第11讲 因式分解的常用方法 课件（学生版+教师版）2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦因式分解的常用方法，系统讲解十字相乘法、分组分解法及应用，通过回顾多项式乘法公式引导学生构建新旧知识联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动学习，结合图形验证（如例5面积推导公式）培养数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理能力，分层练习设计帮助学生逐步掌握，教师可高效实施教学，提升学生的应用意识与实践能力。

第11讲 因式分解的常用方法 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 熟练掌握十字相乘法，能够利用十字相乘法对多项式进行因式分解。 02 掌握分组分解法，能够通过分组法对特定形式的多项式进行因式分解。 03 掌握因式分解的实际应用，能够在各种数学问题中辨识并应用合适的因式分解方法。 3 01 十字相乘 1 1 4 知识精讲 十字相乘 思考：你能利用该规律将分解因式吗？ 十字相乘法： 解： 5 知识精讲 二次项系数为1时： 注意：1.拆两边 2.十字交叉相乘再相加 3.是否等于中间项 6 知识精讲 二次项系数不为1时： 7 例题 例1． ★ ★阅读材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式： ． 8 练一练 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 练1． ★ ★下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的a的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式进行因式分解． 9 例题 例2． ★ ★因式分解： ． 10 练一练 练2． ★因式分解： ． 11 例题 例3． ★ 因式分解： ． 12 练一练 练3． ★ ★分解因式： ． 13 例题 例4． ★分解因式： (1)； (2)． 14 练一练 练4． ★ ★因式分解： 15 02 分组分解法 1 1 16 知识精讲 分组分解法：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解. 四项式的分组方式： 二、二分组：既可运用提公因式法，又可将平方差公式和提公因式法混合使用.（如x2 + y2+ax+ay ） 一、三分组：主要运用完全平方公式和平方差公式.(如a2+2ab+b2 + c2 ) 17 例题 例1． ★ ★观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么. 例：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式. 解法1：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋an）＋（bm＋bn） ＝  （m＋n）＋b（m＋n） ＝（m＋n）（a＋b）. 解法2：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋bm）＋（an＋bn） ＝ m（a＋b）＋n（a＋b） ＝（a＋b）（m＋n）. 根据你的发现，把下面的多项式分解因式: (1)mx－my＋nx－ny； (2)2 ＋4b－3ma－6mb. 18 练一练 练1． ★ ★第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 19 例题 例2． ★ ★因式分解 ． 20 练一练 练2． ★ ★ ★因式分解： ． 21 例题 例3． ★ ★ ★因式分解： 22 练一练 练3． ★ ★因式分解：． 23 例题 例4． ★ ★因式分解： ． 24 练一练 练4． ★ ★ ★将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如： ． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 25 例题 例5． ★ ★分解因式： 26 练一练 练5． ★ ★ ★阅读下列材料： 提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式． 例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，且，求的值． 27 03 因式分解的应用 1 1 28 知识精讲 因式分解的综合应用： 利用因式分解解决求值问题。 利用因式分解解决证明问题。 利用因式分解解决计算问题。 题型考点：①因式分解的实际应用。 29 例题 例1． ★ ★运用因式分解简便计算： ． 30 练一练 练1． ★ ★计算： （1）简便方法计算：8002-1600×798+7982 （2） 31 例题 例2． ★ ★ ★先化简，再求值：， 其中、满足． 32 练一练 练2． ★ ★先化简，再求值： []÷， 其中． 33 例题 例3． ★ ★对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 34 练一练 练3． ★ ★若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 35 例题 例4． ★ ★若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 36 练一练 练4． ★ ★已知整式为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)试说明：当m是整数时，的值一定能被24整除． 37 例题 例5． ★ ★ ★如图，把左图中的部分剪下来，恰好能拼在的位置处，构成右图中的图形，形成一个从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（   ） A． B． C． D． 38 练一练 练5． ★ ★ ★如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 39 例题 例6． ★ ★阅读下列解题过程： 已知a，b，c为的三边，且满足，试判断的形状． 解：∵，① ∴，② ∴③ ∴直角三角形． (1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______； (2)写出正确的解题过程． 40 练一练 练6． ★ ★设 是三角形的三边长，且满足，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形； ②是等边三角形； ③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41 本讲总结 42 本讲总结 43 课堂练习 练一练 课堂练1. ★ ★用十字相乘法解方程： （1）； （2）． 45 练一练 课堂练2. ★ ★分解因式： （1）1 （2） 46 练一练 课堂练3. ★ ★因式分解： 47 练一练 课堂练4. ★ ★因式分解：． 48 练一练 ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 课堂练5. ★ ★小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 49 下节课再见～ 50 $ 第11讲 因式分解的常用方法 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 熟练掌握十字相乘法，能够利用十字相乘法对多项式进行因式分解。 02 掌握分组分解法，能够通过分组法对特定形式的多项式进行因式分解。 03 掌握因式分解的实际应用，能够在各种数学问题中辨识并应用合适的因式分解方法。 3 01 十字相乘 1 1 4 知识精讲 十字相乘 思考：你能利用该规律将分解因式吗？ 十字相乘法： 解： 5 知识精讲 二次项系数为1时： 注意：1.拆两边 2.十字交叉相乘再相加 3.是否等于中间项 6 知识精讲 二次项系数不为1时： 7 例题 例1． ★ ★阅读材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：．利用材料中的十字相乘法，分解因式： ． 8 解析 【答案】 【分析】本题考查了因式分解——十字相乘法．对于形如的多项式，进行因式分解时，关键是要找到两个数，使这两个数的乘积等于常数项，同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数．分解时要注意观察、尝试，并体会它的实质是二项式乘法的逆过程． 按照“十字相乘法”的步骤逐一分解即可． 【详解】解：先分解二次项系数：， 再分解常数项：， 交叉相乘，求代数和：，2等于一次项系数，如图所示：   ∴， 故答案为 ：． 练一练 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 练1． ★ ★下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的a的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式进行因式分解． 10 解析 【答案】(1)D(2)没分解到最后；(3) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）根据完全平方公式解答即可； （2）利用十字相乘法解答即可； （3）设，利用完全平方公式因式分解即可解答． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式； 故答案为：D； （2）解：没分解到最后； 原式 （3）解：设， 原式 ． 例题 例2． ★ ★因式分解： ． 12 解析 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 练一练 练2． ★因式分解： ． 14 解析 【答案】 【分析】此题主要考查了分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 例题 例3． ★ 因式分解： ． 16 解析 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 练一练 练3． ★ ★分解因式： ． 18 解析 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 例题 例4． ★分解因式： (1)； (2)． 20 解析 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，熟练掌握十字乘法分解因式是解决本题的关键． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 练一练 练4． ★ ★因式分解： 22 解析 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法进行因式分解，整体思想，本题的关键是把看作一个整体． 根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 02 分组分解法 1 1 24 知识精讲 分组分解法：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解. 四项式的分组方式： 二、二分组：既可运用提公因式法，又可将平方差公式和提公因式法混合使用.（如x2 + y2+ax+ay ） 一、三分组：主要运用完全平方公式和平方差公式.(如a2+2ab+b2 + c2 ) 25 例题 例1． ★ ★观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么. 例：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式. 解法1：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋an）＋（bm＋bn） ＝  （m＋n）＋b（m＋n） ＝（m＋n）（a＋b）. 解法2：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋bm）＋（an＋bn） ＝ m（a＋b）＋n（a＋b） ＝（a＋b）（m＋n）. 根据你的发现，把下面的多项式分解因式: (1)mx－my＋nx－ny； (2)2 ＋4b－3ma－6mb. 26 解析 【答案】（1）（x－y）（m＋n）；（2）（a＋2b）（2-3m） 【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果； (2)分组后提取公因式即可得到结果． 【详解】解：(1)解法一： 原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n) 解法二： 原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y) (2)解法一： 原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m) 解法二： 原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b) 【点睛】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组． 练一练 练1． ★ ★第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 28 解析 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 例题 例2． ★ ★因式分解 ． 30 解析 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解．先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 练一练 练2． ★ ★ ★因式分解： ． 32 解析 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组，再提公因式，进而利用十字相乘法和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 例题 例3． ★ ★ ★因式分解： 34 解析 【答案】 【分析】本题考查分组分解法分解因式，解题的关键正确分组，首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解： ． 练一练 练3． ★ ★因式分解：． 36 解析 【答案】 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，把原式化为，再进一步分解即可． 【详解】解：原式 ． 例题 例4． ★ ★因式分解： ． 38 解析 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 练一练 练4． ★ ★ ★将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如： ． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 40 解析 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键． （1）利用分组分解法得出，再根据公式法进行因式分解． （2）利用分组分解法得出、再根据公式法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 例题 例5． ★ ★分解因式： 42 解析 【答案】 【分析】本题考查了利用分组分解法进行因式分解；先把前两项、后两项结合，前两项利用平方差公式分解因式，则可提取公因式，即可分解因式． 【详解】解： ； 故答案为：． 练一练 练5． ★ ★ ★阅读下列材料： 提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式． 例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，且，求的值． 44 解析 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式； （1）分成两组先分解因式，再提取公因式即可； （2）分成两组先分解因式，再提取公因式，再代入即可求值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ． ， ． ． 03 因式分解的应用 1 1 46 知识精讲 因式分解的综合应用： 利用因式分解解决求值问题。 利用因式分解解决证明问题。 利用因式分解解决计算问题。 题型考点：①因式分解的实际应用。 47 例题 例1． ★ ★运用因式分解简便计算： ． 48 解析 【答案】25 【分析】此题考查了运用因式分解简便计算，将分母中的变形为，再利用平方差公式计算，然后去括号求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：25． 练一练 练1． ★ ★计算： （1）简便方法计算：8002-1600×798+7982 （2） 50 解析 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算； （2）先根据完全平方公式、平方差公式计算，再去括号合并同类项； 【详解】（1）8002-1600×798+7982 =8002-2×798×800+798 =（800-798）2 =22 =4； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． 例题 例2． ★ ★ ★先化简，再求值：， 其中、满足． 52 解析 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则、多项式除以单项式法则和利用分组分解法分解因式． 先把已知条件中的等式进行分组分解因式，从而列出关于，的方程，解方程求出，，再根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和多项式除以单项式法则进行化简，最后把，的值代入进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ，，，， ，， 解得：，， 原式 把，代入可得，原式 ． 练一练 练2． ★ ★先化简，再求值： []÷， 其中． 54 解析 【答案】，-10 【分析】解法1：先将中括号里的提出来，再算中括号里的，最后进行计算即可得；解法2：先算出中括号里的各项，再将中括号里的公因式-8x提出来，进行计算即可得． 【详解】解法1：                          把代入上式，得原式．                 解法2： 原式 把代入上式，得原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算的运算法则． 例题 例3． ★ ★对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 56 解析 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 练一练 练3． ★ ★若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 58 解析 【答案】能被整除，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整除，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意设，代入代数式，即可得，即能被整除． 【详解】解：能被整除，理由为： 由题意设（k为正整数）， 则 ， ∴能被整除． 例题 例4． ★ ★若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 60 解析 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案． 【详解】解： ， ∴的值总能被3整除． 故选：B． 练一练 练4． ★ ★已知整式为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)试说明：当m是整数时，的值一定能被24整除． 62 解析 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，整式的混合运算． （1）利用平方差公式，整式的混合运算计算； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：∵为任意有理数， ， ， ∴的值不可能为负数； （2）解： ， ∵是整数， ∴能被 24 整除． ∴是整数时，的值一定能被 24 整除． 例题 例5． ★ ★ ★如图，把左图中的部分剪下来，恰好能拼在的位置处，构成右图中的图形，形成一个从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（   ） A． B． C． D． 64 解析 【答案】D 【分析】根据左图与右图的面积相等，列出等式即可． 【详解】左图的面积为， 右图的面积为， 则， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，理解题意，根据面积相等建立等式是解题关键． 练一练 练5． ★ ★ ★如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 66 解析 【答案】（1）是；不是；（2）是，理由详见解析；（2）81608 【详解】解：（1）∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； （2）结论：两个连续奇数构造的奇特数是的倍数 理由：∵ ∴两个连续奇数构造的奇特数是的倍数； （3） 【点睛】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式：，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． 例题 例6． ★ ★阅读下列解题过程： 已知a，b，c为的三边，且满足，试判断的形状． 解：∵，① ∴，② ∴③ ∴直角三角形． (1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______； (2)写出正确的解题过程． 68 解析 【答案】(1)③ (2)正确的解题过程见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，因式分解的应用： （1）观察可知，上述解题过程是第③步出现错误的，原因是忽略了． （2）先把原式变形为，进而得到或，由此可得结论． 【详解】（1）解：观察可知，上述解题过程是第③步出现错误的，原因是忽略了． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 练一练 练6． ★ ★设 是三角形的三边长，且满足，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形； ②是等边三角形； ③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 70 解析 【答案】B 【分析】先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质得出．进而判断即可． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， ∴此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据式子特点，将原式转化为完全平方公式是解题的关键． 本讲总结 72 本讲总结 73 课堂练习 练一练 课堂练1. ★ ★用十字相乘法解方程： （1）； （2）． 75 解析 【答案】（1）或；（2）或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 解：（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 练一练 课堂练2. ★ ★分解因式： （1）1 （2） 77 解析 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）根据十字相乘法因式分解即可． 解：（1）解： ； （2）解：． 【点拨】本题考查的是因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． 练一练 课堂练3. ★ ★因式分解： 79 解析 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可． 解： ． 练一练 课堂练4. ★ ★因式分解：． 81 解析 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可． 解：原式 练一练 ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 课堂练5. ★ ★小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 83 解析 【答案】(1)完全平方公式和提公因式，提公因式， (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的方法． （1）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （2）因式分解后，结合三角形三边长为正数及已知条件，推出a、b、c的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】（1）解：完全平方公式和提公因式，提公因式 ． （2）为直角三角形．理由如下： ， ， ， ， ， ，， 即是直角三角形． 下节课再见～ 85 $