1. 整式加减完整运算步骤（去括号 + 合并同类项）； 2. 两个整式相减时正确添加括号、规范去符号； 3. 整式先化简再代入求值的标准解题格式。 难点： 1. 整式作差列式时忘记给后式加括号，导致符号全部出错； 2. 多层括号、多字母、负系数混合运算中符号连续出错； 3. 综合题型结合参数求解（不含某项、与字母无关）； 4. 根据几何图形、生活应用题自主列出整式并完成化简计算。 知识点 整式的加减 ◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. ◆2、整式的加减步骤及注意问题 （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 随学随练 1．（24-25七年级下·重庆·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算以及实数的混合运算，根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，故A不符合题意； B、，原式计算错误，故B不符合题意； C、、不是同类项，不能合并，原式计算错误，故C不符合题意； D、，正确，故D符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本再利用整体代入法计算． 【详解】解： ； 已知，将其题考查整式的化简求值，关键是通过去括号、合并同类项将代数式转化为含已知条件的形式，代入，原式=． 故选：A． 3．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)化简结果为，值为 【分析】（1）先去括号再合并同类项，最后将，代入计算即可； （2）先去括号再合并同类项，再根据非负性求出，最后代入计算即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 解得 原式． 4．（25-26七年级上·四川凉山·期末）一位同学做一道题：“已知两个多项式，，计算?他误将“”看成“”，求得的结果为，已知 ． (1)求； (2)当 时，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）先根据题意计算即可； （2）根据题意列式，再去括号合并化简，将代入计算即可. 【详解】（1）解：根据题意得 ； （2）解： ， 当时，原式 . 题型一 利用整式的加减计算 ▌例1（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了整式的加减运算，解答时要先去括号，再合并同类项得出结果． （1）按照去括号和合并同类项的法则计算即可； （2）按照去括号和合并同类项的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题贴士 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. ▌对点练1-1 （25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算减去的差，结果正确的 是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，先根据题意列出减法算式，再通过去括号、合并同类项得出结果． 【详解】解：由题意得 ． 故选：D． ▌对点练1-2 若一个一次式与的和是，那么这个一次式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的运算，根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵一个一次式与的和是， ∴这个一次式为： ． 故答案为：． ▌对点练1-3已知，． (1)求． (2)如果，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将，代入中，去括号，合并同类项即可． （2）将，代入中，化简即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，，， ∴ ． 题型二 整式的化简求值---直接代入求值 ▌例2 （24-25七年级上·辽宁本溪·期末）先化简，再求值：．其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 解题贴士 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可. ▌对点练2-1 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则是解题的关键．先去括号、合并同类项得到最简结果，把，代入即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． ▌对点练2-3 先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵ ∴ ∴      ∴原式． 题型三 整式的化简求值---整体代入求值 ▌例3 （25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先去括号，再合并同类项，然后将已知条件代入化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：． 解题贴士 先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可． ▌对点练3-1 （25-26七年级上·湖北随州·期中）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的加减中的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简已知方程得到与的关系式，再将所求代数式变形后代入求值． 【详解】解： ， 去括号，得， 合并同类项，得， 即． 所以 ． 故答案为：． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的加减中应用极为广泛．我们知道， ①； ②． ①、②中就是把和各看成了一个整体进行的化简． 请利用“整体思想”尝试解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简； (2)若时，整式，当时，求整式的值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）把看成一个整体，仿照示例化简即可； （2）将代入中化简得，再将代入所求式子，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：将代入中得， ， ∴， ∴， 当时，． ▌对点练3-3（24-25七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“x”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键． （1）仿照材料，把看成一个整体，即可合并； （2）将整体代入计算即可； （3）先去括号，再添括号，根据 ，得到，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ； （3）解： ， ， ． 题型四 整式加减中与某个字母无关问题 ▌例4（22-23七年级下·江苏泰州·开学考试）已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入A、B计算，合并同类项后，根据不含项即项的系数为0，求解的值； （2）将（1）得到的代入，计算，合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ， 解得． （2）解：当时， ， ， ． 解题贴士 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. ▌对点练4-1 （25-26七年级上·贵州铜仁·期中）已知多项式． (1)求； (2)试判断的值是否与的取值无关． 【答案】(1) (2)否 【分析】本题主要考查了整式加减的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． （1）先根据整式的加减混合运算，求出的值即可； （2）把整式进行整理，然后令含x项的系数等于0，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 的值与的取值有关． ▌对点练4-2（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）易得与的取值无关．可得，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2）解：由（1）得化简后为， ∵多项式的值与的取值无关， ∴与的取值无关． 即，解得． ▌对点练4-3（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【答案】(1)二次三项式 (2) (3) 【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式中单项式的个数． （2）代入给定的与的值得到多项式和，再通过合并同类项完成整式的加法运算． （3）先求出与的差，根据差中不含某一项则该项系数为的性质，求出和的值，进而计算的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． 题型五 整式加减中的错看问题 ▌例5 （24-25七年级上·四川广安·期末）一道关于多项式的题“已知两个多项式A，B，若，求．”小明做这道题时，误将看成，得到的结果为．请求出的正确结果． 【答案】 【分析】本题考查了是整式的加减，由已知，误将看成，我们可得，，则，把已知B代入得出A，再运用去括号、合并同类项求得． 【详解】解：由题意，得，， ∴ ， ∴ ． 解题贴士 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. ▌对点练5-1 （25-26七年级上·江西宜春·期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求的正确答案． 【答案】 【分析】把相应的式子代入，利用整式的加减的法则进行运算即可． 【详解】， ， ∴． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·山东临沂·期中）已知两个多项式，，计算．某同学做题时误将“”看成了“”， 求得的结果为．已知，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的加减混合运算法则．根据，代入即可求得多项式，然后计算即可． 【详解】解： ，， ， ， 综上，的结果为． ▌对点练5-3 小强同学在考试时没有认真审题，在计算时，误将看成了，求得的结果是，已知， (1)请你帮他求出； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入后进行化简即可； （2）根据“两个非负数的和为，则这两个数一定为”确定，的值，再代入由（1）所得的结果中进行计算即可． 【详解】（1）解：∵的结果是，， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 题型六 整式加减与数轴、绝对值的结合 ▌例6 （25-26七年级上·全国·阶段检测）a，b在数轴上对应的点如图所示： (1)比较大小 ________； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴比大小和绝对值的性质，准确分析计算是解题的关键． 先根据，在数轴上的位置，确定，的符号和绝对值的大小，再根据有理数的大小比较和加减法则化简即可． 【详解】（1）由图可知：，， ，， ； 故答案是：． （2）由（1）可得：，，， ． 解题贴士 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． ▌对点练6-1 （25-26七年级上·湖南常德·期中）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：________0，________0，________0，________0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值： （1）根据点在数轴上的位置，判断出数的符号，式子的符号即可； （2）根据绝对值的意义，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴； 故答案为：； （2）解：由（1）可知：， ∴． ▌对点练6-2 （24-25七年级上·天津河北·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示， (1)判断：______0，______0，______0；（填“>”，“<”或“”） (2)化简式子：． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的比较大小，整式的加减运算，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键． （1）根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，绝对值的定义，有理数的加法，减法法法则判断即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴，，； （2）解：∵，，； ∴ ． ▌对点练6-3（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示： (1)___________0，___________0，___________0． (2)___________，___________． (3)化简： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，整式的加减； （1）由数轴得，，，，，进一步得出即可； （2）根据绝对值的性质结合（1）中的结论即可化简； （3）根据绝对值的性质结合（1）中的结论可得，再化简绝对值，进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：由数轴得，，，，，则 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ ， ， 故答案为：，． （3）解：∵，，， ∴， ∴ 题型七 利用整式加减解决数学问题 ▌例6 7（25-26七年级下·云南玉溪·期末）一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，把这个两位数记为，交换十位与个位数字后得到的新两位数记为，且． (1)若，试比较与的大小关系； (2)若，且的值为正整数，求，的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】（1）先求出，再代入化简即可； （2）先求出，再根据都为正整数解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵都为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵的值为正整数， ∴或， ∴①当时，则，，不符合题意，舍去； ②当时，则或或（不符合题意，舍去）； 综上，或． 