2026-2027学年九年级数学第一次月考押题自测卷（上海专用）

**基本信息** 上海专用九年级数学月考押题卷，聚焦二次函数、相似三角形等核心知识，通过翻折抛物线（第3题）、榴莲销售利润（第19题）等情境，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|二次函数图像、相似三角形|第2题结合图像判断取值范围，考查几何直观| |填空题|11/44|黄金分割、函数顶点、动态规律|第16题按规律类推抛物线内正方形边长，体现空间观念| |解答题|7/82|函数应用、几何综合探究|第19题构建利润模型，第24题抛物线与几何综合，发展应用意识与推理能力|

2026-2027学年九年级数学第一次月考押题自测卷（上海专用) (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.已知x:y=5:3,则下列等式中，正确的是() x+y_8 x=5 x-y_1 A.5x=3y B.y5 C.y-x 2 D.x+y 4 2如图是二次函数'=-+2x+4 图象，使'≤成立的产的取值范围是《） 6 -2f0 1234 A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥3 D.x≤-1或x≥3 3.如图，将抛物线'=r-2x-3 C入 x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线 y=x+b (b为常数)与图形恰有三个公共点时，则b的值是() 试卷第1页（共3页） 3 B.1或4 3 A.-1或-3 C.1或3 D.3或4 4.如图，AD、BC相交于点O,点E、F分别在BC、AD上，且AB∥CD∥EF,如果 CE=6,E0=4,BE=9,那么下列结论中正确的是() B D EF2 A.CD3 R然号 e8号 CD3 D.AB2 5.已知抛物线y=m+x+c(4、b、c为常数，且a≠0)与x轴交于4(2,0)，B两点，且点8在直 线y=-x+2的下方，则下列说法正确的是() A.抛物线的顶点不可能在第四象限 B.抛物线的开口一定向上 C.抛物线与直线y=-x+2一定有两个交点 D.抛物线的对称轴可能在y轴右侧 6.如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=I0.正方形AEFG的顶点E在BA的延长线上，AE=AB, 点G在边AD上，O为正方形AEFG的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条 直线分别交EF、BC于点M、N,那么线段MN的长为() E 0° A B 试卷第2页（共3页） A.2i7 B.4v10 D.13 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共11题，每题4分，共44分） 7.如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段AD的黄金分 制点C>C0.已知C=5-厘米，那么4C=厘米 8,若y=m+2列+m是关于x的二次函数，则m的值为 9.如图，，如果4F=4B=5CD=8,那么CE= D 10.已知少=-r6 是y关于x的二次函数，那么t的值是 11.对于一次函数'=+ 以及二次函数'=ar+c (其中4、6、C均为常数，且a>0),当 1≤x≤1+1时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 12.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP-BP=2,则AB=一 13.在平面直角坐标系x0y中，点p是抛物线y=-3x+1的顶点，点0是抛物线y=心-2ax的顶点， 1 如果∠PO0=90°，那么点9的坐标是 14.在△ABC中，点D和E分别在直线AB和AC上，且ED∥BC,如果AD:DB=5:2,AC=21,那么 AE的长等于— 试卷第3页（共3页） =-2x2+8x-6 6与￥轴交于点4、A,把抛物线在辅及其上方的部分记作G,将9向 C 15.如图，抛物线 右平移得C,G与x轴交于点B,D,若直线 =x+m与S,G共有3个不同的交点，诗你探究： B D (1)C2对应的函数表达式为 (2)m的取值范围是 16、如图，在抛物线= 的内部依次画正方形，使对角线在》轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规 律类推，第2024个正方形的边长是 B B2 42 17.对于三个数a、b、c,用mina,b,c表示这三个数中最小的数，例如min{-l,2,3}=-l, min{-1,2,a)= a,a≤-l -1,a>-1,那么min{x+l,(c-,2-x的最大值为 三、解答题：（本大题共7题，共82分，18-21题每题11分，22-23每题12分，25题14分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤) 18,在直角坠标系中，设函数=+c-00,b是常数，a0). @已知图数州份两象经过点2)和2-)，求面数”的未达式。 试卷第4页（共3页） ②若函数”图象的顶点在函数片=2m 的图象上，求证： b=2a 19.某水果店销售榴莲，成本价为40元/千克，经市场调查，每周销售量y(千克)与销售单价x(元/千 克)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于成本价且不得高于成本价的2.5倍. y(千克) 150-- 100 30 80x(元/千克) (1)求出y与x之间的函数关系式： (②)设每周的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该水果店每周的利润最大？最大利润是多少元？ 20.已知：如图，在△ABC的斜边BC上任取一点D,过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E, 交AC于点F F E AE CF (I)求证：EBFA: (2)EF是否与BC平行？若能，此时BD与DC有什么关系？ 21.如图，抛物线)=r+br+c经过点 A(-2,0)B(4,0) A B (I)求抛物线的函数表达式： (2)当0≤x≤3时，y的最大值为一： (3)M为抛物线上一点，若 SAMAB =48 ,求此时点M的坐标. 22.活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质 试卷第5页（共3页） 的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： ()下表是两个函数的几组对应值： -2 0 2 3 4 出 -2 0 2 3 4 2 3 0 -1 0 m … P 上述表格中：m= (②)通过分析数据，发现可以用函数刻画”与，”与之间的关系。在同一平面直角坐标系0中，己 经画出片与X的函数图象，请画出”与”的函数图象： (3)通过观察图象可知，当1>片。 时，x的取值范围 23. 在平面直角坐标系0中，抛物线'=+a0经过P0和0，) 2(4) (1)求这条抛物线的表达式： 试卷第6页（共3页） (2)已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB⊥x轴的垂线，垂足为点B,在AB的左侧，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC, ①当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离： ②如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标， 24.如图，0是坐标原点，已知抛物线”=-r+c+C与”轴交于小B两点，与》轴交于C点，其中 A(3,0)C(0,3) y 备用图 (I)求bC的值： (2)点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD,与直线AC交于点E,若DE:BE=1:2,求点D的坐标： (3)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点 P(m,mm>）,若P又在原抛物线上，新抛物线与直 线x=1交于点N,连接FPPN,∠FPW=120°，求的值. 试卷第7页（共3页） 2026-2027学年九年级数学第一次月考押题自测卷（上海专用） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 2．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 3．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点，当直线与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行求解即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴翻折部分的解析式为：； 当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点， 把代入，得：； 当直线与只有一个交点时，满足题意， 令， 整理，得：， 则：， 解得：； 综上：或； 故选：B． 4．如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例与相似三角形的判定与性质逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴，故A不符合题意； ∵，而， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 5．已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 【答案】A 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴的位置，再判断各选项说法即可． 【详解】解：令直线中，得， 即直线与x轴交点为． 点是抛物线与x轴的交点， 点的纵坐标为，设， 点在直线下方， ，即． 抛物线与x轴交于，两点， 抛物线对称轴为直线. ， ，即对称轴在y轴左侧， 抛物线顶点的横坐标小于， 第四象限内点的横坐标大于， 抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确； 的正负不确定， 抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误； 联立抛物线与直线解析式，整理得， 其判别式， 当时，的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误； 抛物线对称轴在y轴左侧， 对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误． 6．如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（   ） A． B． C． D．13 【答案】B 【分析】连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于，由三角形中位线定理可求，，，，，，由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于， 四边形是矩形， ， 是中点， ，，， 四边形是正方形，， ， 同理可求，，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共11题，每题4分，共44分) 7．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 【答案】2 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算；若一个点是一条线段的黄金分割点，则较短边与较长边的比为，据此求解即可． 【详解】解：五角星是正五角星， 厘米， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得厘米． 故答案为：2． 8．若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 【答案】2 【分析】根据二次函数的一般式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，解答的关键是熟知二次函数的一般式． 9．如图，，如果，那么___________． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8 ． 10．已知是y关于x的二次函数，那么t的值是_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 11．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 12．已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割点的定义，设，表示出和，利用列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， 由于点是线段的黄金分割点，且，即， 则， ， 由，得 ， ， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，分别求出两个函数图像顶点坐标，根据勾股定理列方程求出a的值即可． 【详解】解：， ∴顶点P的坐标为； 又， ∴该抛物线顶点Q的坐标为， ∴；；， 又， ∴， ∴， 解得， 将代入得， 故答案为：． 14．在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【答案】15或35 【分析】本题考查平行线分线段成比例，分在边和上，以及在边和的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 15．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D，若直线与，共有3个不同的交点，请你探究： （1）对应的函数表达式为______________； （2）m的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题． （1）首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式， （2）分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图象即可得到答案． 【详解】解：（1）令，即， 解得或， ∴点， ∵， ∴向右平移2个长度单位得， ∴解析式为； 故答案为：； （2）设当与相切时， ∴，即， ∴ ∴， 解得， 当过点B时，即， 解得， ∴由图象可得，当时直线与、共有3个不同交点， 故答案为：． 16．如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 17．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 【答案】1 【分析】分别作出的图象，由图象知的最大值． 【详解】解：作出的图象， ， 如图，实线部分即的函数图象， ， 解得或 当时，， 所以的最大值为． 三、解答题:(本大题共7题，共82分，18-21题每题11分，22-23每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 【答案】(1) (2) ∵， ∴顶点， ∵图象的顶点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论． 【详解】（1）∵函数图象经过点和， ∴， 解得 ， ∴； （2）略 19．某水果店销售榴莲，成本价为40元/千克，经市场调查，每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于成本价且不得高于成本价的倍．      (1)求出与之间的函数关系式； (2)设每周的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该水果店每周的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．确定变量，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，将点代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将分别代入，得： ， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解： 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，为4800元． 答：当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 20．已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． (1)求证：； (2)是否与平行？若能，此时与有什么关系？ 【答案】(1) 证明：， ． ， ． ； (2)能平行， 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据问题选择合适的比例式． （1）由和分别写出对应的比例式，即可求解问题； （2）假设，则，再根据和求得比例式，三个比例式综合考虑即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：能平行． 若，则． ， ． ， ． ，即， 所以． 21．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 22．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察表格中数据特点即可； （2）描点连线即可； （3）当时，即在上方的图像所对应的的取值． 【详解】（1）解：观察表格中数据特点，关于对称的自变量所对应的的值相同， ∴与时，的值相同为3， 故； （2）解：略； （3）解：通过观察图象可知，当时，的取值范围． 23．在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①1；② 【分析】（1）、代入即可得抛物线的解析式为； （2）①过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，先求出直线为，设，则，，，将代入解得或（与重合，舍去），即可求出． 【详解】（1）解：、代入得：， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：①过作于，交轴于，如图：    当与重合时，，， 是等腰直角三角形， 和也是等腰直角三角形， ， ， 而抛物线的对称轴是轴， 到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，如图：    设直线解析式为，将、代入得： ，解得， 直线为， 设，则， ， 当，时，， 将代入得： ， 解得或（与重合，舍去）， ，，， 当，时，， ，由可知， 此时、、重合，舍去， ． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标． 24．如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中，． (1)求的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接，，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）理解题意，利用待定系数法，即可作答． （2）先得，，再证明，运用，得，设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出的解析式为，的解析式为，整理得点，因为点为抛物线上第一象限内一点，得，解得，；，即可作答． （3）先求出，再整理得平移后的抛物线的解析式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，，求解可得． 【详解】（1）解：依题意，分别把，代入， 得， 解得． （2）解：由（1）得， 则， 令，则， ∴，， 故，， 分别过点作，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得， ∴，； 此时的， 故，是符合题意的； 当时，则，，此时， 当时，则，，此时， 综上：或． （3）解：由（2）得，整理， ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接、，．如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 则，即， ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴，令， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴或， ∴（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $