精品解析：浙江衢州市实验学校2026-2027学年上学期九年级9月数学综合测试卷（一）

衢州市实验学校2026学年上学期九年级数学综合测试卷（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ） A. y=1+x2 B. y=（2x+1）2 C. y=（x﹣1）2 D. y=2x2 4. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 5. 如图，在中，对角线，交于点，，的周长为，则对角线，的和是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 四边形内角和等于 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 平行四边形对角线互相平分 D. 四个角相等的四边形是菱形 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在四边形中，对角线，E，F分别是对边，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当___________时，二次函数有最小值． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 13. 如图，在中，，，的平分线交于点E，则____． 14. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 15. 如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 16. 我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为______． 三、解答题（共8小题，共72分，8+8+8+8+8+10+10+12） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 如图，C是线段的中点，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 20. 已知抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上，并且经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）在网格中，画出大致的函数图象，并写出时，自变量x的取值范围． 21. 如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． （1）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 23. 爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 （1）①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； （2）通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 24. 已知抛物线． （1）若，，求抛物线的顶点坐标． （2）若，当时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点，求c的取值范围． （3）若抛物线上存在一点，在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衢州市实验学校2026学年上学期九年级数学综合测试卷（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴解析式变为； ∵再向上平移1个单位， ∴解析式变为 故选：B． 3. 与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ） A. y=1+x2 B. y=（2x+1）2 C. y=（x﹣1）2 D. y=2x2 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同． 【详解】y=2（x﹣1）2+3中，a=2． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单． 4. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向上，A错误，不符合题意； 对称轴为 ，B错误，不符合题意； 顶点坐标为 ， C错误，不符合题意； ∵ ，开口向上， ∴ 当 时，随的增大而减小， ∴ D正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，在中，对角线，交于点，，的周长为，则对角线，的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对边相等得出的长，根据对角线互相平分得出等于对角线和的一半，结合三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵在中， ∴，， ∵的周长为， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 四边形内角和等于 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 平行四边形对角线互相平分 D. 四个角相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定和性质及命题的判断即可得出结果． 【详解】解：选项A、B、C中的命题均符合四边形相关性质与判定，是真命题，不符合题意， 选项D， ∵四边形内角和为，四个角相等， ∴每个角的度数为， ∴该四边形是矩形，不一定是菱形，是假命题，符合题意． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求抛物线的对称轴与开口方向，利用对称性将点转化到对称轴同侧，结合增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 点关于直线的对称点为 ∵当时，随的增大而减小，且， ∴． 8. 在四边形中，对角线，E，F分别是对边，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，，，证明，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， ∵E，H分别是和的中点， ∴，， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴． 9. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当___________时，二次函数有最小值． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质即可解答． 【详解】解：二次函数的图象开口线上，顶点坐标为， ∴当时，二次函数有最小值． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在中，，，的平分线交于点E，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等结合角平分线定义即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ． 14. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据、两点坐标求出菱形边长，利用勾股定理在中求出长从而确定点坐标，最后根据菱形对边平行且相等的性质求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点在轴上，且由图可知在轴正半轴， 在中，，  ∴， ∴， ∵，在轴上，轴， ∴点的纵坐标与点相同，为，  ∵在的左侧，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 15. 如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【解析】 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 16. 我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，设，则（，）根据最小的“方减数”可得，代入，即可求解；根据除以余数为，且（为整数），得出为整数，是完全平方数，在，，逐个检验计算，即可求解． 【详解】设，则（，） 由题意得：， ∵，“方减数”最小， ∴， 则，， ∴， 则当时，最小，为， 故答案为：； 设，则（，） ∴ ∵除以余数为， ∴能被整除 ∴为整数， 又（为整数） ∴是完全平方数， ∵， ∴最小为，最大为 即 设，为正整数， 则 当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则,则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则，则是完全平方数， 经检验，当时，，，， ∴， ∴ 故答案为：，． 三、解答题（共8小题，共72分，8+8+8+8+8+10+10+12） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：解 移项得 解得 解 两边同时除以2得 移项得 解得 根据“同大取大”，取两个解集的公共部分得 因此原不等式组的解集为． 19. 如图，C是线段的中点，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2）8 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 20. 已知抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上，并且经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）在网格中，画出大致的函数图象，并写出时，自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）如图即为所求， ， 【解析】 【分析】（1）先求出顶点坐标，再设其顶点式，再将代入求解可得； （2）利用五点画出函数图象即可，然后根据函数图象即可得出时自变量x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上， ∴抛物线顶点纵坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得． 解得， ∴抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线与y轴的交点为，其关于对称轴的对称点为， 令，则，解得或3， ∴抛物线与x轴的交点为， 图略， 由函数图象知，当时，自变量x的取值范围是． 21. 如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． （1）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】（1）每件商品售价为34元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1960元． （2）每件商品的售价定为32元时，每个月的利润恰好是1920元． 【解析】 【分析】（1）设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元，利用每月的利润单件的利润销售件数，列关于的二次函数，运用配方公式化简最值函数形式即可求出最大利润以及每件的售价． （2）根据第一问所求的利润代数式，将第二问的利润代入，利用因式分解解一元二次方程，再结合未知数取值范围，确定最终的商品的售价． 【小问1详解】 解：设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元， ， ， ， 每件售价不能高于35元， ， ， ， ， 时，最大利润为1960元， 售价为元时，最大利润为1960元． 【小问2详解】 解：利润是1920，由（1）可知，， ， ， ， ， ，， 由（1）可知，， （舍去）， ， 售价为元时，每个月的利润是1920元． 23. 爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 （1）①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； （2）通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 【答案】（1）①如图所示： ②； （2） 这次发球能过网，不会出界，理由如下： 小宛这次发球是站在点， 发球点到球网水平距离为， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 这次发球能过网，不会出界． 【解析】 【分析】（1）①根据图中描的点进行连线即可作出图象；②根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可得到答案； （2）将代入抛物线解析式，求得值与比较，令解出与比较，然后可得到答案； 【小问1详解】 ①略 ②根据题意，设与的函数关系式为， 将代入，得， 解得，即， 将下表中数据： 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式为； 【小问2详解】 略． 24. 已知抛物线． （1）若，，求抛物线的顶点坐标． （2）若，当时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点，求c的取值范围． （3）若抛物线上存在一点，在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2）的取值范围是或 （3）证明：∵点在抛物线上， ∴，即 对于一元二次方程，其判别式 将代入得： ∵点在轴上方， ∴ 又∵， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个交点． 【解析】 【分析】（1）把，代入，再配方成顶点式求解即可； （2）先确定抛物线的开口方向与对称轴，分顶点在x轴上和内仅有一个交点两种情况讨论，结合端点处的函数值求解，再分别验证和即可； （3）将点P的坐标代入抛物线解析式，用表示c，代入判别式配方，结合证明判别式大于0． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴顶点为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 对称轴为直线， 且在范围内， ①当抛物线的顶点在x轴上时，则， 解得； ②当抛物线与x轴有两个不同交点时，要使在内恰有一个交点， 则和对应的函数值异号， 当时，， 当时，， ∴， ，解得； 或，无解； 当时，，令，则 解得或，符合在时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点， 当时，，令，则 解得或，不符合在时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点， 综上：或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $