第3讲 全等三角形常见结构一 课件（教师版） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第3讲 全等三角形常见结构一 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 理解手拉手模型、类比探究、婆罗摩笈多模型、和脚拉脚模型的特点及其应用场景，能够识别这些模型在不同几何问题中的使用。 02 通过类比探究的方式深入理解全等三角形的性质，能够将这种方法应用于解决其他数学问题，提升数学推理和思考能力。 3 知识精讲 模型特点： 条件: 结论:① ② ③在模型2的情况下,平分; 在模型1的情况中,平分的补角 4 知识精讲 模型特点： 条件;与为等边三角形 结论;① ② ③平分 5 知识精讲 模型特点： 条件:和是等腰直角三角形. 结论:① ②且⊥ ③连结,平分 6 培优篇 1 1 7 手拉手模型 8 例题 例1. ★ ★ ★如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：平分． 9 解析 (1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，利用SAS证明是解题的关键． （1）欲证明，只要证明； （2）由，推出，由，，又，，可得 （3）过B分别作，垂足分别为P，Q，根据可得，，可得，进而可证明结论． 【详解】（1）， ，即， 在和中， ，，； 解析 （2）， ， ，， 又，， ， ． （3）过B分别作，垂足分别为P，Q，    ∵， ∴， ∴， ∴B点在的平分线上， 即平分． 例题 例2 ★ ★ ★如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12 解析 (1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质等知识，证明是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论； （2）首先根据等腰直角三角形的性质可得，进而可推导，再根据全等三角形的性质可得，然后根据“直角三角形的两锐角互余”，可得答案． 【详解】（1）证明：∵，为延长线上一点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 解析 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 例题 例3 ★ ★ ★如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）． 15 解析 ①②③ 【分析】①由条件证明，就可以得到； ②由①可以得出，进而得出结论； ③由条件知，由，就可以得出结论； ④根据三角形两边之和大于第三边，即可解答． 【详解】解：①， ，即． 在和中， ，，故①正确； ，，， ，， ，故②正确； 解析 ③，， ， ． ，故③正确； ④在中，根据两边之和大于第三边，可得， ， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 练一练 练1 ★ ★ ★如图，已知和中，， ，相交于点P． (1)证明：； (2)求的度数； 18 解析 (1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质等等，证明得到，是解题的关键； （1）利用证明即可证明； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由全等三角形的性质得到，根据三角形外角的性质证明即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，∴，∴； （2）解：∵ ，∴， ∵，∴， ∵， ∴ ． 练一练 练2 ★ ★ ★如图所示，，且点、、在同一直线上，则（   ）   A． B． C． D．无法计算 20 解析 B 【分析】先通过角的等量代换找到全等三角形的条件，证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质和三角形外角的性质来求解的度数．本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和外角性质是解题的关键． 【详解】解： ，即 又，， ∴ ，，， 故选：B． 练一练 练3 ★ ★ ★把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 22 解析 (1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是利用直角三角形的性质求解． （1）由判定，根据全等三角形的性质可得； （2）利用全等三角形的性质可得，再证明，即可得出结论成立． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，∴在和中， ，∴（），∴； （2）∵，∴， 又，∴， ∴．∴． 类比探究 24 例题 例1 ★ ★ ★ ★ 在等腰和等腰中，，，连接、交于点． (1)如图若，则与的数量关系为___________；的度数为___________； (2)如图，若，判断与之间存在怎样的关系？并说明理由； (3)在（2）的条件下，当，且点与点重合时，请直接写出与之间存在的数量关系． 25 解析 (1)， (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】（1）设、相交于H，证明得到，，再利用的内角和定理和对顶角相等求解即可；（2）同（1），证明得到，，再利用的内角和定理和对顶角相等求解即可；（3）由题意，B、C、D三点共线，有两种情况，分别画出图形，利用（2）中结论和含30度角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得到，，再根据，即可得出数量关系． 【详解】（1）解：如图1，设、相交于H， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，， ∵，，， ∴，故答案为：，； （2）解：，，理由为： 设、相交于H， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴； 解析 解析 （3）解：由题意，B、C、D三点共线，有两种情况： ①如图3，  ∵，，， ∴，，， 由（2）知， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，则， ∴ ， 则， ∴； 解析 ②如图四，  同上，，， ，，， ∴， 则， ∴， 综上，或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理、全等三角形判定和性质，含的直角三角形性质，勾股定理等知识，解答的关键是熟练掌握全等三角形判定和性质，利用类比的方法，先根据题（1）中的特例感知解决问题的方法，且得出重要的结论，在此结论基础上深入探究，结合此结论解决问题． 例题 例2 ★ ★ ★在中，，是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． (1)如图，当点在延长线上移动时，若，则_______． (2)设，． 当点在延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由； 当点在直线上（不与，两点重合）移动时，与之间有什么数量关系？请直接写出你的结论． 30 解析 (1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）证，推出，根据三角形外角性质求出即可； （2）①证，推出，根据三角形外角性质求出即可； ②分当D在线段上时，当点D在线段反向延长线上时，当点D在线段的延长线上时三种情况讨论，根据三角形外角性质求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中 ，，， ，， ，， 故答案为：； 解析 （2）①解：当点在线段的延长线上移动时，与之间的数量关系是，理由是： ，， ， 在和中 ，，， ，， ，，； ②分三种情况： i）当D在线段上时，如图2，， 理由是：同①可证明：，∴，， ∵，∴， ∴， ∵，，∴， 解析 ii）当点D在线段反向延长线上时，如图3，． 如图3，同①可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； iii）当点D在线段的延长线上时，如图，．    综上，当点D在上移动时，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 练一练 练1 ★ ★ ★以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE． （1）说明BD=CE； （2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数； （3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由． 34 解析 （1）见解析；（2）90°；（3）成立，见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE； （2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF=180°﹣∠DBA﹣∠BDA=∠DAB=90°； （3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°． 【详解】解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE， ∵在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC，∴BD=CE； （2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠DBA， 在△CDF中，∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF， 又∵∠CDF=∠BDA，∴∠BFC=180°﹣∠DBA﹣∠BDA =∠DAB=90°； 解析 （3）BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下： ∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°， ∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS） ∴BD=CE，∠ACE=∠DBA， ∴∠BFC=∠CAB=90°． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 练一练 练2 ★ ★ ★在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上，如果，则____________度； (2)设，． ①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________； ②如图2，当点D在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由． ③当点D在直线上移动时，请直接写出，之间的数量关系 37 解析 (1)；(2)①，；②； ③或． 【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数； （2）①由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； ③分三种情况：点在线段的延长线上，在线段上，在线段的延长线上时，证明，再转化角度即可完成证明． 【详解】（1）解：，，， ，，， 在和中， ，，， ，故答案为：90； 解析 （2）①， 理由如下：，，， ，， 在和中， ，，故答案为：，； ②，理由如下：，，， ．即． 在与中， ，，． ． ，， ，， 故答案为：． 解析 ③（Ⅰ）当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图， ，，， ，即， 在和中， ，， ，． ，， ，． （Ⅱ）当点在线段上时， ②已证明：； 解析 (Ⅲ)当点在线段的延长线上移动时，．理由如下： 如图， ，， ， 在和中， ，，， ，， ， 即， 综上可知：或． 故答案为：或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 拔尖篇 1 1 42 手拉手拔尖篇 43 例题 例1 ★ ★ ★ ★如图，已知在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点下面个结论：；；平分；若，则垂直平分；若，则其中一定正确的结论是 （填正确结论的序号）． 44 解析 【答案】 【分析】根据得到得到，证明可以判断①正确；过点A分别作，，垂足分别是M，N，利用三角形全等，得到三角形的面积相等，得到可证③；根据得到，结合继而得到，可以判断②错误；在上截取，证明是等边三角形即可判断⑤正确；若，即，得到，根据得到，根据角的和差即可得到，证得，但无法证明平分，即可判断结论④错误． 【详解】解：∵，∴， ∴，∴在和中， ，∴，∴，故①正确； 解析 过点A分别作，，垂足分别是G，H，  ∵，∴， ∴，∴，∴平分， 故③正确； ∵，∴， ∵， ∴， 故②正确； 在上截取，∵，∴， ∵在和中， ，∴， ∴， 解析 ∵，平分，， ∴，   ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故⑤正确． 解析 若，即， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 但无法证明平分， 故结论④错误． 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的判定，等边三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 练一练 练1 ★ ★ ★ ★ ★问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 49 练一练 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 50 解析 【答案】（）；；（）四边形的周长为；（）满足条件的建设费用元． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的应用，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）先求出，进而得，再依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出答案； （）延长到，使，连接，证明是等边三角形，得，，再根据是等边三角形得，，由此得，进而依据“”判定和全等得，则，由此即可得出四边形的周长； （）过点作交于点，连接，则和都是等腰直角三角形，进而得，，，，由此得，继而依据“”判定和全等得米，，则，再求出平方米，即可得出种植草坪的费用，据此可得满足条件的建设费用． 解析 【详解】解：（）在中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，的度数为， 故答案为：；； 解析 （）延长到，使，连接，如图所示， ∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，，∴，， ∴，∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形的周长为； （）过点作交于点，连接，如图所示，  ∵，，∴和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ，∴， ∴（米），， ∴，即， ∴（平方米）， ∴在内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元， ∴在内部种植草坪的费用为：（元）， 又∵在区域内安装健身器材需元， ∴满条件的建设费用为（元）， 答：满足条件的建设费用元． 解析 例题 例2 ★ ★ ★ ★如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，⑤平分，恒成立的是______．  A．①②④ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 55 解析 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，由等边三角形的性质可证明，则可得①正确；由可得，由，则由三角形内角和可得，则可得③正确；证明，可得，由可得④正确；由等边三角形的性质可得②正确；连接，作，根据全等三角形对应边上的高线相等，得到，即可判定⑤正确，从而可确定答案． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴， ∴，∴， ∴，；故①正确 ∵，∴由三角形内角和得：， 故③正确； 解析 ∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故④正确； ∴， ∴，故②正确； 连接，作， ∵，为边上的高线， ∴， ∴平分；故⑤正确； ∴正确的是①②③④⑤， 故选：D． 练一练 练2 ★ ★ ★ ★如图，C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，．以下四个结论：①；② ；③；④平分，其中正确的结论的个数是（  ）．  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 58 解析 ∵在中，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设边上的高为，边上的高为， 则， ∴， ∴平分，故④正确； 故选：C 解析 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理等知识点，证即可判断①；证推出是等边三角形，根据，即可判断②；根据，，可推出，即可判断③；根据，可得，设边上的高为，边上的高为，可推出，即可判断④； 【详解】解：由题意得：， ，∴， ∴，∴，故①正确； ∴， ∵，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， 例题 例3 ★ ★ ★ ★如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是 （只填写序号） 61 解析 【答案】①②④ 【分析】根据等腰三角形的性质，证明，即可判断①；根据，得到，即可判断②；过作于，于，得到，推出，即可判断④；题干条件不充分，不足以判断平分，即可判断．本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形内角和、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角， ，，， ∴， ，， ，故①正确， ，∴， ∵，∴， ∴，，故②正确， 解析 过作于，于， ，， 即， ，，， 即平分， 故④正确； ， 但不一定相等，无条件支持， ∴不一定全等， 则不一定相等， 故得不出， ∴不一定平分； 故③不正确， 故答案为：①②④． 练一练 练1 ★ ★ ★已知：两个等腰直角三角板和 如图所示摆放，连接交于点．与交于点，与交于点．  （1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断与有何关系并说明理由； （2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形． 64 解析 【答案】（1）AE＝BD且AE⊥BD．理由见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE 【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，由∠CME＝∠DMO，根据三角形内角和定理即可得∠DOM＝∠ECM＝90°，进而可证AE⊥BD． （2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形． 【详解】解：（1）结论；AE＝BD且AE⊥BD．理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB+∠DCA＝∠DCE+∠DCA， 即∠DCB＝∠ACE，∵AC＝BC，CD＝CE， 在△ACE与△BCD中， ，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CEA＝∠BDC， ∵∠CME＝∠DMO， ， 即∠DOM＝∠ECM＝90°，∴AE⊥BD，∴AE＝BD且AE⊥BD； 解析 （2）∵AC＝DC，∴AC＝CD＝EC＝CB， 在△ACB与△DCE中， ，∴△ACB≌△DCE（SAS）； 由（1）可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC， ∴∠DOM＝90°， ∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD， ∴△EMC≌△BCN（ASA）， ∴CM＝CN， ∴DM＝AN， ∴△AON≌△DOM（AAS）， ∵DE＝AB，AO＝DO， ∴△AOB≌△DOE（HL）． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 婆罗摩笈多模型 67 知识精讲 模型特点： 共顶点,连结(与传统手拉手模型连结方式相反)。 ①过顶点作的垂线,则的延长线或反向延长线与的交点F为线段的中点; ②上述性质反之亦然,即若作的中点,连结,则⊥ 68 知识精讲 模型特点： 条件:等腰与等腰顶角互补,共用一个底角的顶点,连结 ,点为的中点. 结论: 69 例题 例4 ★ ★ ★ ★如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号) 70 解析 【答案】①②④ 【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：①当时，是等边三角形， ∴ ∴ ∵等腰直角、， ∴ ∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、， ∴， ∴ ∴ ∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴， 又， ∴ 又∵， ∴ 同理得，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即是的中点，故④正确， ∴， 设，则 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴,故③错误 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 练一练 练★ ★ ★如图，为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接交于点P，则当点B在射线上运动时，的长是 ． 72 解析 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用等知识，过点E作，垂足为点N，先证明，得到，再证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为点N，  ∵，∴， ∴， ∵均为等腰直角三角形，∴； 在与中， ，∴，∴； ∵，∴， 在与中， ，∴，∴ ∴．故答案为：2． 练一练 练2 ★ ★ ★如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连结，，取中点，连结．  (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．求证：． 74 解析 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“边角边”证明，可得，．再根据直角三角形的性质得，可得结论；然后根据等边对等角得， 进而说明，再根据得出答案； 对于（2），延长到点，使，连结，根据“边角边”证明，可得，，进而说明，再结合互补的定义得出，然后根据“边角边”证明，可得答案. 【详解】（1）证明：在和中， ，，，， ，． 是斜边的中点，，. ，．， ，．； 解析 （2）证明：延长到点，使，连结． ，，，， ，．．. ，， ． ，． 在和中， ，，， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 脚拉脚模型 77 例题 例1 ★ ★ ★如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 78 解析 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解； （2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：，， ，， 在和中， m．∴； （2）证明：连接， 由（1）证明可得，， 在和中， m． ， ，． 练一练 练1 ★ ★ ★ ★以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； (2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），请直接写出与的数量关系．（直接填写答案） 80 解析 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或 【分析】（1）利用三角形的内角和表示出，再结合条件，即可得证； （2）延长至Q，使，连接，，易证，得到，利用三角形的内角和并通过角的转化证明，进而证明，得到，再利用等腰三角形的“三线合一”证明； （3）分“点E在上方”和“点E在下方”两种情况分别画出相应图形进行分析，利用三角形的内角和并结合角的转化即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：，， ，， ， ，， ． 解析 （2）证明：如图，延长至Q，使，连接，， 在与中， ，，，， ，， 根据（1）可设，，则， ， ， 在中，， ， 在与中， ，，， ，． 解析 （3）解：取的中点F，连接，由（2）知， ，，， 设， 情况1，当点E在上方， ， ， 即； 情况2，如图，当点E在下方， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和外角性质、线段垂直平分线的性质等，也用到了分类讨论的数学思想，解决问题的关键是作出适当的辅助线构造全等三角形和画出相应的图形进行分析． 练一练 练2 ★ ★ ★ ★如图，以，为底边，在外作等腰和等腰，使，点是边上的中点，连接并延长到，使，连接，． (1)求证：； (2)①小明发现：若，，则______°； ②小华发现：去掉条件“”，利用条件“”，也可以求出的度数．请根据小华的发现，求出的度数； (3)连接，若，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 84 解析 【答案】(1)见解析 (2)①，② (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据证明，即可得到结论； （2）①由题意得到，设，，根据题意得到，由得到，根据计算即可得到答案； ②由题得，设，，得到，由得到，计算即可得到答案； （3）连接，先证明，得到，，再证明是等边三角形，根据勾股定理即可得到答案． 解析 【详解】（1）证明：∵点D为BC边上的中点，∴ ∵，，∴，∴； （2）解：① ，， ， 设，， 根据题意得，，，， ，， ，， 由（1）可知，， ， 故答案为：； ②， 设，， 根据题意得，，，， ，， ，， 由（1）可知，， ； 解析 （3）解： 理由如下：连接FG∵ ∴， ， ，∴ ∵，，∴ 又∵，∴∴， ∵，∴ ∴ ∵，，∴是等边三角形 又∵，∴，∴ 设等边三角形边长为a，则，∴ ∴∴， 即 本讲总结 88 课堂练习 练一练 课堂练1 ★ ★ ★ 如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则（    ）  A． B． C． D． 90 解析 D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 根据已知条件，得到，，从而得到，，利用全等三角形的判定方法，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ，， ，， 在和中， ， ， 故选：． 练一练 课堂练2 ★ ★ ★如图1，点为线段上的任意一点（不于，重合），分别以，为一腰在的同侧作等腰和，，，与都是锐角，且．  (1)试说明：； (2)如图2，与相交于点，，求的度数． 92 解析 (1)见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握判定定理内容是解题关键． （1）证即可求解； （2）由（1）可得，根据可求得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，∴ 即： ∵，，∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 练一练 课堂练3 ★ ★ ★如图，△中，点在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．   (1)若，求的长； (2)若，，求的度数． 94 解析 (1)4 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得：，再由，可得，可证明，即可得出结果； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而得到，再由全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质得：， ∵，∴， ∵，，∴， ∵∴； （2）解：∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 下节课再见～ 96 $