解题贴士 根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． ▌对点练7-1 （25-26七年级下·河北承德·阶段检测）按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设 是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)①，； ②证明： ， ，为正整数， 为整数， 顺子数都可以被3整除． 【分析】（1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可； （2）根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （3）①根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； ②把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； （2）解：根据题意一个顺子数为：789（答案不唯一）； （3）解：①∵三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数， ∴； ②略 ▌对点练7-2 （25-26七年级下·北京·期末）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： (1)如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； (2)如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值； 小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出的值． 【答案】(1)如图所示： ， (2)6或9 【分析】（1）根据下方两个圆圈上已填的数字和分别为8与7，要填的两个数字为4与5，据此左边要填的数字为4，右边要填的数字为5，即可补充图，并求得S； （2）三个圆圈上的所有数字和为，即，根据取值即可确定的值． 【详解】（1）解：图略； ； （2）解：由题意， ∴， ∵a，b为1到6中某两个数， ∴a，b最小取1，2，最大取5，6， ∴， ∵， ∴， ∴S为整数， ∴是3的倍数， ∴或9． ▌对点练7-3（25-26七年级上·河北保定·期末）【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． (1)若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． (2)在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． (3)【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 【答案】(1)45 (2)能，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的加减法运算，以及代数式的化简运算，解决本题的关键是读懂题意并由其中一个数字表示出另外一个数字． （1）根据“”字形框中最小的数是1，可得到其余四个数字，再由加法运算求解即可． （2）设“”字形框中最小的数为x，再表示出其余四个数字，由加法运算后判断即可． （3）由“十”字框的框中心的数字，分别表示出其余四个数字，再由运算求解关系即可． 【详解】（1）解：用“”字形框中五个数，其中最小的数是1， 则这五个数分别为， 故这五个数之和为． 故答案为：45． （2）解：能，理由如下： 设“”字形框中最小的数为x，则其余四个数字为， 这五个数之和为， ∵是5的倍数， ∴框中日历表中的五个数字之和能被5整除． （3）解：“十”字框中框中心的数字， 则框中心上方的数字，框中心下方的数字，框中心左方的数字，框中心右方的数字， ∴“十”字框中的5个数字之和， ∴“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为． 故答案为：． 题型八 利用整式加减进行新定义运算 ▌例8【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③ (2)①；②（答案不唯一） (3)，不是对称式 【分析】（1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及单项式的定义即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； 即其中是对称式的是①③； （2）解：①根据题意得：该单项式是； ②根据题意得：该多项式可以为； （3）解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴所得结果不是对称式． 解题贴士 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去 括号． ▌对点练8-1 （24-25七年级上·河北沧州·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数，都有，例如：． (1)直接写出的值； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）先根据新定义运算法则计算出的值，再根据新定义运算计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 所以，原式 ▌对点练8-2对于有理数，定义了一种新运算“※”为：※ ， 如： ， (1)计算：① ；② ． (2)若 ，且，求的表达式． (3)若 ， ，且 ，求 的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可； （2）根据得，进而根据新定义的运算方法进行计算即可； （3）利用作差法比较的大小关系，根据新定义的运算方法进行计算求解即可. 【详解】（1）解：① ； ②； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ； （3）解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得， ∴ . ▌对点练8-3（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新运算的定义、指数运算、数字规律、整式运算等知识点，熟练掌握新运算的理解和相关运算法则是解题的关键． （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将根据不同的n值运算展开发现规律，据此确定，满足的关系； （3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，然后列举验证，找出正整数的解即可． 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． 题型九 运用整式的加减解决实际问题 ▌例9 新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶．大垃圾桶单价元/个，小垃圾桶单价比大垃圾桶单价的多20元，此次预计采购大垃圾桶5个，小垃圾桶7个． (1)用含的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？ (2)若大垃圾桶单价为120元/个，学校预算1200元，是否够用？请说明理由． 【答案】(1)（元） (2)解：将代入得（元）， 因为， 所以学校预算够用． 【分析】（1）先根据小垃圾桶单价和大垃圾桶单价的数量关系，用含的代数式写出小垃圾桶的单价，因为总付款等于大垃圾桶总费用加上小垃圾桶总费用，所以分别计算两种垃圾桶的总费用后相加，化简得到总付款的代数式即可； （2）将代入第一问得到的总付款代数式，计算出实际总费用，如果计算出的实际总费用小于等于1200元，那么预算够用，反之则不够用． 【详解】【小题1】解：（元）； 【小题2】略． 解题贴士 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. ▌对点练9-1 （25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）为进一步优化校园环境，营造雅致的学习生活氛围，学校计划在勤业楼前修建一块凹字形花坛，专门用于种植麦冬草如图是计划修建的一块凹字形花坛．(单位：米) (1)用含，的代数式表示花坛的周长： (2)当，时，求花坛的周长． 【答案】(1) (2)56米 【分析】此题考查列代数式，已知字母的值求代数式的值， （1）分别计算各边的长，由此得到图形的周长； （2）将字母的值代入（1）的结果计算即可 【详解】（1）解：由题意可知：花坛上边长为， 下边长为， 左右两边宽为， 内宽为， 花坛的周长 ． （2）当，时， 花坛的周长为：（米）． 所以花坛周长为56米． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·江苏徐州·期中）对联是中华传统文化的瑰宝，对联（阴影部分）装裱后，如图所示，上下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左右的侧边宽相等．若某副对联长为，宽为． (1)天头长＝______；地头长＝______；侧边宽＝______； (2)求这幅对联装裱后的周长（用含m、n代数式表示）； (3)若，，求这幅对联装裱后的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查整式加减的应用； （1）根据“天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的”列代数式即可； （2）表示出装裱后的长和宽，再求周长即可； （3）把，，代入求出装裱后的长和宽，最后求面积即可． 【详解】（1）解：∵天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的， ∴天头长；地头长；侧边宽， 故答案为：，，； （2）解：装裱后的长 ， 装裱后的宽， 装裱后的周长； （3）解：当，时， 答：这幅对联装裱后的面积为． ▌对点练9-3某学校为了全面提高学生的综合素养，组织了音乐，朗诵，舞蹈，美术共四个社团，学生积极参加（每个学生限报一项），参加社团的学生共有（6x﹣2y）人，其中音乐社团有x人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的两倍少y人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的一半多3人． （1）参加朗诵社团有 　 人；（用含x，y的式子表示） （2）求朗诵社团比舞蹈社团多多少人？（用含x，y的式子表示） （3）求美术社团有多少人？（用含x，y的式子表示） （4）若x＝65，y＝40，求美术社团的人数． 【分析】（1）根据朗诵社团与音乐社团的人数的等量关系可得答案； （2）根据舞蹈社团与朗诵社团人数的等量关系，求出参加舞蹈社团的人数，再根据整式的加减运算法则可得答案； （3）先根据整式的加减运算法则，用x，y表示出参加美术社团的人数； （4）再将x，y的值代入计算美术社团的人数即可． 【详解】解：（1）∵音乐社团有x人参加，朗诵社团的人数比音乐社团的人数的两倍少y人， ∴参加朗诵社团的人数为（2x﹣y）人； （2）∵舞蹈社团的人数比朗诵社团人数一半多3人， 由（1）知，参加朗诵社团的人数为（2x﹣y）人， ∴参加舞蹈社团的人数为（2x﹣y）+3＝（xy+3）人， ∵2x﹣y﹣（xy+3） ＝2x﹣y﹣xy﹣3 ＝xy﹣3， ∴朗诵社团比舞蹈社团多（xy﹣3）人； （3）∵6x﹣2y﹣x﹣（2x﹣y）﹣（xy+3） ＝6x﹣2y﹣x﹣2x+y﹣xy﹣3 ＝2xy﹣3， ∴参加美术社团的人数为（2xy﹣3）人； （4）当x＝65，y＝40时， 2xy﹣3 ＝2×6540﹣3 ＝107． ∴美术社团的人数为107人． 【点睛】本题考查整式的加减、列代数式，掌握运算法则是关键． 基础通关 1．（23-24七年级上·上海·阶段检测）一个四次整式与一个五次整式相加，其结果是（     ） A．四次整式 B．五次整式 C．不高于四次的整式 D．不低于四次的整式 【答案】B 【分析】依据多项式次数的定义，即多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，只需判断相加后最高次项是否存在即可． 【详解】解：∵五次整式的定义是最高次项为五次项，且五次项系数不为， 又∵四次整式最高次为四次，不含五次项， ∴两个整式相加后，结果中五次项系数仍不为，最高次仍为五次， ∴结果是五次整式． 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）一多项式与的和为，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减，根据题意列出关系式，然后去括号，合并同类项即可得到结果，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：． 9．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，，且，则C的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，先通过等式变形得到，再代入、的表达式，利用去括号、合并同类项法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：D． 11．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，理解新运算法则是解答的关键．根据新运算的法则，列式计算即可． 【详解】解：原式 故选B． 17．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）已知，，则代数式的值为（ ） A．59 B．62 C．77 D．139 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简求值，运用整体代入思想简化计算，首先去括号，合并同类项将原代数式化简，再将所求代数式化成用与表示的形式，然后把已知代入即可求解． 【详解】解： 当，时 原式． 故选：A． 6．（22-23七年级上·全国·期末）当时，化简得（     ）． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】 由已知，可得出，再去绝对值，然后去括号、合并同类项即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 素养提升 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，把所给多项式合并同类项，再根据多项式的值与x的取值无关得到含x的项的系数为0，据此求出p、q的值即可得到答案． 【详解】解：． ∵关于的多项式的值与的取值无关 ，且， ∴，， ∴ ， 故选：B． 8．（25-26七年级下·广东茂名·期末）某客户到商场购买夹克30件，T恤x件（）．商场有两种优惠方案：方案一，买一件夹克送一件T恤；方案二，夹克和T恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200元，T恤每件40元．当时，选择方案一比方案二节省（     ） A．200元 B．240元 C．300元 D．400元 【答案】D 【分析】先求出方案一和方案二的总费用，求差即可解答． 【详解】解：方案一的总费用为（元）， 当时，（元）； 方案二的总费用为（元）， 当时，（元）， 方案一比方案二节省（元）． 9．（25-26七年级上·陕西安康·期末）若将多项式的次数记为，三次项的系数记为，常数项记为，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的相关定义，代数式求值，根据多项式各项的次数确定最高次数为4，即；识别三次项及其系数为，即；常数项为，即，将a、b、c代入代数式并化简计算即可． 【详解】解：多项式 中，项的次数为，是最高次数，故； 项的次数为，系数为，故； 常数项为，故； 代数式化简为：， 代入，，，得： ． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算． 先去括号合并同类项，再代入已知条件计算即可． 【详解】 ， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 11．（23-24六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 【答案】 【分析】先由题意得到，继而确定与是同类项，再由同类项的定义求出的值，即可求解． 【详解】解：∵， ，且 ∴， ∴， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴． 12．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的长为__________． 【答案】 【分析】根据拼图的过程可得出长方形的长即可． 【详解】解：由拼图可知，长方形的长为：． 13．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【答案】16 【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了整式的加减运算，解答时要先去括号，再合并同类项得出结果． （1）按照去括号和合并同类项的法则计算即可； （2）按照去括号和合并同类项的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25七年级上·云南昆明·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，试求，的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，代数式求值，添括号： （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （2），，据此代值计算即可． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式； （2）∵，， ∴， ． 迁移创新 16．（25-26七年级上·江西吉安·期末）已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求多项式； (2)的正确结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）直接代入计算即可． 【详解】（1）解：（1） ； （2）解： ． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置可得，进而可得，； （2）根据数轴可得，进而在数轴上表示出，再根据数轴比较大小，即可求解； （3）根据数轴可得，，，进而化简绝对值，再根据整式的加减化简，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可得 ∴ 如图 ∴ （3）解：∵，，， ∴ 18．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将所求代数式变形后整体代入已知条件计算； （2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值； （3）先计算并合并同类项，根据结果与取值无关，得到对应各次项的系数为，再整体代入计算所求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ； （3）解： ， ∵的结果与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 20．我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为 （a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”． （1）数对（1，），（1.5，3），（，﹣1）中，是“有趣数对”的是 　 　； （2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值； （3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mnm﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2的值． 【分析】（1）利用“有趣数对”的定义进行判断即可； （2）利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论； （3）先将代数式化简，再利用“有趣数对”的定义得出m，n的关系式，最后利用整体代入的方法化简运算即可． 【详解】解：（1）∵1，2×1， ∴12， ∴数对（1，）是“有趣数对”； ∵1.5﹣3＝﹣1.5，2×1.5×3＝9， ∴1.5﹣3≠2×1.5×3， ∴数对（1.5，3）不是“有趣数对”； ∵（﹣1），2（﹣1）＝1， ∴（﹣1）≠2×（）×1， ∴数对（，﹣1）不是“有趣数对”． 综上，是“有趣数对”的是（1，）， 故答案为：（1，）； （2）∵（k，﹣3）是“有趣数对”， ∴k﹣（﹣3）＝2×k×（﹣3）， ∴k+3＝﹣6k， ∴7k＝﹣3， ∴k； （3）8[3mnm﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2 ＝8（3mnm﹣2mn+2）﹣12m2+4n+12m2 ＝24mn﹣4m﹣16mn+16﹣12m2+4n+12m2 ＝8mn﹣4m+4n+16， ∵（m，n）是“有趣数对”， ∴m﹣n＝2mn． ∴原式＝8mn﹣4（m﹣n）+16 ＝8mn﹣4×2mn+16 ＝8mn﹣8mn+16 ＝16． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的加减与化简求值，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $