专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，海南专用）高一数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01指数 考点02指数函数 考点03对数 考点04对数函数 考点05函数的应用（二） D考点01指数 -1 2 1.（25-26学年高一上·海南临高县临高中学期中)计算： 1 +83+(2019°=( ) A.6 B.7 C.8 D 2.(2526学年高一上海南海口第-中学期中)（多迹）已知六口则（ A.a+1=7 a B.a2+13=47 1-1 C.a2-a3 ▣ a+a-1 D.33 a2+a2=18 3.(25-26学年高一上·海南临高县临高中学.期中)计算下列各式（式中的字母均为正数) (1)是31 a3a4a6 206a 2-1 (4)4ab3÷ 2a6 116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(25-26学年高一上海南海口海南中学期中)(1)4a4b3: 32 2-是-1 4b3 (2)已知5m=3,5=4.求53m-2"的值. 5.（25-26学年高一上海南海口第一中学：期中)已知10=2,10=8：则102 6.(25-26学年高一上海南文昌中学)计算：8 0 16 3 4+ 2025 81 2026 》 考点02指数函数 1 1.(25-26学年高一上·海南文昌中学)函数fX=2*0口的定义域为（ A.-3,+0∞ B.-0,-3 C.-∞，-5U-5,-3 D.-0∞，-5U-5,-3 2.(25-26学年高一上海南临高县临高中学·期中)设a=48,b=846,c= ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 3.(25-26学年高一上·海南文昌中学)已知函数f(x)=(x-a(x-b)(其中a>b)的图象如图所示，则 函 g(x)=a*+b的图象是() f(x) 216 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 4.(25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中)已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始 用户，经过t天后，用户人 mt=Q2,其中a和k均为常数.已知小程序发布5天后有200名用户， 则发布10天后有用户( )名 A.10000 B.8000 C.4000 D.3500 5.(25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中)（多选)下列选项中，正确的是( A.若p:n∈N,n2>2,则p:Vn∈N,n2≤2 B.函数fx=x+4在-2,0U0,2上单调递减 cf树=艾g火=x表示月-个西数 D.fx=at+1a>0且a≠1)的图象恒过定点1,2 6.（25-26学年高一上·海南文昌中学)（多选)下列说法正确的序号是( A.命题“3x>1,x2+2x+3=0”的否定是“Vx≤1，x2+2X+3≠0” B.函数fx=x2+bx+3a+b是定义在2a-1,a上的偶函数，则a+b= 3 C.函数fx=a-2+1〈a>0且a≠1)的图象恒过定点p则点p坐标为2,1 D函数fx=x+是fx值域为-0,4u4,+∞ 7.(25-26学年高一上·海南海口海南中学.期中)已知a>0且a≠1，函数 f(x)= x2+2x-a,x>1 a,x≤1 ,若fx在R上单调递增，则a的取值范围是() 316 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c.1,2 D.1,+o 8.(25-26学年高一上·海南三亚第二中学.期中)（多选）下列函数中，既是偶函数，又在0，+0∞上是增 函数的是( Ay- .1 B.y=2' C.y=V▣ D.y=x2-1 9.(25-26学年高一上海南海口第一中学期中)函数fx=2*- 2是奇函数。 (1)求fx的解析式： (2)当x∈0，+o∞时，fx>m-2+4恒成立，求m的取值范围. 02526学年高一上海南海口海南中学期)已知函数fx刘上)9,9X=X-4x6 (1)当a=1时，求fx在区间2，+∞上的最小值： (2)若vX,∈1,4总存在x,∈1,4使得fx=gX求实数。的取值范围 考点03对数 1.(25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中)荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积 小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把 (1+1%]6看作是每天的“进步”率都是1%：一年后是1015心37.7834；而把（1-1%看作是每天 “退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的 1.01365 0.99丽≈1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过C ）天参考数 据：1g101≈2.0043,1g99≈1.9956，lg2≈0.3010)】 A.18 B.30 C.51 D.69 2。(25-26学年高一上海南师范大学附属中学期中)(1)已知。-a立-5a>0且a≠1)，求a+a” 的值： 416 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)化简：1 + 0-4} ▣0： (3)化简： 、+1g25+g4+lg1+73+1ogz3-1oga石 In 》 考点04对数函数 1.(25-26学年高一上·海南师范大学附属中学.期中)“nx>lny”是“e>e'”( A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 2.(25-26学年高一上·海南师范大学附属中学.期中)下列各组不等式正确的是( A.2.709<2.703 B.log32>10g23 C.2.3°7>0.831 D.e3>0.6 3。（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中)函数fx=1nX-2x的单调递减区间为 2》 考点05函数的应用（二） 1.(25-26学年高一上·海南师范大学附属中学.期中)（多选）已知 f(x)= x2+2x+1,x≤0 Inx,x>0 ,若存在x<x,<x<X:使得fx=fx=fx=fx=m:则下列结论正确的有（） A.实数m的取值范围为0,1 B.X1X2的最大值为1 C.x3X4=1 D.X1+X2+X3+X4取值范围为0，+∞ 2.(25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中)北京冬奥会以来，我国大力发展“冰雪经济”， 2024年国务院印发了《国务院办公厅关于以冰雪运动高质量发展激发冰雪经济活力的若干意见》，推动冰 雪经济成为新增长点.呼伦贝尔市积极响应号召，某滑雪场为了优化管理，对雪道进行数据统计分析.研 究表明，雪道上滑雪者的速度v(单位：kmh)是滑雪者密度x(单位：人/km)的函数，当雪道上滑雪 者密度达到180人/km时，造成堵塞，此时滑雪者速度为0；当滑雪者密度不超过30人/km时，滑雪者 516 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 速度为50km/h:研究表明：当30≤x≤180时，（x,)满足v=ax+blx∈N (1)当0<x≤180时，求函数vx的表达式： (2)当滑雪者密度x为多大时，滑雪者流量fx=x·v(x可以达到最大，并求出最大值.（滑雪者流量是 指单位时间内通过雪道上某观测点的人数，单位：人) 3.（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断)某路段需铺设防滑沥青，总长度为10km,设施工队每 天铺设的长度为xkm0<x≤5引，每天的费用为y万元，当0<x≤2时，y=x- 六当2<x≤5时， y=X+2x+4 X+ Γ2055 (1)求完成该路段的铺设工作的总费用fx.(总费用=每天的费用×施工天数) (2)当X为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 4。(25-26学年高一上海南师范大学附属中学·期中)已知函数fx=10g44+1-tx是偶函数，x∈R (1)求fx的解析式： (2)若函数fx的图象与直线y=号x+a没有公共点，求a的取值范围； (3)若函数 g1x=4+m-2-1X∈0,1og,3引是否存在m:使gx最小值为0若存在，求出m的 值；若不存在，说明理由 616函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05指数函数与对数函数 考点01指数 考点02指数函数 考点03对数 考点04对数函数 考点05函数的应用（二） 2》 考点01指数 1.B 2.ABD 3.【答案】①) 2n6 (3)x0y3 (4)-10a2b 【分析】 (1)根据同底数幂乘法的运算法则进行运算即可： (2)根据同底数幂乘法和除法的运算法则进行运算即可； (3)根据积的乘方的运算法则进行运算即可： (4)根据指数幂的除法运算法则进行运算即可. (1)小问详解： (2)小问详解： 2472.7414 a3b3÷a2=a3Db3=ab 3)小问详解： y =x20y3 (4)小问详解： 21 4ab 4.【答案】(1)-6ab:(2) 27 16 【分析】 (1)(2)根据指数幂运算求解即可. 119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 32 - (2)因为5m=35”=4所以5m-2n-5"_5=322 52n574216 5.【答案】2 【分析】 利用指数的运算法则计算即可. 【详解】 因为10=2,10Ψ=-8：所以102x=4,105=8=2'所以102片=102÷10=2 故答案为：2 13 6.【答案】 【分析】 直接利用分数指数幂的运算法则进行计算即可. 【详解】 2 83 16 20251 =4-27+1=13 81 2026 8 故答案为： 13 8 考点02指数函数 1.D 2.C 3.A 4.B 5.AD 6.BD 7.A 219 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.CD 9.【答案】(1)fx=2*- 2 (2)m<-5. 【分析】 (1)直接由奇函数的定义列方程求解即可： (2)由条件得m+1<2-4~2在x∈(0，+∞)恒成立，转为求不等式右边函数的最小值即可得解 【详解】 1):函数f(x)=2*-0 「2是奇函数， f-2是=-2+分-249=-fx 2 2x 故a=1, 故f(x)=2- 2 (2)当x∈(0，+o时fx》>m-2+4恒成立， 即m+1<2-4~2在x∈(0，+oo)恒成立. 令h(x)=2-42=(2*-22-4'(x>0 显然h(x)在(0，+∞)的最小值是h(1)=-4, 故m+1<-4,解得：m<-5. 【点睛】 本题主要考查了奇函数求参及不等式恒成立求参，涉及参变分离的思想，属于基础题 10. 【1号 (2)-160,0 【分析】 (1)利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得fx在区间2，+∞上的最小值 (2)先求得gx的最大值和最小值，对a进行分类讨论，由此列不等式来求得Q的取值范围. 1)小问详解： 当a=1时，fx=4+1=2+1, 2 2x 3/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 令t=2,则由x∈|2，+oo,可知t的取值范围为4，+o, 故原西数可化为y=t+是E24, 由对勾函数性质，可知y=t+在4，+∞上单调递增， 因ty-+布1-4时软到玩小子此时×-2 所以当×=2时，fx在x∈2，+四上取到最小准f2=子 (2)小问详解： 依题意gx=(x-2+2 故当x1∈1,4时，g(x)m=g2=2,gx)nax=94=6 因为vx1∈1,4总存在x,∈1,4使得fx,=gx 设fx在1,4上取值的集合为集合A,则有2,6cA, 当a≤0时，显然有fx在区间1,4上单调递增， 此时f(xm-=fl=2+2fxnx=f14=16+6 2+0≤2 2 2,6lcA,可 16+0≥6 解得-160≤a≤0； 16 a≤0 当a>0时，由基本不等式fx=2+9≥2D,当且仅当4=a时等号成立， 因此有2▣，即0<a≤1， 因为x∈1,4时，2*∈2,16故0<a≤1时，fx在1,4]止单调递增。 此时f(x=f1=2+号f(xx=f4=16+6 419 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2+9s2 由此可得 无解， 16+Q ≥6 16 0<a≤1 综上，实数a的取值范围为-160,0 【点睛】 方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值对于 含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况 考点03对数 1.D 2.【答案】02：228,3)号 【分析】 (1)由幂的运算法则计算即可； (2)由根式的运算与幂的运算法则计算； (3)根据对数的运算法则及换底公式计算可得. 【详解】 a-0-aj2-25+2-27 ogawa4 =1×23×32.4×9+1=36-9+1=28: 2 4 (3)原式=lg25×4+3+1g3×21og32+0+号-2+3+2+-15 22 》 考点04对数函数 1.D 2.C 3.【答案】-0,0 【详解】试题分析：由题意可得： 5/9 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2-2x>0 台x<0 x≤1 ，所以函数fx=nX-2x的单调递减区间为-o0,0 考点：函数的性质。 考点05函数的应用（二） 1.AC 50,0<x<30 2.【答案】(1) vx= (2)当滑雪者密度为90人/千米时，滑雪者 3180-x),30≤x≤180 流量可以达到最大，最大值2700人/小时 【分析】 (1)根据条件求得函数vx的表达式： (2)根据函数的单调性、二次函数的性质来求得正确答案 (1)小问详解： 由题意：当0<x<30时，vx=50: 当30≤x≤180时，再由己知得180a+b=0,解得a=-号 3 30a+b=50 b=60 50,0<x<30 故函数，x的表达式为vX=180-X,30≤x≤180'x∈N 3 (②)小问详解： 依题意并由(1)可得fx= 50x,0<x<30 180-X,30≤x≤18 当0<x<30时，fx为增函数，故fx<1500: 当30≤x≤180时.fx=3x180-X=-x-90P+270., 所以，当x=90时，fx在区间30,180上取得最大值2700： 6/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即当滑雪者密度为90人/千米时，滑雪者流量可以达到最大，最大值2700人/小时. 1 10- X,0<X≤2 3. 【答案】(1)f(x)= (2)当x=4时，总费用最低，最低总费用是8 X+8+4,2<x≤5 2 x 万元. 【分析】 0 (1)由题意得铺设完工所需时间为 天，根据题意分析得出函数解析式即可： (2)根据(1)中函数的解析式利用函数单调性和基本不等式分析求解即可. (1)小问详解： 由 题 意 铺 设完工所需时 间为 四天 当0<xs2tfxx0是=10× 3x2+2x+40-+8+4 当2<xs5时fx刘20+后x+写x2 10- 所以fx= 1x,0<x≤2 +8+4,2<x<5 2 (2)小问详解： 当0<x≤2时，fx=10-1 是减函数， 所 以 当 X=2时 fx)mm=10-号×2=9， 2 当 2<x≤5时 fx=+8+424石 2X 7/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当 且 仅 当 x=4时 等号 成 立 f(x)min=8, 因为8<9，所以当x=4时，总费用最低，最低总费用是8万元 4.【答案】(1)fx=lg:4+1-号x (2)-∞，0 (3)存在，m=-1 【分析】 (1)通过f1=f-1求得t,验证即可； (2)由腿知方程a=1og44+1-x无解，利用指数函数和对数函数的性质求得函数 h(x)=log44*+1-x的值域即可： 3)由题知g(x=4+m×2'x∈0，log23利用换元法得pld=2+mtt∈[1,3]最后分类讨论 求函数最值即可. (1)小问详解： 因为函数fx=1og44+1-tx是偶函数：X∈R +t 所以f1=log45-t=f-1=log44 解得：t=2 经验证符合题意， 1 所以fx=log44+1- (2)小问详解： 由态，方程eg.4+1小-方×+0无解， 即方程a=log,4*+1-x无解 令h(x)=log44+1-x' ix=s4+-x=ae#=ae 819 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为X∈R'月 ∈1，+oo月 即h(x)>0:所以函数h(x)的值域是(0，+o) 故a的取值范围是-oo,0】 3)小问详解： 由题意gx=4u宁r+m2x-1=4+m-2x∈l0,log3 令t=2,则t∈[1,3] 则pltl=2+mr'te[1,3 ①当m2-2时，-罗≤1，gxn=pl1=1+m=0.解得m=-1: @当-6m-21s-受3gXP号-0部预m=0合)： ③当m≤-6时，-？≥3，gxnn=p3=9+3m=0,解得m=-3(舍去)： 综上所述，存在m=-1,使得g(x)最小值为0 9/9 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）计算：（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D.  【答案】B 【分析】 结合分数指数幂的运算性质化简即可 【详解】 故选：B. 【点睛】 本题考查分数指数幂的化简求值，属于基础题 2．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）（多选）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据给定条件，利用指数运算逐项计算判断. 【详解】 对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 3．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）计算下列各式（式中的字母均为正数） （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）根据同底数幂乘法的运算法则进行运算即可； （2）根据同底数幂乘法和除法的运算法则进行运算即可； （3）根据积的乘方的运算法则进行运算即可； （4）根据指数幂的除法运算法则进行运算即可. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： . 4．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）（1）． （2）已知，．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）（2）根据指数幂运算求解即可. 【详解】 （1）； （2）因为，．所以. 5．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 利用指数的运算法则计算即可. 【详解】 因为，所以，所以. 故答案为：2 6．（25-26学年高一上·海南文昌中学）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 直接利用分数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·海南文昌中学）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 令 ，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】 令 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）设,则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据指数幂的运算,将三个数化为底数相同,结合指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】由指数幂的运算可知 因为是定义在R上的单调递增函数 所以 故选:C 【点睛】本题考查了指数幂的运算,根据指数函数单调性比较指数幂的大小,属于基础题. 【详解】 3．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】 由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 4．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（       ）名 A. 10000 B. 8000 C. 4000 D. 3500 【答案】B 【分析】 由已知列出方程组，求解得出参数值，代入，即可得出答案. 【详解】 由题意得： ， 解得 ， 所以，． 故选：B． 5．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）（多选）下列选项中，正确的是（       ） A. 若，，则， B. 函数在上单调递减 C. 和表示同一个函数 D. （且）的图象恒过定点 【答案】AD 【分析】 由存在量词命题的否定结构可判断A，通过特殊值可判断B，由定义域不同可判断C，由指数函数定点可判断D. 【详解】 对于A，命题否定为：，，正确， 对于B，，所以在上不单调递减，错误， 对于C，的定义域，的定义域为，不是同一函数，错误， 对于D，当时，，故图象恒过定点，正确， 故选：AD 6．（25-26学年高一上·海南文昌中学）（多选）下列说法正确的序号是（       ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数是定义在上的偶函数，则 C. 函数（且）的图象恒过定点，则点坐标为 D. 函数，值域为 【答案】BD 【分析】 A：修改量词否定结论，可得结果；B：根据偶函数的定义以及定义域关于原点对称可求结果；C：令可求定点横坐标，代入解析式计算出定点纵坐标，则结果可知；D：根据对勾函数的图象求解出值域. 【详解】 对于A：命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B：因为是偶函数， 所以，所以且不恒为，所以， 因为的定义域为关于原点对称，所以，解得，所以，故B正确； 对于C：令，则，故，因此，故C错误； 对于D， 作出的图象如下图所示， 由图象可知，值域为，故D正确． 故选：BD． 7．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）已知且，函数 ，若在上单调递增，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数、二次函数以及分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】 因为且，函数 在上单调递增， 函数在上单调递增； 函数在上单调递增，则； 由题意可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 8．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】CD 【分析】 利用偶函数和单调函数的定义依次判断选项即可. 【详解】 对于A，函数的定义域为，因时，， 故在上是减函数，故A不符合； 对于B，的定义域为，令，由于，， 则，即不是偶函数，故B不符合； 对于C，函数 的定义域为，令，因， 则为偶函数，且当时，为增函数，故C符合； 对于D，函数的定义域为，其对称轴为轴， 该函数既是偶函数，又在上为增函数，故D符合. 故选：CD 9．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）函数是奇函数． （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）直接由奇函数的定义列方程求解即可； （2）由条件得在恒成立，转为求不等式右边函数的最小值即可得解. 【详解】 （1）函数是奇函数， ， 故， 故； （2）当时，恒成立， 即在恒成立， 令，， 显然在的最小值是， 故，解得：． 【点睛】 本题主要考查了奇函数求参及不等式恒成立求参，涉及参变分离的思想，属于基础题. 10．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）已知函数. （1）当时，求在区间上的最小值； （2）若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值. （2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 令，则由，可知的取值范围为， 故原函数可化为， 由对勾函数性质，可知在上单调递增， 因此在时取到最小值，此时， 所以当时，在上取到最小值. (2) 小问详解： 依题意， 故当时，. 因为，总存在，使得， 设在上取值的集合为集合，则有. 当时，显然有在区间上单调递增， 此时， 由可知 ，解得 当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此有，即， 因为时，，故时，在上单调递增， 此时， 由此可得 无解， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（       ）天参考数据：，， A. 18 B. 30 C. 51 D. 69 【答案】D 【分析】 结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】 设经过x天“进步”的值是“退步”的值的4倍， 则 ， 故选：D. 2．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）（1）已知（且），求的值； （2）化简：； （3）化简： 【答案】（1）27；（2）28；（3） 【分析】 （1）由幂的运算法则计算即可； （2）由根式的运算与幂的运算法则计算； （3）根据对数的运算法则及换底公式计算可得． 【详解】 （1）； （2） ； （3）原式. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）“”是“”（       ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【分析】 首先解对数不等式和指数不等式，即可得到答案. 【详解】 ，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 2．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）下列各组不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由指数函数及对数函数的单调性进行求解． 【详解】 对于A项，指数函数在上为增函数，则，故A项错误； 对于B项，，，则，故B项错误； 对于C项，，，则，故C项正确； 对于D项，指数函数在上为增函数，则，故D项错误． 故选：C 3．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）函数的单调递减区间为　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】试题分析：由题意可得： ，所以函数的单调递减区间为. 考点：函数的性质. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）（多选）已知 ，若存在，使得，则下列结论正确的有（       ） A. 实数的取值范围为 B. 的最大值为 C.  D. 取值范围为 【答案】AC 【分析】 作出函数的图象，利用和的图象有4个交点解出的范围判断A，根据是方程的两根判断B，根据是方程的两个根结合对数的运算性质判断C，利用及对勾函数的单调性判断D. 【详解】 根据题意作出的图象如下： 由图象可知当时函数的图象与有4个交点， 即存在，使得， 且，，，，选项A正确； 因为是方程，即的两根， 所以根据韦达定理得，结合可得不存在最大值，B错误； 因为是方程的两个根，且，， 所以，即， 所以，解得，C正确； 由是方程的两根可得， 因为，，所以， 令，,由对勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，即， 所以，D错误； 故选：AC 2．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）北京冬奥会以来，我国大力发展“冰雪经济”，2024年国务院印发了《国务院办公厅关于以冰雪运动高质量发展激发冰雪经济活力的若干意见》，推动冰雪经济成为新增长点．呼伦贝尔市积极响应号召，某滑雪场为了优化管理，对雪道进行数据统计分析．研究表明，雪道上滑雪者的速度（单位：）是滑雪者密度（单位：人）的函数，当雪道上滑雪者密度达到时，造成堵塞，此时滑雪者速度为0；当滑雪者密度不超过30人时，滑雪者速度为，研究表明：当时，（x，v）满足． （1）当时，求函数的表达式； （2）当滑雪者密度为多大时，滑雪者流量可以达到最大，并求出最大值．（滑雪者流量是指单位时间内通过雪道上某观测点的人数，单位：人/h） 【答案】（1）     （2）当滑雪者密度为90人/千米时，滑雪者流量可以达到最大，最大值2700人/小时      【分析】 （1）根据条件求得函数的表达式； （2）根据函数的单调性、二次函数的性质来求得正确答案. (1) 小问详解： 由题意：当时，； 当时，再由已知得 ，解得 ， 故函数的表达式为 ；. (2) 小问详解： 依题意并由（1）可得 当时，为增函数，故； 当时，， 所以，当时，在区间上取得最大值2700； 即当滑雪者密度为90人/千米时，滑雪者流量可以达到最大，最大值2700人/小时． 3．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. （1）求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） （2）当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 【答案】（1）     （2）当时，总费用最低，最低总费用是8万元.      【分析】 （1）由题意得铺设完工所需时间为天，根据题意分析得出函数解析式即可； （2）根据（1）中函数的解析式利用函数单调性和基本不等式分析求解即可. (1) 小问详解： 由题意，铺设完工所需时间为天，                               当时，, 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，是减函数， 所以当时，，                                      当时，，                             当且仅当时等号成立，，                                    因为，所以当时，总费用最低，最低总费用是8万元. 4．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）已知函数是偶函数，. （1）求的解析式； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； （3）若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）通过求得，验证即可； （2）由题知方程无解，利用指数函数和对数函数的性质求得函数的值域即可； （3）由题知，，利用换元法得，，最后分类讨论求函数最值即可. (1) 小问详解： 因为函数是偶函数，. 所以， 解得：，经验证符合题意， 所以 (2) 小问详解： 由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. (3) 小问详解： 由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $