第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：二次函数+随机事件的概率全部内容）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数+随机事件的概率全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．掷一枚硬币，正面朝上 B．打开电视，正在播放新闻 C．三角形内角和为 D．掷一枚骰子，点数为6 【答案】C 【详解】解：A． 掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，结果不确定，属于随机事件，故此选项不符合题意． B． 打开电视，播放内容不确定，可能是新闻也可能是其他节目，属于随机事件，故此选项不符合题意． C． 根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为，必定发生，属于必然事件，故此选项符合题意． D． 掷一枚骰子，点数可能为1到6中的任意一个，点数为6是随机事件，故此选项不符合题意． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）下列函数不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，且必须是整式函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可； 【详解】二次函数必须是整式函数，且最高次项为2次， 选项：，含有根号，不是整式函数，故不是二次函数； 选项：，可化为，是二次函数； 选项：，展开为，是二次函数； 选项：，展开为，是二次函数； 不是二次函数的是． 故选． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 4．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 5．（26-27八年级上·四川达州·阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 560 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可． 【详解】解：估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是． 6．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在点与点之间（不包括这两点），对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线上，则．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②；由抛物线对称轴可得，再根据时及可判断③；将其中一个点转化为关于对称轴的对称点，然后再由抛物线在对称轴一次的x，y的关系，可判断④． 【详解】解：①由开口可知：， 对称轴， ， 由抛物线与y轴的交点可知：， ，故①正确； ②抛物线与x轴交于点， 对称轴为， 抛物线与x轴的另外一个交点为， 时，， ，故②正确； ③， ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ④由于， 且关于直线的对称点的坐标为， ，对称轴为，且， ，故④正确； 综上，①②③④四个都正确． 故选：D． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据频率折线图，大量重复试验后，指针落在红色区域的频率稳定在附近，因此指针落在红色区域的概率约为； A：转盘分为3个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； B：转盘分为4个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； C：转盘分为5个相等扇形，1份红色，概率为，符合； D：转盘分为6个相等扇形，1份红色，概率为，不符合． 9．（25-26九年级上·上海虹口·期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【答案】B 【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 10．（2026·安徽合肥·一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，先根据一次函数、反比例函数的图象得到的符号，进而由判断出抛物线与轴的交点位置、对称轴位置，又结合可知抛物线开口向上，据此即可求解，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数的图象可得，， 由一次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上可得，， ∵， ∴二次函数与轴的交点在轴的正半轴上， ∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的对称轴位于轴的左侧， 又∵， ∴抛物线开口向上， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 12．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中个红球，个蓝球，从中任意摸一个，摸到___________球的可能性大． 【答案】蓝 【分析】当所有球除颜色外其余均相同时，摸到某种球的可能性大小由该种球的数量决定，数量越多，摸到的可能性越大，只需比较两种颜色球的数量即可判断结果． 【详解】解：由题意可得，袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中红球个，蓝球个， 比较两种球的数量得， 蓝球的数量多于红球的数量， 因此摸到蓝球的可能性大． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上坐标点的特征，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 根据题干条件可以得到关于两点横坐标的关系式，进行求解即可． 【详解】解：点,都在二次函数上， ， 即 解得 故答案为： ． 14．（2026·四川攀枝花·模拟预测）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 【答案】 【分析】分析电路通路条件：因为电路是A、B并联部分与C、D并联部分串联，所以当A、B中至少闭合1个，且C、D中至少闭合1个时，灯泡发光，据此统计符合条件的情况数．用古典概型概率公式，将符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率． 【详解】解：任意闭合4个开关中的2个，所有等可能的闭合情况为：、、、、、，共种． 由电路图可知，左侧A、B为并联，右侧C、D为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、一个开关在右侧闭合，才能形成通路． 满足条件的情况为：、、、，共种． 所以灯泡发光的概率为． 15．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图①是一块边长为的正方形地砖，其中间有一个不规则图案，随机向正方形区域扔石子，石子落在不规则图案内的频率如图②所示，则不规则图案的面积大约为________． 【答案】640 【分析】根据“不规则图案的面积正方形的面积小石子落在不规则图案的概率”，即可得出结果． 【详解】解：设正方形的面积为，不规则图形面积为， 观察图②可知，石子落在不规则图案内的频率稳定在， 又, ． 16．（26-27九年级上·天津南开·阶段练习）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 【答案】 9 【分析】（1）根据题目数量关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）若，则， 解得：，， ∵， 所以， 即当的长为9米时，花圃的面积为162平方米． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·全国·单元测试）利用配方法求出下列抛物线的顶点坐标和对称轴． (1)． (2) (3) 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】利用配方法把对应的抛物线解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解： ， ∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解： ， ∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，正确利用配方法求解是解题的关键． 18．（25-26九年级上·北京昌平·期中）二次函数的部分图像如图所示，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】根据函数图象知，该函数经过点（-3，0），（0，3）且对称轴为x=-1，所以利用待定系数法可求得该二次函数的解析式． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，过点（﹣3，0），（0，3）， ∴设抛物线表达式为：，将（-3，0），（0，3）代入， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握二次函数顶点式，是解题的关键． 19．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾； (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； (3)掷一次骰子，向上一面的点数是； (4)过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； (5)太阳从西边落下． 【答案】(1)必然事件 (2)随机事件 (3)随机事件 (4)不可能事件 (5)必然事件 【详解】（1）解：“在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾”是必然事件； （2）解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件； （3）解：“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件； （4）解：∵在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴“过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行”是不可能事件； （5）解：“太阳从西边落下”是必然事件． 20．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数的解析式是． (1)对称轴是直线________，与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标是________； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线： … … … … (3)结合图象回答：当时，函数值的取值范围是________． 【答案】(1)对称轴：， (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线，可以求得抛物线的对称轴，与轴和轴的交点坐标； （2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可； （3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案． 【详解】（1）（1）∵， ∴对称轴是直线：， 当时，， ， ∴， ∴与轴的交点坐标是， 当时，， ∴与轴的交点坐标是 （2）（2）列表： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 -4 -3 0 … 图象如图所示： （3）（3）当时，， ∴当时，． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴、轴的交点、求对称轴，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案． 21．（26-27九年级上·陕西西安·阶段练习）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选到同一地点的结果有4种， 甲、乙两名同学选到同一地点的概率为． 22．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图是一个东西走向、轮廓可看成抛物线的山坡，以水平地面为x轴，西侧的坡底O为原点建立平面直角坐标系，一个单位长度代表长，山坡外轮廓（曲线）所在抛物线的解析式为，无人机从坡底O的西侧点B处起飞，降落到点C，飞行轨迹所在抛物线的解析式为，已知无人机在与点O水平距离处，达到最大高度． (1)_______，_______； (2)求无人机起飞点B与坡底O的水平距离； (3)由于山坡上有障碍物，当无人机与山坡的竖直距离始终大于9米时，才能保证飞行安全．请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)解：安全，理由如下： 抛物线与抛物线的距离为， 令，则其对称轴为， 当时，， ， 无人机与山坡的竖直距离始终大于9米， 无人机此次飞行安全． 【分析】（1）根据抛物线顶点式中代表顶点坐标，结合题目给出的最大高度位置读出即可； （2）把代入无人机飞行轨迹抛物线，解一元二次方程得到与x轴两个交点，取x小于0的点即为起飞点B，计算该点到原点O的水平距离即可； （3）用无人机抛物线函数减去山坡抛物线函数，得到竖直距离的二次函数，分析这个开口向上的二次函数的最小值，判断最小值是否大于9，以此判断飞行是否安全． 【详解】（1）解：无人机在与点O水平距离处，达到最大高度， ，； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令得， 化简得， 两边同时开平方得， 解得或， ， 无人机起飞点B与坡底O的水平距离为； （3）略 23．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】(1)500， (2)40； (3)解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理． 【分析】（1）利用“总数量部分数量对应百分比”，即可解答；利用“圆心角的度数”，即可得出答案； （2）根据题意先求出“B”等级的人数，据此即可补全条形统计图；进一步得出“B”等级所占百分比，即可得出m的值； （3）根据题意画出树状图，得出所有可能出现的结果，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为． （2）解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：，   ∴； 图略． （3）略 24．（2025·安徽·三模）[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）2 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点坐标公式列方程求解即可； （2）先求出，得到，求出点，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线图的顶点坐标为， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，则 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， 对于，当时，， 解得，或， ∴, ∴ ∴， ∴ （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得，， ∴ 设M点坐标为，则， ∵， ∴当时，的最大值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数+随机事件的概率全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．掷一枚硬币，正面朝上 B．打开电视，正在播放新闻 C．三角形内角和为 D．掷一枚骰子，点数为6 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）下列函数不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·四川达州·阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 560 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在点与点之间（不包括这两点），对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线上，则．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·上海虹口·期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 10．（2026·安徽合肥·一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 12．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中个红球，个蓝球，从中任意摸一个，摸到___________球的可能性大． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为________． 14．（2026·四川攀枝花·模拟预测）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 15．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图①是一块边长为的正方形地砖，其中间有一个不规则图案，随机向正方形区域扔石子，石子落在不规则图案内的频率如图②所示，则不规则图案的面积大约为________． 16．（26-27九年级上·天津南开·阶段练习）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·全国·单元测试）利用配方法求出下列抛物线的顶点坐标和对称轴． (1)． (2) (3) 18．（25-26九年级上·北京昌平·期中）二次函数的部分图像如图所示，求这个二次函数的表达式． 19．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾； (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； (3)掷一次骰子，向上一面的点数是； (4)过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； (5)太阳从西边落下． 20．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数的解析式是． (1)对称轴是直线________，与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标是________； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线： … … … … (3)结合图象回答：当时，函数值的取值范围是________． 21．（26-27九年级上·陕西西安·阶段练习）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 22．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图是一个东西走向、轮廓可看成抛物线的山坡，以水平地面为x轴，西侧的坡底O为原点建立平面直角坐标系，一个单位长度代表长，山坡外轮廓（曲线）所在抛物线的解析式为，无人机从坡底O的西侧点B处起飞，降落到点C，飞行轨迹所在抛物线的解析式为，已知无人机在与点O水平距离处，达到最大高度． (1)_______，_______； (2)求无人机起飞点B与坡底O的水平距离； (3)由于山坡上有障碍物，当无人机与山坡的竖直距离始终大于9米时，才能保证飞行安全．请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 23．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 24．（2025·安徽·三模）[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $