上海市位育中学2026-2027学年九年级上学期10月月考数学模拟练习卷

**基本信息** 上海市位育中学九年级10月月考数学模拟卷，以相似三角形、二次函数为核心，通过真实情境（如测量细口瓶内径）和分层问题（基础计算到动点探究），培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题24分|比例性质、相似判定、二次函数性质|基础概念辨析，如放缩运动中内角不变| |填空题|12题48分|比例中项、黄金分割、图形变换|多解问题（如第12题15或35），考查分类思维| |解答题|7题78分|相似综合、二次函数应用、动点问题|23题动点相似与等腰三角形，25题平行四边形中相似证明，体现综合探究|

上海市位育中学2026-2027学年九年级上学期10月月考 数学模拟练习卷 本卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）已知，则的值是（　　） A． B． C．1 D． 2．（本题4分）对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 3．（本题4分）已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么______． 8．（本题4分）已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长是______． 9．（本题4分）已知两个矩形相似，其中一个矩形的相邻两边的长分别为3和2，另一个矩形的相邻两边的长分别为1.5和，则的值为_____． 10．（本题4分）已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是______． 11．（本题4分）已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为______． 12．（本题4分）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 13．（本题4分）将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 14．（本题4分）已知抛物线经过和两点，且，则m的取值范围是________． 15．（本题4分）如图，在中，，垂足为点D，如，那么的长是_______．    16．（本题4分）如图，在梯形中，，点分别在边上且，已知，，那么的长是________． 17．（本题4分）如图，在中，于点，点在上，连接．若,，，则的长为_______________． 18．（本题4分）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，点，，分别为，上一个动点，连接，，，，，若四边形为筝形，则的长为____________． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 20．（本题10分）如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴一个交点坐标为． (1)该函数图像与x轴的另一个交点坐标为______； (2)求这个二次函数的表达式； (3)当时，y的取值范围为______． 21．（本题10分）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求线段的长． (2)若的面积为36，求平行四边形的面积． 22．（本题10分）如图，在中，，点E是上一点，连接，将绕点D顺时针旋转得到，点B的对应点为点A，点E的对应点为点C，且，求的度数． 23．（本题12分）如图，在直角三角形中，直角边，．设，Q分别为、上的动点，在点自点沿方向向作匀速移动的同时，点自点沿方向向点作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当点到达点时，点就停止移动．设移动的时间秒．    (1)AB=___________cm，BP=___________cm（BP用含t的代数式表示）． (2)当为何值时，与相似？并说明理由． (3)当为何值时，是等腰三角形？并说明理由． 24．（本题12分）如图1，抛物线经过点和点，与轴交于点，是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当点的坐标为时，求的面积． (3)如图2，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标． 25．（本题14分）如图，在平行四边形中，，E是上一点，，连接交于点O． (1)求证：． (2)过点C作的平行线分别交射线和射线于点G、H，若，， ①求证：； ②求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 上海市位育中学2026-2027学年九年级上学期10月月考 数学模拟练习卷 参考答案 1．D 【分析】令＝k，得到：a＝2k、b＝3k、c＝4k，然后代入代数式即可求解． 【详解】令＝k，则a＝2k、b＝3k、c＝4k， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是用一个字母表示出a、b、c，然后求值． 2．A 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 3．D 【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到，由此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图像有最低点， 函数图象开口向上， 则， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键． 4．B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 根据，结合，证明，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选B． 5．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键．根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由题意得， A、若添加，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； B、若添加，则，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； C、若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； D、若添加，不能判定与相似，符合题意 故选：D． 6．C 【分析】先求出的总面积，再利用三角形重心的性质求出和 的值，最后与已知面积进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵、、的面积分别为、、， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴． 7． 【分析】本题主要考查了比例线段，掌握线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．根据比例中项的定义，若线段b是线段a、c的比例中项，即．即可求解 【详解】解∶若线段b是线段a、c的比例中项， 即， ． 解得． 故答案为∶． 8．/ 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的定义可得，由此可解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，，， ， ，即， ， 解得， ，不合题意， 故答案为：． 9．1或2.25 【分析】利用相似多边形的性质直接求解即可. 【详解】解：①当边长分别是3，1.5的边是对应边时， 两矩形相似， ，解得； ②当边长分别是，的边是对应边时， 两矩形相似， ，解得． 综上所述，的值为1或2.25． 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是分类讨论思想. 10．12 【分析】先计算出的周长，进而得出相似比为，进而得出答案． 【详解】解：∵的三边长分别为2、3、4， ∴的周长为：9 ∵与相似，且周长为54， ∴与的周长比为， ∴与的相似比为， 设的最短边的长是x ，则： ， 解得∶． 故答案为∶12． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，且面积比为， ∴相似比为， 则对应高的比等于相似比，即， 故答案为：． 12．15或35 【分析】本题考查平行线分线段成比例，分在边和上，以及在边和的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 13． 【分析】本题考查了把化成顶点式，二次函数图象的平移，先把抛物线化为，再结合“上加下减，左加右减”进行作答． 【详解】解：依题意，把为， ∵向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过求抛物线的对称轴和开口方向，结合开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的二次项系数为正， 故开口向上，对称轴直线为，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线经过和两点，且， ∴， ∴， ∴或， 解得 或 ． 故答案为：或． 15． 【分析】先证明得到，再根据相似图形的性质求出，，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．6 【分析】由题中，，得到，从而利用平行线分线段成比例定理得到，连接，如图所示，由相似三角形的判定得到、，利用相似比即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在梯形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似比求线段长，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键． 17．2.7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键 求出，，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2.7． 18．9或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，掌握以上知识是关键，根据筝形的定义，分类讨论，结合矩形，勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形为筝形， ∴①当时，，则， 设，则， ∴，即， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴此时，符合题意， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴； ②当时，，如图所示， ∴， 设，则， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴； 综上所述，四边形为筝形，的长为或， 故答案为：或 ． 19．(1) (2)80 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握比例的性质，是解题的关键． （1）设，得，代入，求出结果即可； （2）设，得，根据，得出，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴； （2）解：设， ∴． 又∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 20．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，是解题的关键． （1）根据二次函数图象对称轴为直线，与x轴一个交点坐标为， 可得与x轴的另一个交点坐标为； （2）根据顶点坐标，设二次函数关系式为，将点代入解析式，待定系数法求得a值即可； （3）根据抛物线的对称轴，开口方向确定最小值，再根据离对称轴越远，函数值越大，确定最大值，进而即可得y的取值范围． 【详解】（1）∵二次函数图象顶点坐标为，与x轴一个交点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴与x轴的另一个交点坐标为； 故答案为：； （2）∵二次函数图象顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴， 即； （3）∵二次函数图象顶点坐标为， ， ∴二次函数图象开口向上， ∴二次函数在顶点处取得最小值， ∵，对称轴为直线， ∴， ∴当时，y值最大，为， ∴y的取值范围为，． 故答案为：． 21．(1)4 (2)16 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）由（1）中，根据相似三角形的性质求出的面积，然后证明，根据相似三角形的性质求出的面积，最后根据求解即可． 【详解】（1）解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴，即， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 22． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，等腰直角三角形两个锐角都为45度． 根据旋转的性质得出，再根据，，得出，最后根据即可解答． 【详解】证明：∵是由绕点D顺时针旋转得到的，点B的对应点为点A，， ∴，． ∵，， ∴， ∴． 23．(1)5， (2)当或秒时，与相似． (3)当或或时，是等腰三角形． 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质． （1）利用勾股定理求出，根据速度乘以时间得到，利用即可求出； （2）分与两种情况进行讨论，分别根据相似三角形对应比成比例列出方程求解即可． （3）根据是等腰三角形，分三种情况：，分别利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求出t的值； 【详解】（1）∵直角边，， ∴由勾股定理可得，（）， （）， 故答案为：5，； （2）能． 理由：当时， ，即，解得：秒； 当时，，即，解得：秒， ∴当或秒时，与相似． （3）由题意知，，，， 当时，，解得； 当时，如图，作于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即, 解得； 当时，作于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即，解得 ∴当或或时，是等腰三角形． 24．(1)； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，得到的长，再利用三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况：①点为直角顶点，②点为直角顶点，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设交轴于点，如图： 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是以为直角边的直角三角形， ∴分两种情况：①点为直角顶点，②点为直角顶点， ①过点作交抛物线于点，交轴于点，连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ∴， ②过点作交抛物线于点，连接，如图： ∵，， ∴， 设直线的解析式为：， 把点代入得：， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ∴， 综上，点的坐标为或． 25．(1) 证明：在平行四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． (2)①证明：∵， ∴， ∵． ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②10 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等知识点，解题的关键是证明三角形相似． （1）根据和得出，结合，即可证明． （2）①根据．得出，，根据，得出，即，根据，证明，得出，即可得． ②作，根据，得出，证明平分，根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，设，则，则在中，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则在中，由得：， 解得：，（舍去）， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $