精品解析：甘肃武威市凉州区武威第二十七中学2026-2027学年上学期九年级数学 9月学情检测

2026年甘肃省武威第二十七中学九年级数学新人教版上册9月学情检测 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 4. 设是方程的两根，且，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（ ） A. a与b相等 B. a与b互为相反数 C. 是17的算术平方根 D. 是17的算术平方根 8. 如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 1.5或3 D. 3或4 9. 设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9 二、填空题 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 12. 已知，则的值为________． 13. 已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 15. 若一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三边的长度可以是______．（写出一个即可） 16. 已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 17. 新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 18. 如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 三、解答题 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 先化简，再求值：，其中a是一元二次方程的根． 21. 已知关于 x 的一元二次方程 的两根为，，若满足，且，求代数式的值． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 23. 如图，为直角三角形，，，．在矩形中，，，且点，，，在同一条直线上，点与点重合．将以的速度沿向右平移，当点与点重合时停止移动．设平移的时间为，与矩形重合的面积为． （1）的长为__________； （2）求当时，与的函数关系式； （3）当时，__________． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 25. 今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 26. 在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： （1）若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； （3）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省武威第二十七中学九年级数学新人教版上册9月学情检测 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 2. 已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合第三边需满足三角形三边关系，对根进行筛选后计算周长即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得，； 当第三边长为时，三边长为， 由，可知不符合构成三角形的三边关系， 不能构成三角形，即此种情况不存在； 当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系， 此时三角形周长为． 3. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 4. 设是方程的两根，且，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合的条件列方程求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 5. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 6. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 7. 若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（ ） A. a与b相等 B. a与b互为相反数 C. 是17的算术平方根 D. 是17的算术平方根 【答案】C 【解析】 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 8. 如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 1.5或3 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 9. 设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 10. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 二、填空题 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 12. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将看作整体，利用换元法结合平方差公式化简方程，根据平方的非负性舍去不符合条件的根即可得到结果． 【详解】解：设， ∵任何数的平方都是非负数， ∴， 将代入原方程得：， 根据平方差公式展开得：，整理得：， 解得或， ∵， ∴舍去，因此． 13. 已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， ． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系中两根之积的公式，直接代入已知根求解即可，即对于一元二次方程，两根满足． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为，一元二次方程中，可得，，已知一个根为， ∴， 解得， 所以方程的另一个根为． 15. 若一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三边的长度可以是______．（写出一个即可） 【答案】（填大于且小于的实数均正确） 【解析】 【分析】先解给定的一元二次方程得到三角形两边长，再利用三角形三边关系得到第三边的取值范围，写出范围内任意一个数即可． 【详解】解：整理原方程，得， 移项得， 提取公因式得， 解得：，， 即三角形的两边长为和， 设第三边长为， 由三角形三边关系可得，即，在此范围内任取一个数即可，例如． 16. 已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据韦达定理： ， ，用含的式子表示出一元二次方程两根之和、两根之积，再代入中，即可求出的值．注意：求出值后，需要代回到一元二次方程中检验是否大于，只有当时值才满足条件． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 17. 新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 【答案】12或20 【解析】 【分析】设每件童装降价元，分别表示出降价后每件的盈利和每天的总销售量，根据总盈利等于每件盈利乘以销售量列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元， ∵ 降价后每件盈利为元，每降价元多售出件， 因此降价元后每天多售出件，总销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得：， 解得，，两个解均符合实际意义， 因此每件童装应降价12元或20元． 18. 如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 三、解答题 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ，． 20. 先化简，再求值：，其中a是一元二次方程的根． 【答案】 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，解一元二次方程得出，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， 解方程可知， ∴原式． 21. 已知关于 x 的一元二次方程 的两根为，，若满足，且，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到，，则，，代入代数式即可求出答案． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程 的两根为，， ∴，， ∴，， ∴ 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：在方程中， ，，， ， ∵ 无论取何值，， ∴ ， ∴ 无论取何值，这个方程总有实数根； （2） 的周长为． 【解析】 【分析】（1）计算并配方方程的判别式，利用平方的非负性证明； （2）分为腰长、底边长两种情况求解方程的根，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时，是方程的一个根， 将代入方程得：   解得， 将代入原方程，得， 解得，， 三角形三边长为，，，满足三边关系， 周长为； ② 当为底边长时，，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 此时方程为， 解得， 三角形三边长为，，， ∵ ，不满足三边关系，舍去， 综上所述，的周长为． 23. 如图，为直角三角形，，，．在矩形中，，，且点，，，在同一条直线上，点与点重合．将以的速度沿向右平移，当点与点重合时停止移动．设平移的时间为，与矩形重合的面积为． （1）的长为__________； （2）求当时，与的函数关系式； （3）当时，__________． 【答案】（1） （2） （3）或7 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）根据题意得到重叠部分为梯形，利用平移性质和直角三角形的性质求得梯形的面积即可解答； （3）分为当时，当时，当时三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，点B在上运动时间为， ∵在矩形中，， ∴点A在直线上运动， ∴当时，如备用图（1），重叠部分为梯形， 由题意，， ， 根据平移性质得，则，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：当时，由得， 解得，（舍去）； 当时，重叠部分为，不符合题意； 当时，如图备用图（2），重叠部分为， 由题意，，，， ∴ ∴， ∴， 当时，由得，（舍去）， 综上，当时，或． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 【答案】（1）是“伴根方程” （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断； （2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解； ②首先由得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 25. 今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 【答案】（1） （2）m的值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款电视机每次降价的百分率是x，根据原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据商家所获的总利润为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该款电视机每次降价的百分率是x， 由题意得： 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款电视机每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：由题意得： 整理得： 解得：，. 尽可能让利于顾客， . 答：m的值为 26. 在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： （1）若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； （3）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】（1） （2）① ，；② （3） 【解析】 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； 【小问3详解】 解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $