1.1探索勾股定理（分层作业，10大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 1.1 探索勾股定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用勾股定理解直角三角形 题型02 勾股定理的证明方法 B组 能力进阶 题型01 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型02 用勾股定理证明线段关系 题型03 以弦图为背景的计算题 题型04 用勾股定理构造图形解决问题 题型05 勾股定理与折叠问题 题型06 面积法验证勾股定理 题型07 勾股定理在实际生活中的应用 C组 思维拔高 题型 利用整体思想探究直角三角形问题 用勾股定理解直角三角形题型01 1．直角三角形的两条直角边长分别是3，4，则该直角三角形的斜边长是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是3，4， ∴该直角三角形的斜边长是： 故选：D． 2．已知，则的面积为（    ） A．6或 B．6或 C．12或 D．12或 【答案】A 【分析】分两种情况：当BC为直角边时，利用面积公式计算即可；当BC为斜边时，利用勾股定理求出该三角形的另一条直角边长，再利用面积公式计算求出答案． 【详解】解：当BC为直角边时，的面积为， 当BC为斜边时，该三角形的另一条直角边长为， 的面积为， 故选：A． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题中注意题中没有明确直角时，应分情况求解． 3．如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12， ∴斜边为=13， ∵三角形的面积=×5×12=×13h（h为斜边上的高）， ∴h=． 故答案为． 【点睛】考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 4．（25-26八年级·期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为__________． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理、数字类规律探索．根据勾股定理可以求得的值，即可发现数值的变化特点，从而可以求得的长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ……， 由此发现，， ∴． 故答案为：6 5．（24-25八年级上·河北/唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为_______． 【答案】2或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ， 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 勾股定理的证明方法题型02 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】本题考查数学思想，熟练掌握每种数学思想的适用场合是关键． 结合题干的描述，判断对应的数学思想即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想． 故选：C． 2．如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（    ）    A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理 【答案】D 【分析】如图，边长为的大正方形的面积等于个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积加上边长为的小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：边长为的大正方形的面积个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积， 即：， 整理得：， 即直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是利用面积法证明勾股定理． 3．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 4．（24-25八年级下·云南·期中）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 5．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 以直角三角形三边为边长的图形面积题型01 1．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 故选：C． 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（    ）    A．15 B．61 C．69 D．72 【答案】B 【分析】根据勾股定理可知：直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方．两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积． 【详解】解：如下图：    由勾股定理可知：， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ∵， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：B． 4．如图，以各边为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分）．已知，，则两个新月形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理可得，阴影部分面积等于两个小半圆的面积加上的面积，再减去大半圆的面积． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，圆的面积公式，解题的关键是看懂图中各部分图形间的面积关系． 5．如图，已知长方形纸板的边长，，在纸板内部画，并分别以三边为边长向外作正方形，当边、和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，设AC=b，BC=a，则AB=，证明△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，再利用长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和进而求得ab=12，即可求解． 【详解】解：延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P， 设AC=b，BC=a，则AB=， ∵四边形ABJK是正方形，四边形ACML是正方形，四边形BCHI是正方形， ∴AB=BJ，∠ABJ=90°， ∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC， ∴∠BAC=∠JBP， ∵∠ACB=∠BPJ=90°， ∴△ABC≌△BJK（AAS）， 同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN， ∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a， ∵DE=10，EF=11， ∴2b+a=10，2a+b=11， ∴a+b=7， ∴a2+b2=49-2ab， ∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和， ∴10×11=3ab+ab×4+a2+b2+()2， 整理得：5ab+2(a2+b2)=110， 把a2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110， ∴ab=12， ∴△ABC的面积为ab=6， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形和直角三角形． 用勾股定理证明线段关系题型02 1．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 2．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 4．如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，点D在AC上. （1）求证：△ABD≌△CBE； （2）若DB=1，求AD2+CD2的值． 【答案】 （1）证明：∵△ABC和△BDE是等腰直角三角形， ∴AB=BC,BD=BE , ∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, ∴∠ABD=∠CBE, 又∵AB=CB,BD=BE, ∴(SAS). （2）2 【分析】(1) 由△ABC和△BDE是等腰直角三角形，可得AB=BC,BD=BE ,由∠ABC=∠DBE=90°，易知∠ABD=∠CBE,由SAS可判断三角形全等； (2)由（1）中全等可得AD=CE,∠A=∠BCE,进而可得∠DCE=90°,根据勾股定理即可得到的值. 【详解】(1)略 (2)∵, ∴AD=CE,∠A=∠BCE, ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°, ∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°, ∵△BDE是等腰直角三角形，BD=1, ∴DE=, ∴===2. 【点睛】本题主要考查了三角形全等和勾股定理，根据全等得出边的等量关系然后进行等量代换是解题的关键. 5．我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”． （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”  是 命题．(填写“真命题、假命题”) （2）在RtΔABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC 是“奇异三角形”，则a：b：c＝ ． （3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE． ①求证：ΔACE是“奇异三角形”； ②当ΔACE是直角三角形时，且AC＝，求线段AB 的长． 【答案】（1）真；（2）； （3）①证明： ， 是“奇异三角形” ②或． 【分析】（1）等边三角形三边长相等，可判断符合“奇异三角形”定义； （2）先根据勾股定理，可得出a、b、c的关系，再根据“奇异三角形”可得出a、b、c的关系，化简可求得a：b：c的值； （3）①先在Rt△ABD和Rt△ACB中，利用勾股定理得出边的关系，再利用边长之间的转化，推导得出△ACE是“奇异三角形”； ②设BC=a，AD=b，根据“奇异三角形”ACE，可得出a、b之间的关系，在Rt△ACE中，利用勾股定理也可得a、b的关系式，从而求出a、b的值，进而得出AB的长． 【详解】（1）设等边三角形的边长为a 则两边平方和=，第三边平方的两倍为：2 ∵2 ∴结论为：真； （2）∵△ABC是直角三角形，∴ ∵△ABC是“奇异三角形”，∴ 化简得：， 解得b=，c= ∴a：b：c＝； （3） ①略． ②设， 由①得： 为直角三角形 或 当时 由上述得 当时 由上述得 或 【点睛】本题考查勾股定理和一种新的定义的理解，解题关键是结合勾股定理和“奇异三角形”的定义，得出边长之间的关系，推导来求解． 以弦图为背景的计算题题型03 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意，数形结合，根据勾股定理得到另一条直角边为，从而得到小正方形的边长，最后由正方形面积公式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12， 由勾股定理可知，另一条直角边为， 小正方形的边长为，则小正方形的面积是， 故选：C． 2．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（    ） A．13 B．19 C．25 D．169 【答案】C 【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：大正方形的面积是13， ， ， 直角三角形的面积是， 又直角三角形的面积是， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 3．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为_______________. 【答案】36 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可知小正方形的边长，根据正方形面积公式计算即可； （2）由题意可知,，由勾股定理得，求出，进而计算即可. 【详解】（1）解：由全等三角形的性质可知小正方形的边长， ∴， ∴图①中小正方形的面积为； （2）解：由题意可知,， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴这个风车的外围周长为． 5．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】(1)；； (2)；； (3)25 【分析】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 用勾股定理构造图形解决问题题型04 1．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　  　） A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm 【答案】D 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图： ， 在中， 根据勾股定理得： ， 所以它爬行的最短路程为． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键在于把圆柱侧面展开去构建直角三角形. 2．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长是___________．    【答案】 【分析】作AD⊥直线于D，作CE⊥直线于E，根据全等三角形的性质和勾股定理求出BC的长度，再根据勾股定理求解即可． 【详解】作AD⊥直线于D，作CE⊥直线于E ∵AD⊥直线于D ∴ 在△ABD和△BCE中 在中，根据勾股定理得 在中，根据勾股定理得 故答案为：．    【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键． 3．如图，在数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留画图痕迹）． 【答案】 所画图形如下所示，其中点A即为所求； ． 【分析】根据勾股定理，作出以3和2为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理． 4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求画图： （1）在图①中画一条线段MN，使点M、N在格点上，且MN=． （2）以格点为顶点，在图②中画一个边长为无理数，且各边都不相等的直角△ABC． 【答案】（1）如图（1）所示：MN=即为所求； （2）如图（2）所示：△ABC即为所求． 【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）直接利用网格结合勾股定理得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查勾股定理,作图-应用设计与作图，解题关键在于正确应用网格是解题关键． 5．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题． 【答案】平方里 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点，主要利用了勾股定理进行解答．过点作于，设里，则里，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得：， 在中，， （平方里）． 勾股定理与折叠问题题型05 1．如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是______． 【答案】 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向直角三角形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是______；现将向上翻折，如图②，已知，，，则的面积是______． 【答案】 10 【分析】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出，由等边三角形的面积公式得出，，，得出；设的面积为，图②中2个白色图形的面积分别为、，由，得出，得出，即可得出答案． 【详解】解：如图：过点E作 ， ， 、、是等边三角形， ∴ 则 ， 同理得，，， 即； 设的面积为，图②中2个白色图形的面积分别为、，如图②所示： ， ， ， ∵，，， ； 故答案为：；10． 3．（24-25八年级下·河北邢台·月考）在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论． 【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理； （2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证； 【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接． ①当点D在线段上运动，且时，求的长； ②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）验证：∵梯形的面积为，也可表示为， ∴， 整理得； （3）①；②的长为或6 【分析】本题考查勾股定理的证明，以及勾股定理的灵活运用，解答时涉及列代数式，等式变形，熟练运用数形结合思想，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）将正方形的面积表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即可用含a、b、c的代数式表示出大正方形的面积；根据同一个图形用不同方法表示出其面积，面积不变即可得到等式； （2）梯形的面积为，也可表示为，可得，再化简即可； （3）①在中，由勾股定理得．再由，可得．在中，由勾股定理得； ②分为当点D在线段上，且点恰好落在射线上，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上，这两种情况结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）图2中大正方形的面积为，也可用几个三角形和正方形的面积表示为, 故答案为：；； （2） 略 ②如图，当点D在线段上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴，． 设， ∴． 在中，， 即， ∴， 即的长为； 如图2，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴． 设， ∴． 在中，， 即， ∴，即的长为6． 综上，的长为或6 面积法验证勾股定理题型06 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）国际数学教育大会是国际数学联盟指导下的数学界最高级别会议之一，被誉为国际数学教育界的“奥林匹克”．2021年，国际数学教育大会第一次在中国上海召开，下图是大会会标，会标的设计蕴含了丰富的数学文化元素，它的基本思想来自河图．会标中，位于中心的弦图替代了河图中心的五个点，弦图是三国时期的数学家赵爽给出的一个绝妙证明，它解决的数学问题是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等 D．轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出． 【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：B． 2．勾股定理的证明方法有很多，如图，这个图案是3世纪我国三国的______在注解《周髀算经》时给出的．他根据此图指出：四个全等的直角三角形（阴影部分）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形． 【答案】赵爽 【分析】根据数学常识求解即可． 【详解】解：由数学常识可知，这个图案是3世纪我国三国的赵爽在注解《周髀算经》时给出的， 故答案为：赵爽． 【点睛】本题主要考查了赵爽弦图，熟知相关数学常识是解题的关键． 3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2) 证明：直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形的面积； （2）两种方法表示出的直角梯形的面积相等，列出等式，整理后证明出即可． 【详解】（1）用整体计算面积：直角梯形的面积， 用分割计算面积：三个直角三角形的面积， （2）略 4．下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明． 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． 求证：． 方法一 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 方法二 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 【答案】 证明：方法一：由图可得： ∴； 方法二：由图可得：， ∴． 【分析】利用面积法，根据大正方形面积等于4个直角三角形面积加上小正方形面积求解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查勾股定理的证明，利用数形结合，得出大正方形面积等于4个直角三角形面积加上小正方形面积是解题的关键． 5．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图，直角三角形中，，直角三角形与直角三角形全等，直角三角形与直角三角形全等，，正方形中，，小明发明了一种求正方形边长的方法：由题意可得，，因为，所以，解得. (1)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程； (2)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理. 【答案】(1) 因为，直角三角形与直角三角形全等，直角三角形与直角三角形全等，，正方形中，， 所以，， 因为， 所以， 解得． (2) 因为正方形的边长是相等的， 所以， 所以， 所以， 所以． 【分析】（1）利用三角形面积公式，结合面积不变性的原则，列式求解即可． （2）由前面两种方法求得的同一正方形的边长相等即可验证勾股定理． 【详解】（1）略． （2）略． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质，正方形的性质，三角形面积，完全平方公式，平方差公式，勾股定理的证明，熟练掌握正方形的性质，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 勾股定理在实际生活中的应用题型07 1．一个底面是长方形的小塑料盒，长为40cm，宽为30cm，在小塑料盒底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是(   ) A．30cm B．40cm C．50cm D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：这根木棒最长， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度为7米，滑雪台的长度为25米，则滑雪台水平距离长为多少米？ 【答案】24米 【分析】本题考查勾股定理，直接运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：． 答：滑雪台整体的水平距离为24米。 4．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问葭长几何. 注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题： （1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； （2）求芦苇的长度. 【答案】（1）5，1；（2）芦苇的长度为13尺. 【分析】（1）直接利用题意结合图形得出各线段长； （2）利用勾股定理得出AG的长进而得出答案． 【详解】(1)线段AF的长为5尺，线段EF的长为1尺； 故答案为5，1； (2)设芦苇的长度x尺， 则图中AG=x，GF=x−1，AF=5， 在Rt△AGF中,∠AFC=90∘， 由勾股定理得 AF+FG=AG. 所以 5+(x−1) =x， 解得 x=13， 答：芦苇的长度为13尺. 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于得出AG的长. 5．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】(1) 这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. 【详解】（1）略 （2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 利用整体思想探究直角三角形问题题型 1．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 2．的两条直角边为a，b，斜边为c，若，则的面积为__________． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，先由勾股定理得出，利用完全平方公式的变形得出，再根据的面积为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：直角三角形的两条直角边为和，斜边， ， ， ， 的面积为． 故答案为：． 3．在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 【答案】(1) 证明：∵正方形的边长为c， ∴正方形的面积等于， ∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， ∴正方形的面积为：， ∴； (2)52 【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明； （2）设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有，，利用整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， 根据题意得，，， 又∵ ∴， 故徽标的外围周长为：． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 探索勾股定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用勾股定理解直角三角形 题型02 勾股定理的证明方法 B组 能力进阶 题型01 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型02 用勾股定理证明线段关系 题型03 以弦图为背景的计算题 题型04 用勾股定理构造图形解决问题 题型05 勾股定理与折叠问题 题型06 面积法验证勾股定理 题型07 勾股定理在实际生活中的应用 C组 思维拔高 题型 利用整体思想探究直角三角形问题 用勾股定理解直角三角形题型01 1．直角三角形的两条直角边长分别是3，4，则该直角三角形的斜边长是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，则的面积为（    ） A．6或 B．6或 C．12或 D．12或 3．如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为______． 4．（25-26八年级·期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为__________． 5．（24-25八年级上·河北/唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为_______． 勾股定理的证明方法题型02 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 2．如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（    ）    A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理 3．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·云南·期中）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 5．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 以直角三角形三边为边长的图形面积题型01 1．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（    ）    A．15 B．61 C．69 D．72 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 4．如图，以各边为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分）．已知，，则两个新月形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知长方形纸板的边长，，在纸板内部画，并分别以三边为边长向外作正方形，当边、和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则的面积为（    ） A．6 B． C． D． 用勾股定理证明线段关系题型02 1．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 2．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 4．如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，点D在AC上. （1）求证：△ABD≌△CBE； （2）若DB=1，求AD2+CD2的值． 5．我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”． （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”  是 命题．(填写“真命题、假命题”) （2）在RtΔABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC 是“奇异三角形”，则a：b：c＝ ． （3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE． ①求证：ΔACE是“奇异三角形”； ②当ΔACE是直角三角形时，且AC＝，求线段AB 的长． 以弦图为背景的计算题题型03 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 2．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（    ） A．13 B．19 C．25 D．169 3．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为_______________. 4．[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 5．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 用勾股定理构造图形解决问题题型04 1．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　  　） A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm 2．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长是___________．    3．如图，在数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留画图痕迹）． 4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求画图： （1）在图①中画一条线段MN，使点M、N在格点上，且MN=． （2）以格点为顶点，在图②中画一个边长为无理数，且各边都不相等的直角△ABC． 5．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题． 勾股定理与折叠问题题型05 1．如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是______． 2．《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向直角三角形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是______；现将向上翻折，如图②，已知，，，则的面积是______． 3．（24-25八年级下·河北邢台·月考）在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论． 【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理； （2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证； 【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接． ①当点D在线段上运动，且时，求的长； ②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 面积法验证勾股定理题型06 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）国际数学教育大会是国际数学联盟指导下的数学界最高级别会议之一，被誉为国际数学教育界的“奥林匹克”．2021年，国际数学教育大会第一次在中国上海召开，下图是大会会标，会标的设计蕴含了丰富的数学文化元素，它的基本思想来自河图．会标中，位于中心的弦图替代了河图中心的五个点，弦图是三国时期的数学家赵爽给出的一个绝妙证明，它解决的数学问题是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等 D．轴对称图形 2．勾股定理的证明方法有很多，如图，这个图案是3世纪我国三国的______在注解《周髀算经》时给出的．他根据此图指出：四个全等的直角三角形（阴影部分）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形． 3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 4．下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明． 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． 求证：． 方法一 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 方法二 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 5．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图，直角三角形中，，直角三角形与直角三角形全等，直角三角形与直角三角形全等，，正方形中，，小明发明了一种求正方形边长的方法：由题意可得，，因为，所以，解得. (1)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程； (2)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理. 勾股定理在实际生活中的应用题型07 1．一个底面是长方形的小塑料盒，长为40cm，宽为30cm，在小塑料盒底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是(   ) A．30cm B．40cm C．50cm D． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度为7米，滑雪台的长度为25米，则滑雪台水平距离长为多少米？ 4．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问葭长几何. 注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题： （1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； （2）求芦苇的长度. 5．一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 利用整体思想探究直角三角形问题题型 1．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．的两条直角边为a，b，斜边为c，若，则的面积为__________． 3．在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $