精品解析：甘肃玉门市第三中学2026-2027学年九年级上学期阶段性学业质量监测数学试卷

2026－2027学年度第一学期 九年级数学阶段性学业质量监测试卷 注意事项： 1．本试卷共27题，满分120分，考试用时120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题纸的相应位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题，答在试卷和草稿纸上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程3-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，-4，-2 B. 3，2，-4 C. 3，-2，-4 D. 2，-2，0 2. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直平分 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等，四个角相等 3. 已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 6. 顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 7. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. 438（1+x）2=389 B. 389（1+x）2=438 C. 389（1+2x）=438 D. 438（1+2x）=389 8. 已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ). A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 135° 10. 如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是方程的一个根，则的值为__________． 12. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为_____________． 13. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__． 14. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 15. 等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 16. 在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为﹡，根据这个规则，求方程﹡的解为________． 17. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为，则菱形的面积为__________ cm2． 18. 正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______． 三、解答题（共9小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）求方程与所有实数根之和． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 21. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积. 22. 如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长． 23. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 24. 某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨0.1元，月销售量就减少1kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？ 25. 如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，垂足为O，连接DE、DF. (1)判断四边形AEDF的形状，并证明. (2)直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？ 26. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求的值； （2）若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值． 27. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点在轴上，点在轴上，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． （1）分别求出，两点的坐标； （2）当点移动了秒时，求出点的坐标； （3）在移动过程中，当三角形的面积是时，求满足条件的点的坐标及相应的点移动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期 九年级数学阶段性学业质量监测试卷 注意事项： 1．本试卷共27题，满分120分，考试用时120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题纸的相应位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题，答在试卷和草稿纸上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程3-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，-4，-2 B. 3，2，-4 C. 3，-2，-4 D. 2，-2，0 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程的基本形式：a+bx+c=0（a、b、c为常数，且a0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 【详解】方程整理得：3x2+2x-4=0， ∴二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为-4， 故选B． 2. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直平分 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等，四个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质． 【详解】解：A、不正确，菱形的对角线不相等； B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直； C、正确，三者均具有此性质； D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等； 故选C． 3. 已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：由勾股定理得，斜边=， 所以，斜边上中线长=， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 解得：且， 故选：B 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况，本题特别注意二次项系数不能为0． 5. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 6. 顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】连接矩形对角线，利用三角形中位线定理与矩形对角线相等的性质判定所得四边形形状． 【详解】解：设矩形的边的中点分别为， 连接， ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∵ 是的中位线， ∴ ，， 同理，，，，， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴ 平行四边形是菱形． 7. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. 438（1+x）2=389 B. 389（1+x）2=438 C. 389（1+2x）=438 D. 438（1+2x）=389 【答案】B 【解析】 【详解】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意得： 389（1+x）2=438． 故选B． 8. 已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合第三边需满足三角形三边关系，对根进行筛选后计算周长即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得，； 当第三边长为时，三边长为， 由，可知不符合构成三角形的三边关系， 不能构成三角形，即此种情况不存在； 当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系， 此时三角形周长为． 9. 如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ). A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 135° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°， ∵四边形AEFC是菱形， ∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型． 10. 如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵由已知和平移的性质，△ABC、△DCE都是等边三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD. ∴∠ACD=180°－∠ACB－∠DCE=60°. ∴△ACD是等边三角形. ∴AD=AC=BC.故①正确； 由①可得AD=BC， ∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴BD、AC互相平分，故②正确. 由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确. 综上可得①②③正确，共3个. 故选D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，进而可得，代入求解即可 【详解】是方程的一个根， 故答案为： 【点睛】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 12. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】矩形的一边长为xcm，则另一边长为， 因为矩形的面积为64cm2， 所以，． 故答案为：． 13. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__． 【答案】12 【解析】 【详解】x2−6x+5=0， x2−6x=−5， x2−6x+9=−5+9， (x−3)2=4， 所以a=3，b=4， ab=12， 故答案为12. 14. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积建立等式求解． 【详解】解：设方程的另一个根为，已知一个根， ， 整理得， 解得． 15. 等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】 10 【解析】 【分析】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出相应的边的值，再根据周长公式进行计算．通过求解一元二次方程得到根，结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定有效边长，进而计算周长． 【详解】解：解方程 ， 因式分解得 ， 所以 或 ， 等腰三角形的边长是方程的解，因此边长可能为 2 或 4， 若腰长为 2，底边为 4，则 ，不满足三角形两边之和大于第三边，故无效， 若腰长为 4，底边为 2，则 ，，满足三角形三边关系， 因此三角形边长为 4、4、2，周长为 ， 故答案为：10． 16. 在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为﹡，根据这个规则，求方程﹡的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】直接根据定义的这种运算的规则求解． 【详解】解：， ， 解方程， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了运算新定义问题，平方差公式、解一元二次方程，解题的关键是正确理解这种运算的规则． 17. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为，则菱形的面积为__________ cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出△ABD和△BCD都是等边三角形，然后求出另一条对角线的长度，从而根据菱形的面积计算法则得出答案． 【详解】解：∵AB=AD=BD=2cm， ∴△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴AC=2cm， ∴S=×2×2=2． 【点睛】本题主要考查的是菱形的面积计算法则，属于基础题型．根据题意求出菱形的对角线长度时解题的关键． 18. 正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，连接BP， 由正方形ABCD的性质可知点B和点D关于直线AC对称， ∴QB=QD， 则BP就是DQ+PQ的最小值， ∵正方形ABCD的边长是4，DP=1， ∴CP=3， ∴BP=， ∴DQ+PQ的最小值是5． 故答案为5． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握轴对称-最短路线问题、勾股定理及正方形的性质是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）求方程与所有实数根之和． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）由公式法解一元二次方程即可； （2）由直接开平方法解一元二次方程即可； （3）由提公因式因式分解法解一元二次方程即可； （4）由一元二次方程根与系数关系求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 则， ，； 【小问3详解】 解：， ， 则， 或， ，； 【小问4详解】 解：对于，，则方程的两个实数根满足； 对于，，则方程的两个实数根满足； 方程与所有实数根之和为． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形的对角线、相交于点， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的判定即可判定四边形是矩形． 【详解】略 21. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积. 【答案】周长20，面积24 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA=4，OB=3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积． 【详解】解：如图所示， 菱形ABCD中，AC=8，BD=6， ∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD ∴AB=， ∴此菱形的周长是：5×4=20， 面积是：×6×8=24 故菱形的周长是20，面积是24． 【点睛】本题考查了菱形的周长和性质得求法，属于简单题,熟悉菱形的性质和菱形求面积的特殊方法是解题关键． 22. 如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形而积的，求所截去小正方形的边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设所截去小正方形的边长为，根据题意得到四个小正方形的面积为原矩形面积的列方程解答即可． 【详解】解：设所截去小正方形的边长为，由题意得 （舍去）， 答：所截去小正方形的边长． 23. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 【答案】（1） （2），（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴　　＞0． 　　　　即　，解得，．　　　　　　　　　　 （2）若k是负整数，k只能为－1或－2．　　　　　　　　　　　　　 　　如果k＝－1，原方程为　． 　　解得，，．　　　　　　　　　　　　　 　　（如果k＝－2，原方程为 ，解得，，．） 24. 某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨0.1元，月销售量就减少1kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？ 【答案】80元 【解析】 【分析】先根据销售利润=每件利润×数量，再设出单价应定为x元，再根据这个等式列出方程，即可求出答案． 【详解】解：设销售单价定为x元，根据题意得： （x﹣40）[500﹣（x﹣50）÷0.1]=8000． 解得：x1=60，x2=80 当售价为60时，月成本[500﹣（60﹣50）÷0.1]×40=16000＞10000，所以舍去． 当售价为80时，月成本[500﹣（80﹣50）÷0.1]×40=8000＜10000． 答：销售单价定为80元 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于结合题意列一元二次方程. 25. 如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，垂足为O，连接DE、DF. (1)判断四边形AEDF的形状，并证明. (2)直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？ 【答案】(1)四边形AEDF是菱形，证明见解析；(2)△ABC中∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形. 【解析】 【分析】(1)由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF； (2)根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形. 【详解】解：(1)四边形AEDF是菱形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90° ∵在△AEO和△AFO中 ∵， ∴△AEO≌△AFO(ASA)， ∴EO＝FO， ∵EF垂直平分AD， ∴EF、AD相互平分， ∴四边形AEDF是平行四边形 又EF⊥AD， ∴平行四边形AEDF为菱形； (2)当△ABC中∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形； ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 【点睛】此题主要考查正方形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的性质及正方形的判定定理. 26. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求的值； （2）若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据一元二次方程有实数根求出的取值范围，再利用根与系数的关系写出两根之和两根之积；把展开变形，代入两根和与两根积，得到关于的方程，解方程后结合的范围取舍． （2）由菱形周长得到边长，利用菱形对角线互相垂直，根据勾股定理得到；结合完全平方公式变形，代入，，列方程求出，再根据取值范围以及线段长度大于0进行取舍． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， ， ， 由根与系数的关系得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 【小问2详解】 解：菱形周长为， 菱形边长， 菱形对角线互相垂直平分， ， ， 、是方程的两根 ，， ， ， ， ， ， ， ∴． 27. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点在轴上，点在轴上，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． （1）分别求出，两点的坐标； （2）当点移动了秒时，求出点的坐标； （3）在移动过程中，当三角形的面积是时，求满足条件的点的坐标及相应的点移动的时间． 【答案】（1）点，点；（2）点；（3）①P（0，5），移动时间为秒；②P（，6），移动时间为秒；③P（4，1），移动时间为：秒；④P（，0），移动时间为：秒 【解析】 【分析】（1）根据点A，点C的位置即可解答； （2）根据点P的速度及移动时间即可解答； （3）对点P的位置分类讨论，根据三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：（1）点在轴上，点在轴上， ∴m＋2＝0，n－1＝0， ∴m＝－2，n＝1. ∴点，点 （2）由（1）可知：点，点 当点移动了秒时，移动的路程为：4×2＝8， ∴此时点P在CB上，且CP＝2， ∴点． （3）①如图1所示，当点P在OC上时， ∵△OBP的面积为10， ∴，即，解得OP＝5， ∴点P的坐标为（0，5），运动时间为：（秒） ②如图2所示，当点P在BC上时， ∵△OBP的面积为10， ∴，即，解得BP＝， ∴CP＝ ∴点P的坐标为（，6），运动时间为：（秒） ③如图3所示，当点P在AB上时， ∵△OBP的面积为10， ∴，即，解得BP＝5， ∴AP＝1 ∴点P的坐标为（4，1），运动时间为：（秒） ④如图4所示，当点P在OA上时， ∵△OBP的面积为10， ∴，即，解得OP＝， ∴点P的坐标为（，0），运动时间为：（秒） 综上所述：①P（0，5），移动时间为秒；②P（，6），移动时间为秒；③P（4，1），移动时间为：秒；④P（，0），移动时间为：秒． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标及动点运动问题，解题的关键是熟知平面直角坐标系中点的特点及动点的运动情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $