专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，海南专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）（多选）已知，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）（多选）已知，且，则下列选项一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）设，则有（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·海南文昌中学）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 5．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）（多选）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）已知实数，满足，，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反映这一事实的不等关系为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知2＜x＜3，2＜y＜3.分别求 （1）2x＋y的取值范围； （2）x－y的取值范围； （3）xy的取值范围. 12．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）已知，，则的取值范围为　　　　. 13．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）若，则的最小值为（     ） A. 24 B. 26 C. 32 D. 92 2．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知，则（       ） A. 有最大值1 B. 有最小值1 C. 有最大值2 D. 有最小值2 3．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知，则的最小值为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）（多选）已知实数，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 6．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）（多选）已知，且，则（　　） A.  B.  C. 的最小值为 D. 的最小值为8 7．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）（多选）以下结论正确的是（       ） A. 函数的最小值是2； B. 若且，则； C. 的最小值是2； D. 函数的最大值为0． 8．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）（多选）已知，，且，则下列说法中正确的是（     ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 9．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若则 B. 若，则 C. 当时， D. 当时，的最小值是3 10．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知，求的最小值　　　　　　　　　　　　　　. 12．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知且，求的最大值. 13．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. （1）在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； （2）当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 14．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以的最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·海南文昌中学）设集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·海南文昌中学）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）若规定 ，则不等式 的解集为（       ） A. 或 B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 的解集为 C.  D. 的解集为 5．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）不等式的解集为（       ） A.  B. 或 C.  D.  6．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数、、、从小到大的排列是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·海南文昌中学）（多选）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（       ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 8．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 9．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）（多选）若函数的图象开口向下，且与x轴的两个交点是，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 10．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（     ） A. 有最大值 B.  C. 的解集为 D. 的解集为或 12．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A. 命题“”的否定是“” B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. “”的必要不充分条件是“” 13．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知函数. （1）当时，分别求出函数在上的最大值和最小值； （2）求关于的不等式的解集. 14．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 15．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）不等式的解集为　　　　　　. 16．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为　　　　　　　　. 17．（25-26学年高一上·海南文昌中学）某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 18．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 　　　　　　　　　　　　 . 19．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）已知函数，满足，. （1）若函数有最小值，且此最小值为，求函数的解析式； （2）若，记为函数在区间上的最大值，求的表达式. 20．（25-26学年高一上·海南文昌中学）设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集． 21．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. （1）求总造价关于的表达式，并求出的最小值； （2）由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 22．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 24．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）已知函数. （1）若对任意的都有成立，求实数的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 25．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）（1）比较与的大小. （2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围． 26．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）已知函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 27．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）已知二次函数同时满足下列两个条件：①的解集为；②的最小值为． （1）请求出，，的值； （2）函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围． 28．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）已知关于x的不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围是　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．BC 2．AD 3．D 4．ABD 5．AC 6．AB 7．D 8．A 9．B 10．C 11．【答案】（1）6<2x＋y<9；（2）－1<x－y<1；（3）4<xy<9. 【分析】 由2x＋y、x－y与x、y的线性关系，将2＜x＜3，2＜y＜3乘以相关系数，利用不等式同向可加性求它们的范围，xy由不等式的同向同正可乘性即可求范围 【详解】 （1）由2＜x＜3知4＜2x＜6，又2＜y＜3 ∴6＜2x＋y＜9，故2x＋y的取值范围为6< 2x＋y <9 （2）由2＜y＜3知－3＜－y＜－2，又2＜x＜3 ∴－1＜x－y＜1，故x－y的取值范围为－1< x－y <1 （3）∵2＜x＜3，2＜y＜3 ∴4＜xy＜9，故xy的取值范围为4< xy <9 【点睛】 本题考查了不等式性质，利用目标式与条件的线性关系，结合不等式的7条性质求目标式的范围 12．【答案】 【分析】 利用不等式的性质求解. 【详解】 ，，又， . 故答案为：. 13．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】 （1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 考点02 基本不等式 1．C 2．D 3．C 4．ACD 5．C 6．ABD 7．BD 8．AB 9．BC 10．D 11．【答案】 【分析】 利用基本不等式求得最小值. 【详解】 ， ， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 12．【答案】（1）7；（2）. 【分析】 （1）对所求式子进行变形配凑，结合已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果； （2）方法一，根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果.方法二对所有式子变形，再结合基本不等式，求出结果. 【详解】 （1）∵，即， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为7. （2）方法一： ，即 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 方法二：且 当且仅当，即时取等号 所以的最大值为 13．【答案】（1），     （2）5，2      【分析】 （1）根据图象即可求解； （2）由基本不等式求解的最大值即可. (1) 小问详解： 根据题意知，抛物线的顶点为，过点，开口向下， 设二次函数的解析式为， 所以，解得， 所以， (2) 小问详解： 由（1），得营运的年平均利润， 当且仅当，即时取等号．最大值为2. 14．【答案】（1） 甲错误，乙正确，理由如下： 同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合要求，故错误. 同学乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确；     （2）（i）； （ii）因为，，为正数，结合基本不等式， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号.      【分析】 （1）根据使用基本不等式的前提及等号成立条件判断甲乙解法是否正确即可； （2）（i）由题设，且，应用基本不等式求最小值，注意取值条件；（ii）利用基本不等式证明不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i），则， ， 当且仅当 ，即 时等号成立； （ii）略 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．B 2．C 3．C 4．BD 5．A 6．B 7．AD 8．D 9．ABC 10．B 11．ABD 12．ABD 13．【答案】（1）最大值为，最小值为；     （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.      【分析】 （1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可； （2）分类讨论求含参一元二次不等式解集. (1) 小问详解： 由题设，开口向上且对称轴为， 结合二次函数的图象，在上最大值为，最小值为. (2) 小问详解： 由题意， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 14．【答案】（1），     （2）9      【分析】 （1）根据不等式的解集，确定且的两根为和，再结合韦达定理即可求解； （2）先由题中条件，得到，再由展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】 （1）不等式的解集为，则，且的两根为和， 则 ，所以 ； （2）由，可得，即. 又，所以， 当且仅当时，即时等号成立. 15．【答案】或 【分析】 直接利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】 因为即，所以或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 16．【答案】 【分析】 由题可知，是方程的两个根，由韦达定理求出，从而得到不等式的解集. 【详解】 由题意得，是方程的两个根，故，即， 则不等式，即为，则其解集为， 故答案为：. 17．【答案】（1）第二年     （2）万元      【分析】 （1）由已知条件得出的解析式，解不等式，结合可得出结论； （2）设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合题意可求出总获利. (1) 小问详解： 由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. (2) 小问详解： 设年平均利润为，则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元． 18．【答案】 【分析】 利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】 方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 19．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，结合可得出、的值，即可得出函数的解析式； （2）分析函数在上的单调性，即可得出的表达式. (1) 小问详解： 因为函数，满足，， 即，，可得， 因为函数有最小值，且此最小值为，则， 且，整理得， 解得或， 当时，则，此时； 当时，则，此时. 综上所述，或. (2) 小问详解： 由（1）知， 因为时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，故. 20．【答案】（1）     （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为R； 当时，解集为或．      【分析】 （1）根据解集得出一元二次方程的根，再利用韦达定理建立方程进行求解； （2）根据，得出，再分，，，，进行分类讨论求解． (1) 小问详解： ∵不等式的解集为， 和2是方程的两个根，且， 由韦达定理可得， 解得， ． 即． (2) 小问详解： 当时，不等式， 即，即， ①当时，，解得； ②当时，不等式可化为， ∴． ③当时，不等式化为， 若，则或， 若，则 若，则或． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为R； 当时，解集为或． 21．【答案】（1），最小值为万元；     （2）.      【分析】 （1）根据已知用表示出地面的另一边，进而求出墙面面积，再写出表达式，应用基本不等式求最值，注意取值条件； （2）由已知得，整理为一元二次不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意，地面另一边的长度为米，则墙面面积为平方米， 所以，而， 当且仅当米时取等号，则的最小值为万元； (2) 小问详解： 由题意，可得， 所以，即. 22．【答案】 【分析】 根据分式不等式解法解出即可. 【详解】 由， 即， ， 解得：， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 23．【答案】（1）2     （2）     （3）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；      【分析】 （1）由二次不等式的解集得到对应二次方程的解，代入方程求得实数； （2）由题意得，讨论的值，得到函数的最大值，然后由不等式解得的取值范围； （3）列出不等式，通过讨论的不同取值，解对应不等式，得到不等式解集. (1) 小问详解： ，即不等式的解集为， 即方程的解，且， ∴ ， 解得. (2) 小问详解： 由题意可知， 当时，函数是开口向上的二次函数，在上没有最大值，舍去； 当时，函数是一次函数，在上没有最大值，舍去； 当时，函数， 即， ∴，∵，∴， 即，解得或， ∴. (3) 小问详解： ，即， 当时，，解得，不等式解集为：； 当时，， 当时，，∴，不等式解集为：； 当时，，∴或，不等式解集为：； 当时，，不等式解集为：； 当时，，∴或，不等式解集为：； 24．【答案】（1）；     （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立列式求解. （2）分类讨论求解含参数的不等式即可. (1) 小问详解： 对任意的，不等式， 当时，不等式对任意的不恒成立，则， 因此 ，即 ，解得， 所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： 不等式， 当时，； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为， 若，则或；若，则；若，则或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 25．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用作差法比较大小； （2）由题意将问题转化为方程有两个解，结合判别式判断即可. 【详解】 （1）因为， 因为， 所以， 所以. （2）若集合，中有两个元素， 则且， 所以或， 所以的取值范围为. 26．【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.     （2）.      【分析】 （1）通过移项、整理，转化为标准的一元二次不等式形式，再对这个一元二次不等式对应的一元二次方程求根，再根据这个一元二次不等式对应的二次函数的图象性质（开口方向、根的大小关系）来确定不等式的解集. （2）将不等式转化为小于等于一个关于的函数的形式，整理这个关于的函数的形式，利用基本不等式求出其最小值，从而确定的取值范围. (1) 小问详解： 由， 得， 令， 可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为，可得． 因为，得，所以，即. 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以 . 因为，所以，即实数的取值范围是. 27．【答案】（1），，     （2）      【分析】 （1）由题意得和3是方程的两根，进而得，，又由处取得最小值，进而求解； （2）由题意得解集为，分和两种情况即可求解. (1) 小问详解： 不等式的解集为， ，3是方程的两根， ，，即，， 函数在处取得最小值， ， 即，，； (2) 小问详解： 由（1）知，所以， 整理为解集为， 当时，不等式为，该不等式恒成立； 当时，必须满足 ，解得， 综上知实数的取值范围是． 28．【答案】或 【分析】 讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，求解不等式，并分析其解集中的整数解个数，从而得到实数a的取值范围. 【详解】 当时，. 若，则，即.所以关于x的不等式不止有3个整数解； 若，则，即.所以关于x的不等式不止有3个整数解. 所以. 当时，由得：. 令，则，或. 当时，，所以，则，所以不等式的解集为：或，显然不止有3个整数解. 当时，或. 若，则，则，所以不等式的解集为：. 因为，所以，.要使不等式恰有3个整数解，则这3个整数为，，，所以须使，解得. 若，则，则，所以不等式的解集为：. 因为，所以，.要使不等式恰有3个整数解，则这3个整数为1，2，3，所以须使，解得. 综上所述，实数a的取值范围是：或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）（多选）已知，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据不等式的基本性质进行判断. 【详解】 ∵， ∴，，， ∴，A错误，B正确； ∴，C正确； 不等式两边同乘以得：，故D错误． 故选：BC． 2．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）（多选）已知，且，则下列选项一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 已知，且，所以. 【详解】 已知，且，所以,的符号不确定，所以正确,错误; 由不等式性质，，所以错误； 由以及，两边同乘得到，所以正确. 故选：AD 3．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）设，则有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对作差，然后利用配方法和平方的非负性判断正负，即可得到. 【详解】 由已知，， 所以. 故选：D. 4．（25-26学年高一上·海南文昌中学）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【分析】 利用赋值法判断C，根据不等式的性质判断A、B、D. 【详解】 对于A.，则，，则，故A正确； 对于B.若，，则，故B正确； 对于C.当，满足，但，故C错误； 对于D.若，不等式两边同时乘以，不等号改变，即，故D正确． 故选：ABD． 5．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 利用不等式的性质，作差法一一分析选项即可. 【详解】 对于A：由，可得：，故，故A正确； 对于B，时不成立，故B错误； 对于C：若，则，所以，故C正确； 对于D：由，可得：， 故D错误. 故选：AC 6．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）（多选）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 由不等式的性质，特殊值法逐项分析判断即可. 【详解】 ，，，，故A正确； 由，可知，由不等式的性质可知， 所以，故B正确； 由于，当时，故C错误； 若，，则D错误. 故选：AB 7．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）已知实数，满足，，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据不等式性质直接可得取值范围. 【详解】 由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 8．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据条件，利用不等式的性质及特殊值法结合充分条件与必要条件的定义，即可求解. 【详解】 若，则有，所以； 若，比如，但是 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 9．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反映这一事实的不等关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 糖水（不饱和）将变得更甜即为浓度增加，由此可得不等式． 【详解】 向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，即为浓度增加：， 故选：B． 10．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）下列命题为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 通过举反例判断AB；利用不等式的性质判断CD. 【详解】 对于A：当时，，故A错误； 对于B：当时，，但，故B错误； 对于C：，，，故C正确； 对于D：，，，故D错误； 故选：C. 11．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知2＜x＜3，2＜y＜3.分别求 （1）2x＋y的取值范围； （2）x－y的取值范围； （3）xy的取值范围. 【答案】（1）6<2x＋y<9；（2）－1<x－y<1；（3）4<xy<9. 【分析】 由2x＋y、x－y与x、y的线性关系，将2＜x＜3，2＜y＜3乘以相关系数，利用不等式同向可加性求它们的范围，xy由不等式的同向同正可乘性即可求范围 【详解】 （1）由2＜x＜3知4＜2x＜6，又2＜y＜3 ∴6＜2x＋y＜9，故2x＋y的取值范围为6< 2x＋y <9 （2）由2＜y＜3知－3＜－y＜－2，又2＜x＜3 ∴－1＜x－y＜1，故x－y的取值范围为－1< x－y <1 （3）∵2＜x＜3，2＜y＜3 ∴4＜xy＜9，故xy的取值范围为4< xy <9 【点睛】 本题考查了不等式性质，利用目标式与条件的线性关系，结合不等式的7条性质求目标式的范围 12．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）已知，，则的取值范围为　　　　. 【答案】 【分析】 利用不等式的性质求解. 【详解】 ，，又， . 故答案为：. 13．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】 （1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）若，则的最小值为（     ） A. 24 B. 26 C. 32 D. 92 【答案】C 【分析】 利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】 因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 2．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知，则（       ） A. 有最大值1 B. 有最小值1 C. 有最大值2 D. 有最小值2 【答案】D 【分析】 由基本不等式求和的最小值. 【详解】 已知，则， 当且仅当，即时等号成立， 则有最小值. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知，则的最小值为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【分析】 将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】 由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故选：C. 4．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）（多选）已知实数，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项. 【详解】 对于A，当时，有，A选项正确； 对于B，当时，有，B选项错误； 对于C，若，则， 当且仅当时等号成立，C选项正确； 对于D，， ， 则， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 5．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】 实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 6．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）（多选）已知，且，则（　　） A.  B.  C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】ABD 【分析】 运用乘的方法以及基本不等式即可逐项判断. 【详解】 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，则A正确． ， 当且仅当时，等号成立，则B正确． ， 当且仅当时，等号成立，则C错误． 由，可得，所以， 则，所以的最小值为8，则D正确． 故选：ABD 7．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）（多选）以下结论正确的是（       ） A. 函数的最小值是2； B. 若且，则； C. 的最小值是2； D. 函数的最大值为0． 【答案】BD 【分析】 根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D. 【详解】 对于A，当时，结论显然不成立，故错误； 对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确； 对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误； 对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BD 8．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）（多选）已知，，且，则下列说法中正确的是（     ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 【答案】AB 【分析】 利用基本不等式可知A正确；由、结合基本不等式可求得BC正误；由，利用二次函数性质可求得D错误. 【详解】 对于A，（当且仅当时取等号）， 即的最大值为，A正确； 对于B，（当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，B正确； 对于C，（当且仅当时取等号）， 即的最小值为，C错误； 对于D，，又， 当时，取得最小值，D错误. 故选：AB. 9．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若则 B. 若，则 C. 当时， D. 当时，的最小值是3 【答案】BC 【分析】 利用不等式性质以及基本不等式依次判断选项即可. 【详解】 对于A，取，，，，则，故A不正确； 对于B，由于，则，即，故B正确； 对于C，当时，由基本不等式可得：，当且仅当，即时取等号,故C正确； 对于D，当时，，则, 当且仅当，即时取等号,由于，则无最小值，故D不正确； 故选：BC 10．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】 因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 11．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知，求的最小值　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用基本不等式求得最小值. 【详解】 ， ， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 12．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知且，求的最大值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】 （1）对所求式子进行变形配凑，结合已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果； （2）方法一，根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果.方法二对所有式子变形，再结合基本不等式，求出结果. 【详解】 （1）∵，即， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为7. （2）方法一： ，即 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 方法二：且 当且仅当，即时取等号 所以的最大值为 13．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. （1）在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； （2）当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 【答案】（1），     （2）5，2      【分析】 （1）根据图象即可求解； （2）由基本不等式求解的最大值即可. (1) 小问详解： 根据题意知，抛物线的顶点为，过点，开口向下， 设二次函数的解析式为， 所以，解得， 所以， (2) 小问详解： 由（1），得营运的年平均利润， 当且仅当，即时取等号．最大值为2. 14．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以的最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：. 【答案】（1） 甲错误，乙正确，理由如下： 同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合要求，故错误. 同学乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确；     （2）（i）； （ii）因为，，为正数，结合基本不等式， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号.      【分析】 （1）根据使用基本不等式的前提及等号成立条件判断甲乙解法是否正确即可； （2）（i）由题设，且，应用基本不等式求最小值，注意取值条件；（ii）利用基本不等式证明不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i），则， ， 当且仅当 ，即 时等号成立； （ii）略 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·海南文昌中学）设集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先解一元二次不等式得出集合，再应用交集定义计算求解. 【详解】 集合， 又因为，可得， 故选：B． 2．（25-26学年高一上·海南文昌中学）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出为真命题时的取值范围，再根据集合之间的关系来判断即可. 【详解】 因为，为真命题， 所以当时，原不等式为恒成立，满足题意； 当时，要使不等式恒成立，需满足 ， 解得； 综上：； 对A，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，错误； 对B，是命题“，”为真命题的充要条件，错误； 对C，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，正确； 对D，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，错误. 故选：C． 3．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）若规定 ，则不等式 的解集为（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 按照新的运算 ，则不等式 可化为：，解此二次不等式即可得出答案. 【详解】 由题意可知：不等式的解集 可化为 即，得． 所以不等式的解集为. 故选：C． 4．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 的解集为 C.  D. 的解集为 【答案】BD 【分析】 根据已知一元二次不等式的解集，可得，，，再给一元二次不等式的求解逐项判断即得. 【详解】 关于的不等式的解集为或， 故，且 ，整理得到，， 对选项A： ，错误； 对选项B：，即，解得，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，即，即， 解得，正确． 故选：BD 5．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）不等式的解集为（       ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 将不等式转化为，解分式不等式即可． 【详解】 ， 可得 ，解得， 故选：A． 6．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数、、、从小到大的排列是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 数形结合，判断、、、的大小. 【详解】 因为. 设函数，作函数，的图象如下： 由图可知： 故选：B 7．（25-26学年高一上·海南文昌中学）（多选）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（       ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 【答案】AD 【分析】 根据“和谐方程”的定义，逐一分析选项. 【详解】 对于A．，解得，所以是“和谐方程”，A正确； 对于B，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则， 解得，B错误； 对于C，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则，解得， 由，得， 则， 令，解得或，C错误； 对于D，点在反比例函数的图象上，则， 代入方程， 可得，解得，， 则，所以方程是“和谐方程”，D正确． 故选：AD． 8．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】D 【分析】 根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得. 【详解】 由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 所以，整理得，则， 结合x为正数，得，所以正数x的最大值为2． 故选：D． 9．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）（多选）若函数的图象开口向下，且与x轴的两个交点是，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 【答案】ABC 【分析】 根据给定条件， ，再逐项判断即可得解. 【详解】 依题意，方程的两根是，2，且， 即方程的两根是，2， 所以 ，联立可得，A对， 因为，，对于 当时，，B对， 等价于， 即， 解得，C对， 则等价于， 解得或，D错， 故选：ABC 10．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据新定义将题干表达式转化成一元二次不等式在上恒成立的问题. 【详解】 由题意可变形为，即， 化简可得恒成立， 所以恒成立， 化简可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 11．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（     ） A. 有最大值 B.  C. 的解集为 D. 的解集为或 【答案】ABD 【分析】 由题意分析出二次函数中的，即可判断A；由题意分析出一元二次方程的两根为-1和3，由韦达定理得到 ，将其分别代入B，C，D选项中的不等式，再结合化简或求解不等式，即可判断B，C，D. 【详解】 由题意可知二次函数的图象开口向下，即， 所以二次函数有最大值，故A正确； 由题意可知一元二次方程的两根为-1和3， 所以由韦达定理可得 ，即 . 将上式代入可得， 因为，所以，即，故B正确； 将代入可得，即， 因为，解得，所以的解集为，故C错误； 将 代入可得， 因为，所以上式可化为， 即，即， 解得（舍）或，解得或， 所以的解集为或，故D正确. 故选：ABD 12．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A. 命题“”的否定是“” B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. “”的必要不充分条件是“” 【答案】ABD 【分析】 根据存在量词命题的否定为全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定即可判断A；由不等式解集得到的根为，2，且，由韦达定理得到方程组，求出，即可判断B；根据基本不等式凑乘积为定值求最值并检验取等条件即可判断C；解不等式，根据充分条件与 必要条件即可判断D． 【详解】 对于A，命题“”的否定是“”，故A正确； 对于B，若不等式的解集为，则方程的两根为， 所以 ，解得 ，则，故B正确； 对于C，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，但，故的最小值不是5，故C不正确； 对于D，不等式的解为或，所以“”的必要不充分条件是“”，故D正确. 故选：ABD. 13．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知函数. （1）当时，分别求出函数在上的最大值和最小值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）最大值为，最小值为；     （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.      【分析】 （1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可； （2）分类讨论求含参一元二次不等式解集. (1) 小问详解： 由题设，开口向上且对称轴为， 结合二次函数的图象，在上最大值为，最小值为. (2) 小问详解： 由题意， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 14．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 【答案】（1），     （2）9      【分析】 （1）根据不等式的解集，确定且的两根为和，再结合韦达定理即可求解； （2）先由题中条件，得到，再由展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】 （1）不等式的解集为，则，且的两根为和， 则 ，所以 ； （2）由，可得，即. 又，所以， 当且仅当时，即时等号成立. 15．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）不等式的解集为　　　　　　. 【答案】或 【分析】 直接利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】 因为即，所以或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 16．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题可知，是方程的两个根，由韦达定理求出，从而得到不等式的解集. 【详解】 由题意得，是方程的两个根，故，即， 则不等式，即为，则其解集为， 故答案为：. 17．（25-26学年高一上·海南文昌中学）某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 【答案】（1）第二年     （2）万元      【分析】 （1）由已知条件得出的解析式，解不等式，结合可得出结论； （2）设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合题意可求出总获利. (1) 小问详解： 由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. (2) 小问详解： 设年平均利润为，则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元． 18．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 　　　　　　　　　　　　 . 【答案】 【分析】 利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】 方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 19．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）已知函数，满足，. （1）若函数有最小值，且此最小值为，求函数的解析式； （2）若，记为函数在区间上的最大值，求的表达式. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，结合可得出、的值，即可得出函数的解析式； （2）分析函数在上的单调性，即可得出的表达式. (1) 小问详解： 因为函数，满足，， 即，，可得， 因为函数有最小值，且此最小值为，则， 且，整理得， 解得或， 当时，则，此时； 当时，则，此时. 综上所述，或. (2) 小问详解： 由（1）知， 因为时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，故. 20．（25-26学年高一上·海南文昌中学）设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1）     （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为R； 当时，解集为或．      【分析】 （1）根据解集得出一元二次方程的根，再利用韦达定理建立方程进行求解； （2）根据，得出，再分，，，，进行分类讨论求解． (1) 小问详解： ∵不等式的解集为， 和2是方程的两个根，且， 由韦达定理可得， 解得， ． 即． (2) 小问详解： 当时，不等式， 即，即， ①当时，，解得； ②当时，不等式可化为， ∴． ③当时，不等式化为， 若，则或， 若，则 若，则或． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为R； 当时，解集为或． 21．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元. （1）求总造价关于的表达式，并求出的最小值； （2）由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围. 【答案】（1），最小值为万元；     （2）.      【分析】 （1）根据已知用表示出地面的另一边，进而求出墙面面积，再写出表达式，应用基本不等式求最值，注意取值条件； （2）由已知得，整理为一元二次不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意，地面另一边的长度为米，则墙面面积为平方米， 所以，而， 当且仅当米时取等号，则的最小值为万元； (2) 小问详解： 由题意，可得， 所以，即. 22．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分式不等式解法解出即可. 【详解】 由， 即， ， 解得：， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 23．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）2     （2）     （3）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；      【分析】 （1）由二次不等式的解集得到对应二次方程的解，代入方程求得实数； （2）由题意得，讨论的值，得到函数的最大值，然后由不等式解得的取值范围； （3）列出不等式，通过讨论的不同取值，解对应不等式，得到不等式解集. (1) 小问详解： ，即不等式的解集为， 即方程的解，且， ∴ ， 解得. (2) 小问详解： 由题意可知， 当时，函数是开口向上的二次函数，在上没有最大值，舍去； 当时，函数是一次函数，在上没有最大值，舍去； 当时，函数， 即， ∴，∵，∴， 即，解得或， ∴. (3) 小问详解： ，即， 当时，，解得，不等式解集为：； 当时，， 当时，，∴，不等式解集为：； 当时，，∴或，不等式解集为：； 当时，，不等式解集为：； 当时，，∴或，不等式解集为：； 24．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）已知函数. （1）若对任意的都有成立，求实数的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1）；     （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立列式求解. （2）分类讨论求解含参数的不等式即可. (1) 小问详解： 对任意的，不等式， 当时，不等式对任意的不恒成立，则， 因此 ，即 ，解得， 所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： 不等式， 当时，； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为， 若，则或；若，则；若，则或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 25．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）（1）比较与的大小. （2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用作差法比较大小； （2）由题意将问题转化为方程有两个解，结合判别式判断即可. 【详解】 （1）因为， 因为， 所以， 所以. （2）若集合，中有两个元素， 则且， 所以或， 所以的取值范围为. 26．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）已知函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.     （2）.      【分析】 （1）通过移项、整理，转化为标准的一元二次不等式形式，再对这个一元二次不等式对应的一元二次方程求根，再根据这个一元二次不等式对应的二次函数的图象性质（开口方向、根的大小关系）来确定不等式的解集. （2）将不等式转化为小于等于一个关于的函数的形式，整理这个关于的函数的形式，利用基本不等式求出其最小值，从而确定的取值范围. (1) 小问详解： 由， 得， 令， 可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为，可得． 因为，得，所以，即. 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以 . 因为，所以，即实数的取值范围是. 27．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）已知二次函数同时满足下列两个条件：①的解集为；②的最小值为． （1）请求出，，的值； （2）函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】（1），，     （2）      【分析】 （1）由题意得和3是方程的两根，进而得，，又由处取得最小值，进而求解； （2）由题意得解集为，分和两种情况即可求解. (1) 小问详解： 不等式的解集为， ，3是方程的两根， ，，即，， 函数在处取得最小值， ， 即，，； (2) 小问详解： 由（1）知，所以， 整理为解集为， 当时，不等式为，该不等式恒成立； 当时，必须满足 ，解得， 综上知实数的取值范围是． 28．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）已知关于x的不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，求解不等式，并分析其解集中的整数解个数，从而得到实数a的取值范围. 【详解】 当时，. 若，则，即.所以关于x的不等式不止有3个整数解； 若，则，即.所以关于x的不等式不止有3个整数解. 所以. 当时，由得：. 令，则，或. 当时，，所以，则，所以不等式的解集为：或，显然不止有3个整数解. 当时，或. 若，则，则，所以不等式的解集为：. 因为，所以，.要使不等式恰有3个整数解，则这3个整数为，，，所以须使，解得. 若，则，则，所以不等式的解集为：. 因为，所以，.要使不等式恰有3个整数解，则这3个整数为1，2，3，所以须使，解得. 综上所述，实数a的取值范围是：或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $