专题04 函数的基本性质（期中真题汇编，海南专用）高一数学上学期

专题04 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．B 2．A 3．C 4．B 5．ACD 6．A 7．A 8．D 9．AC 10．D 11．B 12．B 13．D 14．BCD 15．A 16．B 17．D 18．B 19．A 20．BCD 21．A 22．ABC 23．ABCD 24．ABD 25．ACD 26．C 27．ABD 28．【答案】（1）      （2）[2,4]；     （3）[1,4].      【分析】 （1）根据解析式确定相关点坐标，在坐标系上描点并画出函数大致图象即可. （2）（3）根据（1）所得的图象直接写出递减区间、不等式的解集即可. (1) 小问详解： ∴的大致图象如图所示： 0 1 2 3 4 0 1 2 1 (2) 小问详解： 由图知：函数的单调递减区间为[2,4]. (3) 小问详解： 由图知：不等式的解集为[1,4]. 29．【答案】 【分析】 根据函数是奇函数，得到，代入解析式求解即可. 【详解】 依题中条件知，， 故答案为：. 30．【答案】（1）     （2） 为偶函数. 由（1）知：的定义域关于原点对称，   又，所以为偶函数.      【分析】 （1）由求解即可得定义域； （2）先判断函数奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明即可. (1) 小问详解： 由题意，解得， 所以的定义域为； (2) 小问详解： 略 31．【答案】（1） 函数的减区间为和     （2） ，函数的值域为      【分析】 （1）根据偶函数关于纵轴对称，结合数形结合思想写出函数的减区间即可； （2）根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可. (1) 小问详解： 因为偶函数关于纵轴对称，所以补出完整函数图象如下图所示： 由图象可知：函数的减区间为和； (2) 小问详解： 当时，， 即 ， 当时，，显然， 根据偶函数的对称性可知：的值域为. 32．【答案】 【分析】 根据奇函数性质可求的函数解析式. 【详解】 设，则，因为是定义在R上的奇函数， 所以． 故答案为：. 33．【答案】 【分析】 根据函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. 【详解】 有题意： . 所以实数的取值范围为. 故答案为： 34．【答案】（1）单调递增，证明： 在上任取两个数，且， ，，， ， ，，， ，，在区间上单调递增.     （2）最大值为，最小值为1.      【分析】 （1）在上任取两个数，且，计算与0的大小，利用单调性定义得解； （2）由（1）的结论可知为最小值，为最大值，利用求出和，即得函数在区间上的最大值和最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在区间上单调递增， 在区间上为增函数， 在时，取最小值，且最小值为， 在时，取最大值，且最大值为. 35．【答案】（Ⅰ）函数为奇函数； （Ⅱ）证明：设且，则 ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0， 又∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0． ∴，即 因此函数在（0，1）上是减函数. （Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数． 【详解】 试题分析：（Ⅰ）首先求函数定义域并验证其定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义验证 即证；（Ⅱ）根据减函数的定义，证明当且时，总有即证；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知函数为奇函数，其图象关于原点对称，得在（﹣1，0）上是减函数． 试题解析：（Ⅰ）函数为奇函数，理由如下： 易知函数的定义域为：，关于坐标原点对称. 又 在定义域上是奇函数. （Ⅱ）略； （Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数． 考点：1、奇、偶函数的判定方法；2、函数单调性的判定方法；3、函数的单调区间. 36．【答案】 【分析】 利用函数的奇偶性和在上的单调性，判断函数在上的单调性，从而得到函数的正负，分、、三种情况讨论，得到使得成立的的取值范围. 【详解】 不妨设， 因为， 所以， 得函数在上单调递减， 因为是奇函数，所以在上也单调递减，且， 所以当时，， 当时，， 当时，， ①当时，要使得， 则要求，所以，解得，即； ②当时，符合； ③当时，要使得， 则要求，所以，解得，即； 综上，x的取值范围是， 故答案为： 37．【答案】（1），函数为奇函数     （2） 函数在上为增函数，证明如下： 任取、且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上为增函数.      【分析】 （1）由可求得的值，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论. (1) 小问详解： 因为，则，解得，所以， 函数的定义域为，函数为奇函数，理由如下： ， 故函数为奇函数. (2) 小问详解： 略 38．【答案】（1）时， ；     （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增；     （3）.      【分析】 （1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. (1) 小问详解： 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 39．【答案】36 【分析】 方法一：令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 方法二：由消元，转化为，并在同一坐标系下画出函数其图象，找到最低点即得答案. 【详解】 方法一：（配凑系数法）令，则． 为非负实数，且， ，因此． 且当时， 的最小值为36. 方法二：（转化为一元函数）由得， 令，则，在同一坐标系下画出函数的图象，如图．则函数的图象是图中的实线部分，显然点是图象的最低点． 40．【答案】（1）的定义域为，在上单调递增     （2）不存在，理由如下： 假设存在实数，使得在区间上的值域为. 由的单调性可知，，                                  即方程在上有两个不等实根，                                 由，得， 方程无实数根，故假设不成立，              即不存在实数，使得在区间上的值域为.     （3）      【分析】 （1）根据根式的定义由单调性求解即可； （2）利用反证法，结合二次函数的判别式证明即可； （3）设函数，可将原式转化为，再根据单调性与定义域求解即可. (1) 小问详解： 的定义域为，且在上单调递增. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设函数.                                            在区间上都是增函数， 函数在区间上也是增函数，                                  又， 等价于， 即，                                            ，解得， 故原不等式的解集为. 41．【答案】（1）奇函数     （2） 任取， 又，即 ，                                 故在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用奇偶函数的定义即可判断； （2）利用单调性的定义即可证明； （3）由（2）知，在上单调递增，当时，的最小值为，只要，解不等式即可得. (1) 小问详解： 的定义域为，且， 是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，，即的最小值大于或等于.                  由（2）知，在上单调递增， 当时，的最小值为.                             ，又， 即，解得， 即的取值范围是. 42．【答案】（1）     （2）函数是奇函数     （3） 任取，设， 则， , , , , ，且， ，，即， ，即， 在区间上单调递减．      【分析】 （1）代入法，将代入表达式即可求解的值； （2）根据函数奇偶性的定义，将代入的表达式，根据与的关系即可得出的奇偶性； （3）利用单调性的定义证明，任取两个自变量，将其函数值作差与0对比，进而得到单调性． (1) 小问详解： 由已知有，解得， 的值为1． (2) 小问详解： 函数的定义域为， 又， 函数是奇函数． (3) 小问详解： 略 43．【答案】（1） ；     （2）最小值为，最大值为．      【分析】 （1）当时，，时，由即可得解； （2）由配方法求二次函数在闭区间上的最值即可. (1) 小问详解： 依题意，函数是定义在R上的奇函数， 当时，， 当时，， 又是奇函数，， ∴的解析式为 ． (2) 小问详解： 依题意可知当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， ， 所以在区间上的最小值和最大值分别为和． 44．【答案】 【分析】 确定最大值4，得到，求解即可. 【详解】 ，可得函数的对称轴为：， 因为，所以当时，得到最大值为4， 所以不等式恒成立，即恒成立， 可得，解得 故答案为： 45．【答案】 【分析】 根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】 因为函数是定义在上的偶函数，则 ，解得， 故函数的定义域为， 且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以， ，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 46．【答案】 【分析】 利用奇函数的定义求解即可. 【详解】 设,则，则； 因为函数是定义在上的奇函数，所以, 则时，所以, 故答案为： 47．【答案】（1）     （2） 在和单调递减，在和单调递增， 证明：任取，且， 则， 因为，且， 所以，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 又函数为奇函数， 所以在单调递减，在单调递增， 综上在和单调递减，在和单调递增.      【分析】 （1）根据函数是奇函数，由，得，两者联立解得a，b，进而可得函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明函数的单调性. (1) 小问详解： 因为，且是奇函数， 所以， 所以 ，解得 ， 此时，定义域为，关于原点对称， 且，满足题意， 所以. (2) 小问详解： 略 48．【答案】 【分析】 根据题意，分，和，三种情况讨论，结合一次函数的性质，分别求得各段上函数的值域，即可得到答案. 【详解】 当时，可得，此时； 当时，可得，此时，可得； 当时，可得，此时，可得， 所以当时，函数的值域为. 故答案为：. 49．【答案】（1）         （2） ，    ；      【分析】 （1）根据解析式直接作出图像即可； （2）根据的定义可得解析式和图象. (1) 小问详解： 图象如下图所示， (2) 小问详解： 令，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 则当时，；当时，；当时，； ； 图象法表示如下： 50．【答案】（1），     （2）在上单调递增. 证明：假设且，，则， 令，，, 代入中， 故 ， 即：.即：函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用赋值法令即可求出，再令，即可求出； （2）假设且，，赋值，，代入计算得即可证明其单调性； （3）对原不等式化简整理得，再进行等价转化，代入端点值得到不等式组，解出即可. (1) 小问详解： 令代入中， 则； 令，代入中，， 而，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由 又且，故： 又因为函数在上单调递增， 故等价于， 使得成立.即： . 令，则 ， 即：，则. 【点睛】 关键点点睛：本题第三问的关键是原不等式等价转化为使得成立，再代入端点值得到不等式组，利用换元法解出不等式组即可. 51．【答案】（1） 函数在上单调递增； 证明：任取且， ， ， ， ，即， 函数在上单调递增．     （2）     （3） 【分析】 （1）结合已知条件，利用定义法证明函数单调性； （2）利用函数单调性求值域； （3）结合（2）的结论对函数进行换元化简，利用函数的性质分情况讨论求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数在上单调递增， ， 的值域为． (3) 小问详解： 令，由（2）可知， ， ，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，函数在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值， 即； 当时，函数在上单调递减，． 综上，函数的最小值 ． 52．【答案】（1） 因为是定义在上的奇函数， 所以，解得，， 任取且， 则， 因为，可得且， 所以，即， 所以函数在上是增函数；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用奇函数先求，再利用单调性的定义即可得证； （2）由奇函数得，又由（1）知的单调性，得，利用一元二次不等式解出即可； （3）由得，又恒成立，得恒成立，设，即恒成立，利用均值不等式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为不等式恒成立，为奇函数， 所以恒成立， 由函数在上是增函数，所以， 即， 所以实数的取值范围为； (3) 小问详解： 当时，函数满足， 将代入，则， 不等式恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 设，则，即恒成立， 由均值不等式可得：当时，取最小值， 故，即实数的最大值为. 53．【答案】（1），     （2） 若为中心对称函数， 则在定义域内有恒成立． ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有成立，系数必须分别等于零： ，解得： ． 是中心对称图形，且对称中心是．     （3）      【分析】 （1）应用函数对称中心定义结合已知计算求解； （2）应用中心对称定义再应用待定系数法计算求解； （3）由（2）知，，再分组求和计算求值. (1) 小问详解： 由在上的函数的图象关于点中心对称，且， 则，，， ，， ，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知，；， ． 经检验，时，一致；时，一致，所以． 54．【答案】 【分析】 根据函数的单调性，分别求得函数和的值域构成的集合，结合题意，得到，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由题意，函数在为单调递减函数，可得， 即函数的值域为集合， 又由函数在区间 上单调递增，可得， 即函数的值域构成集合， 又由， ，使成立，即 , 则满足 ，解得 ， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 55．【答案】4 【分析】 分离常数，易得关于对称，即可求解 【详解】 .因为是定义在上的奇函数，所以，故关于对称，所以4. 故答案为：4. 56．【答案】 【分析】 根据条件分析函数的性质，结合函数简图分类讨论可解不等式. 【详解】 由题意得，，，函数在上单调递增， 函数的图象大致如下： ∵，∴ 或 ， 当时，或，解得， 当时，或，解得， 综上得，满足的x的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的性质画出简图，根据函数图象分析讨论可解不等式. 57．【答案】（1）奇函数，证明： 因为的定义域为，且对，，， 令，则，则； 令，则，则，即， 所以函数是奇函数.     （2） 证明：设任意的且，由， 则. 又当时，，所以当时，有， 所以，即， 所以函数在上是减函数.     （3）      【分析】 （1）根据所给关系式，令，即可求出，再令，即可得到与的关系，即可判断； （2）利用定义法证明，结合时，即可证明； （3）求出的值域，从而得到恒成立，设，即可得到 ，解得即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以， 又在上单调递减，所以， 所以恒成立， 等价于：恒成立， 即恒成立， 设，是关于的一次函数， 所以 ，即 ，则 ， 所以. 58．【答案】（1）是“依赖函数”；理由：是“依赖函数”，对于函数的定义域内任意， 若，则， 对任意，都有唯一的的倒数使得等式成立，故是“依赖函数”；     （2）     （3）      【分析】 （1）由进行判断. （2）根据函数的单调性列方程，结合“依赖函数”的知识求得. （3）根据函数的单调性列方程，化简不等式，利用判别式来求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，在是严格增函数， 故，即， 由，得，又，所以 ， 解得 ，故. (3) 小问详解： 因，故在上单调递增， 从而，即，进而， 解得或舍， 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立， 故，即， 整理，得对任意的恒成立. 即方程无实根或有两个相等的实根， 所以，解得，即实数的取值范围是 【点睛】 方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 0 2．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）下列图象表示的函数为减函数的是（     ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知函数 则的最小值是（     ） A.  B.  C. 0 D. 1 4．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知函数 是上的增函数，则的取值范围是  （     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）（多选）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中正确的是（       ） A. 的单调递增区间为和 B.  C. 的最大值为4 D. 当时， 6．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）已知函数在定义域上是奇函数又是减函数,若,则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）（多选）下列函数中，在上是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      11．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）若函数为奇函数，则（     ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 13．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（     ） A. 的值域为 B. 满足 C.  D. 存在x，y是无理数，使得 15．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（       ） A. 在区间上单调递增 B. 函数的值域为 C.  D. 的值域为 19．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）设：函数在上单调递增，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 20．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 的最小值为2 21．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）已知函数，若，则（       ） A. 4 B.  C. 14 D.  22．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.设，，则下列说法正确的是（       ） A. 函数的值域为 B.  C. 当时， D. 函数在定义域上为奇函数 23．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）（多选）以数学家约翰⋅卡尔⋅弗里德里希⋅高斯的名字命名的“高斯函数”为，在数学中有着广泛应用.其中表示不超过的最大整数，例如，，则（       ） A. ， B. 函数的值域为 C. 不等式的解集为 D. 方程的解集为 24．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）（多选）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（     ） A.  B.  C. 在R上单调递增 D. 的解集为 25．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）（多选）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（     ） A.  B.  C.  D. 在上单调递减 26．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）已知函数 满足，对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）（多选）若，其中表示中的最大者，表示中的最小者，下列说法正确的是（       ） A. 函数为偶函数 B. 当时，有 C. 不等式的解集为 D. 当x∈ [-3,-2]∪ [2,3]时，有 28．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知函数 . （1）在图中画出函数的大致图象； （2）写出函数的单调递减区间； （3）写出不等式的解集. 0 1 2 3 4 0 1 2 1 29．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则　　　　　　． 30．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）设函数 （1）求的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明. 31．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时， （1）现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的减区间； （2）写出函数的解析式和值域． 32．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，　　　　　　． 33．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知为定义在上为减函数，且，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 34．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）已知函数. （1）判断在区间上的单调性并用定义法证明； （2）求出该函数在区间上的最大值和最小值. 35．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）用定义证明在上是减函数； （3）函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）． 36．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）若定义在上的奇函数，对，，且，有且，则满足的的取值范围是　　　　　　　　　　. 37．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）已知函数，且. （1）求实数的值，并判断的奇偶性； （2）判断并证明函数在上单调性. 38．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 39．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）对于实数，，，记为，，中的最大者，例如：，．若非负实数，满足，则的最小值为　　　　　． 40．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知函数. （1）求的定义域，并判断其在定义域上的单调性.（直接给出结论即可） （2）是否存在实数，使得在区间上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. （3）求不等式的解集. 41．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知函数，其中. （1）判断的奇偶性； （2）用定义证明：在上单调递增； （3）若当时，，求的取值范围. 42．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）求证：在区间上单调递减. 43．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最小值和最大值． 44．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）若任意实数使不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　. 45．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是　　　　　　. 46．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，　　　　　　　　　　. 47．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并证明函数在定义域上的单调性. 48．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为　　　　　　． 49．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）已知函数，.    （1）在图1同一坐标系中画出函数，的图象： （2），用表示，中的最小者，记作，分别用图象法（图2）和解析法表示函数. 50．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）已知的定义域为，对，，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对于，，使得成立，求实数的取值范围. 51．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知函数． （1）判断函数单调性并证明； （2）求函数的值域； （3）设，，，求函数的最小值． 52．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知是定义在上的奇函数． （1）求的值，求证：函数在上是增函数； （2）若不等式成立，求实数的取值范围； （3）函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值． 53．（25-26学年高一上·海南文昌中学）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． （1）已知定义上的函数的图象关于点中心对称，则有，当时，求的值； （2）探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． （3）运用第（2）问的结论，求的值，其中． 54．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是　　　　　　． 55．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则　　　　　　　　　　. 56．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是　　　　　　 57．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有且当时，. （1）判断并证明的奇偶性； （2）求证：函数在上是减函数； （3）若，且，恒成立，求实数的取值范围. 58．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并简要说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 0 【答案】B 【分析】 根据函数奇偶性的性质列出方程组求解即可得到答案. 【详解】 因为函数是定义在上的偶函数 所以函数定义域关于原点对称，且. 则 ，解得 . 所以. 故选：B 2．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）下列图象表示的函数为减函数的是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据图象和减函数定义依次判断各个选项即可. 【详解】 对于A，该函数随着的增大，的取值在减小，符合减函数定义，A正确； 对于B，该函数随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，B错误； 对于C，该函数在轴右侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，C错误； 对于D，该函数在轴左侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，D错误. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知函数 则的最小值是（     ） A.  B.  C. 0 D. 1 【答案】C 【分析】 数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】 根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 4．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知函数 是上的增函数，则的取值范围是  （     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，，根据分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的单调性得到不等式，解得范围. 【详解】 设，， 由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增， ． 故选：B. 5．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）（多选）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中正确的是（       ） A. 的单调递增区间为和 B.  C. 的最大值为4 D. 当时， 【答案】ACD 【分析】 A选项，先得到时，单调递增，当时，单调递减，结合函数的奇偶性得到A正确；B选项，由函数奇偶性和单调性得到；C选项，由函数单调性得到最大值为；D选项，利用函数奇偶性得到. 【详解】 A选项，当时，， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 又是定义在R上的偶函数，故当时，单调递增， 综上，的单调递增区间为和，A正确； B选项，由A选项，当时，单调递减，，B错误； C选项，由A选项，在和上单调递增，在和上单调递减， 故当和时，取得最大值，最大值为，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：ACD 6．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】 由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 7．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）已知函数在定义域上是奇函数又是减函数,若,则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据奇函数的定义域关于原点中心对称,可求得;根据奇函数性质、定义域及函数的单调性,解不等式组即可得的取值范围. 【详解】因为函数是奇函数,且定义域 所以,解得 即定义域为 因为,即 因为函数是奇函数 所以 函数是减函数 所以 在定义域内满足 ,解不等式组可得 得,即 故选:A 【点睛】本题考查了函数奇偶性的和单调性的综合应用,不等式组的解法,属于基础题. 8．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一次函数、二次函数、绝对值函数、分式型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】 A：因为中的系数为， 所以该函数是实数集的减函数，不符合题意； B：，该函数的对称轴为， 因此当时该函数是增函数，显然不成立，不符合题意； C：当时，，此时该函数单调递减，不符合题意； D：当时，单调递增，符合题意， 故选：D 9．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）（多选）下列函数中，在上是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可． 【详解】 对于A，在单调递增，故A符合题意； 对于B，在上单调递减，在上单调递增，故B不合题意； 对于C，在上单调递减，在单调递增，故C符合题意； 对于D，在上单调递减，故D不合题意； 故选：AC． 10．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】 对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 11．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由二次函数及反比例函数的性质求解即可. 【详解】 ∵函数在上单调递减, 当时，单调递减， ，解得； 当时，单调递减， ； 又函数在上单调递减， ， 解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B． 12．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）若函数为奇函数，则（     ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【分析】 利用奇函数的性质来求解即可. 【详解】 函数为奇函数，，即，解得，经验证，此时为奇函数. 故选：. 13．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，在上单调递增. 所以当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式可变形为 或 ， ① ，解得；② ，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：D. 14．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（     ） A. 的值域为 B. 满足 C.  D. 存在x，y是无理数，使得 【答案】BCD 【分析】 根据函数解析式得值域、定义域，可判断AB；代入运算可判断C；举特例可判断D. 【详解】 对于A，的函数值只可能是0或1，所以的值域为，故A错误； 对于B，若，则，可得； 若，则，可得． 综上所述，对于任意，总有成立，故B正确； 对于C，若，则，可得， 若，则，可得， 综上所述，，故C正确； 对于D，取，则，故D正确． 故选：BCD． 15．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意作出函数的图象的示意图，不等式等价于 或 ，结合图象求解即可. 【详解】 因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图象的示意图如图所示，    由图象知当或时，；当时，， 不等式等价于 或 ， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 16．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据奇函数定义及应用解析式的单调性判断各个选项. 【详解】 对于A：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，A选项错误； 对于B：函数定义域为，，所以函数是奇函数， 在定义域内单调递增，B选项正确； 对于C：在区间上单调递减的，C选项错误； 对于D：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误； 故选：B. 17．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据单调性定义及偶函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，然后结合，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】 已知是定义在上的偶函数，则， 又对任意，且，都有， 所以函数在上单调递减，则由偶函数性质可知函数在上单调递增， 又，所以， 根据函数的单调性可知等价为 或 ， 即 或 ，解得或， 即不等式的解集为. 故选：D． 18．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（       ） A. 在区间上单调递增 B. 函数的值域为 C.  D. 的值域为 【答案】B 【分析】 根据的图像及定义分别判断各个选项即可. 【详解】 作出的部分图像如下所示： A．由图像知在区间上单调递增，A选项正确； B．的值域为，B选项错误； C．，C选项正确； D．根据高斯函数的定义及的值域为，所以的值域为，D选项正确． 故选：B． 19．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）设：函数在上单调递增，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 对于，由二次函数性质可求得的范围，根据真子集关系得充分不必要条件即可. 【详解】 函数对称轴为，在上单调递增则， 因为是的真子集，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 20．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【分析】 由分母不为0，排除A，验证，判定为偶函数，通过导数判断单调性，用基本不等式求最小值. 【详解】 对于选项A：的定义域为，并非全体实数 ，故A错误. 对于选项B：的定义域为，且   ，因此   是偶函数，故B正确. 对于 选项C：对 求导得，当 时，，故 在    上单调递增，C正确.  对于选项D：由基本不等式，（当且仅当    ，即   时取等号），故 的最小值为2，D正确. 故选：BCD 21．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）已知函数，若，则（       ） A. 4 B.  C. 14 D.  【答案】A 【分析】 由题可得为奇函数，然后由奇函数性质可得a，然后可得答案. 【详解】 设，则， 又的定义域为，从而是奇函数，即， 故，即. 因为，所以，解得， 则，故. 故选：A 22．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.设，，则下列说法正确的是（       ） A. 函数的值域为 B.  C. 当时， D. 函数在定义域上为奇函数 【答案】ABC 【分析】 根据高斯函数的定义分析A、B选项；根据高斯函数的定义代入化简的解析式，可判断C选项；根据的值判断D选项. 【详解】 ，，使得，则， 因为，所以， 所以，即的值域为，故A正确； 又因为，所以， 所以，故B正确； 当时，，所以，故C正确； 因为，，所以， 显然不可能是奇函数，故D错误； 故选：ABC. 23．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）（多选）以数学家约翰⋅卡尔⋅弗里德里希⋅高斯的名字命名的“高斯函数”为，在数学中有着广泛应用.其中表示不超过的最大整数，例如，，则（       ） A. ， B. 函数的值域为 C. 不等式的解集为 D. 方程的解集为 【答案】ABCD 【分析】 对于A选项，根据的定义运算分析证明；对于B选项，表示的小数部分，再求解即可；对于C选项，根据题意，结合一元二次不等式运算求解即可；对于D选项，根据题意，解得或，进而求解即可. 【详解】 对于A选项，设的整数部分为，小数部分为，则，，得，故A正确； 对于B选项，表示的小数部分，所以值域为，故B正确； 对于C选项，令，所以，解得，即，所以，故C正确； 对于D选项，由知，为整数且，解得，可知，即，因为，即，由，解得，可得，由，解得或（舍），，即或，所以当时，，解得，当时，，解得，故D正确. 故选：ABCD. 24．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）（多选）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（     ） A.  B.  C. 在R上单调递增 D. 的解集为 【答案】ABD 【分析】 令计算可得，即A正确，利用奇函数定义可证明B正确，由函数性质以及单调性定义证明可得在R上单调递减，可得C错误，根据函数单调性整理表达式并解不等式可得D正确. 【详解】 对于A，令可得可得，因此A正确； 对于B，令可得，因此B正确； 对于C，取任意，且，则可得， 又因为当时，，所以 所以， 因此，所以， 可知在R上单调递减，因此C错误； 对于D，由可得， 也即，因此， 结合C中单调性可知，即，解得； 因此不等式的解集为,可得D正确. 故选：ABD 25．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）（多选）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（     ） A.  B.  C.  D. 在上单调递减 【答案】ACD 【分析】 对于A和B：对赋值即可判断AB的正误； 对于C：结合A及已知条件得又时，，可得当时，易得； 对于D：结合C用作商法比较的大小，进而用定义可证明函数的单调性. 【详解】 对于A：令得又 ，故A正确； 对于B：令得 令得， 令得，故B不正确； 对于C：由A知，当时，，令则又时，，，所以，又所以当时，所以，故C正确； 对于D：结合AC知，设因为所以，又，所以，所以故在上单调递减.故D正确. 故选：ACD 26．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）已知函数 满足，对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据分段函数单调性的性质，列出不等式，求出参数范围即可； 【详解】 由题意得，对于任意实数，都有成立， 不妨设，则，所以在上单调递减， 所以 ，解得． 故选：C. 27．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）（多选）若，其中表示中的最大者，表示中的最小者，下列说法正确的是（       ） A. 函数为偶函数 B. 当时，有 C. 不等式的解集为 D. 当x∈ [-3,-2]∪ [2,3]时，有 【答案】ABD 【分析】 根据已知得到 ，画出函数大致图象，数形结合判断A；根据时，应用凑配法得到判断B；令，则求范围，再结合解析式，应用分类讨论求解集，判断C；根据奇偶性，时，有等价于，即可判断D. 【详解】 若，解得或， 结合二次函数和一次函数知 ， 若，解得或， 结合二次函数和一次函数知 ， 所以 ， 画出的图象如下， 结合图象及，知为偶函数，故A正确； 当时，即，所以， 所以，所以成立，故B正确； 对于C，令，则， 当时，，解得， 当时，，解得或，又，所以， 当时，，解得， 综上，，故， 当时，，解得， 当时，，解得或， 当时，，解得， 综上，不等式的解集为，故C错误； 对于D，当，令， 结合偶函数的性质，时，则等价于， 结合B分析，当时，有成立，故D正确． 故选：ABD 28．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知函数 . （1）在图中画出函数的大致图象； （2）写出函数的单调递减区间； （3）写出不等式的解集. 【答案】（1）      （2）[2,4]；     （3）[1,4].      【分析】 （1）根据解析式确定相关点坐标，在坐标系上描点并画出函数大致图象即可. （2）（3）根据（1）所得的图象直接写出递减区间、不等式的解集即可. (1) 小问详解： ∴的大致图象如图所示： 0 1 2 3 4 0 1 2 1 (2) 小问详解： 由图知：函数的单调递减区间为[2,4]. (3) 小问详解： 由图知：不等式的解集为[1,4]. 29．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数是奇函数，得到，代入解析式求解即可. 【详解】 依题中条件知，， 故答案为：. 30．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）设函数 （1）求的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明. 【答案】（1）     （2） 为偶函数. 由（1）知：的定义域关于原点对称，   又，所以为偶函数.      【分析】 （1）由求解即可得定义域； （2）先判断函数奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明即可. (1) 小问详解： 由题意，解得， 所以的定义域为； (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时， （1）现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的减区间； （2）写出函数的解析式和值域． 【答案】（1） 函数的减区间为和     （2） ，函数的值域为      【分析】 （1）根据偶函数关于纵轴对称，结合数形结合思想写出函数的减区间即可； （2）根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可. (1) 小问详解： 因为偶函数关于纵轴对称，所以补出完整函数图象如下图所示： 由图象可知：函数的减区间为和； (2) 小问详解： 当时，， 即 ， 当时，，显然， 根据偶函数的对称性可知：的值域为. 32．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据奇函数性质可求的函数解析式. 【详解】 设，则，因为是定义在R上的奇函数， 所以． 故答案为：. 33．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知为定义在上为减函数，且，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. 【详解】 有题意： . 所以实数的取值范围为. 故答案为： 34．（25-26学年高一上·海南儋州思源高级中学·期中）已知函数. （1）判断在区间上的单调性并用定义法证明； （2）求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递增，证明： 在上任取两个数，且， ，，， ， ，，， ，，在区间上单调递增.     （2）最大值为，最小值为1.      【分析】 （1）在上任取两个数，且，计算与0的大小，利用单调性定义得解； （2）由（1）的结论可知为最小值，为最大值，利用求出和，即得函数在区间上的最大值和最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在区间上单调递增， 在区间上为增函数， 在时，取最小值，且最小值为， 在时，取最大值，且最大值为. 35．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）用定义证明在上是减函数； （3）函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）． 【答案】（Ⅰ）函数为奇函数； （Ⅱ）证明：设且，则 ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0， 又∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0． ∴，即 因此函数在（0，1）上是减函数. （Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数． 【详解】 试题分析：（Ⅰ）首先求函数定义域并验证其定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义验证 即证；（Ⅱ）根据减函数的定义，证明当且时，总有即证；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知函数为奇函数，其图象关于原点对称，得在（﹣1，0）上是减函数． 试题解析：（Ⅰ）函数为奇函数，理由如下： 易知函数的定义域为：，关于坐标原点对称. 又 在定义域上是奇函数. （Ⅱ）略； （Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数． 考点：1、奇、偶函数的判定方法；2、函数单调性的判定方法；3、函数的单调区间. 36．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）若定义在上的奇函数，对，，且，有且，则满足的的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用函数的奇偶性和在上的单调性，判断函数在上的单调性，从而得到函数的正负，分、、三种情况讨论，得到使得成立的的取值范围. 【详解】 不妨设， 因为， 所以， 得函数在上单调递减， 因为是奇函数，所以在上也单调递减，且， 所以当时，， 当时，， 当时，， ①当时，要使得， 则要求，所以，解得，即； ②当时，符合； ③当时，要使得， 则要求，所以，解得，即； 综上，x的取值范围是， 故答案为： 37．（25-26学年高一上·海南师范大学附属中学·期中）已知函数，且. （1）求实数的值，并判断的奇偶性； （2）判断并证明函数在上单调性. 【答案】（1），函数为奇函数     （2） 函数在上为增函数，证明如下： 任取、且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上为增函数.      【分析】 （1）由可求得的值，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论. (1) 小问详解： 因为，则，解得，所以， 函数的定义域为，函数为奇函数，理由如下： ， 故函数为奇函数. (2) 小问详解： 略 38．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ；     （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增；     （3）.      【分析】 （1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. (1) 小问详解： 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 39．（25-26学年高一上·海南海口海南中学·期中）对于实数，，，记为，，中的最大者，例如：，．若非负实数，满足，则的最小值为　　　　　． 【答案】36 【分析】 方法一：令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 方法二：由消元，转化为，并在同一坐标系下画出函数其图象，找到最低点即得答案. 【详解】 方法一：（配凑系数法）令，则． 为非负实数，且， ，因此． 且当时， 的最小值为36. 方法二：（转化为一元函数）由得， 令，则，在同一坐标系下画出函数的图象，如图．则函数的图象是图中的实线部分，显然点是图象的最低点． 40．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知函数. （1）求的定义域，并判断其在定义域上的单调性.（直接给出结论即可） （2）是否存在实数，使得在区间上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. （3）求不等式的解集. 【答案】（1）的定义域为，在上单调递增     （2）不存在，理由如下： 假设存在实数，使得在区间上的值域为. 由的单调性可知，，                                  即方程在上有两个不等实根，                                 由，得， 方程无实数根，故假设不成立，              即不存在实数，使得在区间上的值域为.     （3）      【分析】 （1）根据根式的定义由单调性求解即可； （2）利用反证法，结合二次函数的判别式证明即可； （3）设函数，可将原式转化为，再根据单调性与定义域求解即可. (1) 小问详解： 的定义域为，且在上单调递增. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设函数.                                            在区间上都是增函数， 函数在区间上也是增函数，                                  又， 等价于， 即，                                            ，解得， 故原不等式的解集为. 41．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知函数，其中. （1）判断的奇偶性； （2）用定义证明：在上单调递增； （3）若当时，，求的取值范围. 【答案】（1）奇函数     （2） 任取， 又，即 ，                                 故在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用奇偶函数的定义即可判断； （2）利用单调性的定义即可证明； （3）由（2）知，在上单调递增，当时，的最小值为，只要，解不等式即可得. (1) 小问详解： 的定义域为，且， 是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，，即的最小值大于或等于.                  由（2）知，在上单调递增， 当时，的最小值为.                             ，又， 即，解得， 即的取值范围是. 42．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）求证：在区间上单调递减. 【答案】（1）     （2）函数是奇函数     （3） 任取，设， 则， , , , , ，且， ，，即， ，即， 在区间上单调递减．      【分析】 （1）代入法，将代入表达式即可求解的值； （2）根据函数奇偶性的定义，将代入的表达式，根据与的关系即可得出的奇偶性； （3）利用单调性的定义证明，任取两个自变量，将其函数值作差与0对比，进而得到单调性． (1) 小问详解： 由已知有，解得， 的值为1． (2) 小问详解： 函数的定义域为， 又， 函数是奇函数． (3) 小问详解： 略 43．（25-26学年高一上·海南三亚第二中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最小值和最大值． 【答案】（1） ；     （2）最小值为，最大值为．      【分析】 （1）当时，，时，由即可得解； （2）由配方法求二次函数在闭区间上的最值即可. (1) 小问详解： 依题意，函数是定义在R上的奇函数， 当时，， 当时，， 又是奇函数，， ∴的解析式为 ． (2) 小问详解： 依题意可知当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， ， 所以在区间上的最小值和最大值分别为和． 44．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）若任意实数使不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 确定最大值4，得到，求解即可. 【详解】 ，可得函数的对称轴为：， 因为，所以当时，得到最大值为4， 所以不等式恒成立，即恒成立， 可得，解得 故答案为： 45．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】 因为函数是定义在上的偶函数，则 ，解得， 故函数的定义域为， 且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以， ，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 46．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用奇函数的定义求解即可. 【详解】 设,则，则； 因为函数是定义在上的奇函数，所以, 则时，所以, 故答案为： 47．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并证明函数在定义域上的单调性. 【答案】（1）     （2） 在和单调递减，在和单调递增， 证明：任取，且， 则， 因为，且， 所以，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 又函数为奇函数， 所以在单调递减，在单调递增， 综上在和单调递减，在和单调递增.      【分析】 （1）根据函数是奇函数，由，得，两者联立解得a，b，进而可得函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明函数的单调性. (1) 小问详解： 因为，且是奇函数， 所以， 所以 ，解得 ， 此时，定义域为，关于原点对称， 且，满足题意， 所以. (2) 小问详解： 略 48．（25-26学年高一上·海南陵水黎族自治县华中师范大学顺湖中学·期中）函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，分，和，三种情况讨论，结合一次函数的性质，分别求得各段上函数的值域，即可得到答案. 【详解】 当时，可得，此时； 当时，可得，此时，可得； 当时，可得，此时，可得， 所以当时，函数的值域为. 故答案为：. 49．（25-26学年高一上·海南华侨中学·期中）已知函数，.    （1）在图1同一坐标系中画出函数，的图象： （2），用表示，中的最小者，记作，分别用图象法（图2）和解析法表示函数. 【答案】（1）         （2） ，    ；      【分析】 （1）根据解析式直接作出图像即可； （2）根据的定义可得解析式和图象. (1) 小问详解： 图象如下图所示， (2) 小问详解： 令，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 则当时，；当时，；当时，； ； 图象法表示如下： 50．（25-26学年高一上·海南临高县临高中学·期中）已知的定义域为，对，，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对于，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），     （2）在上单调递增. 证明：假设且，，则， 令，，, 代入中， 故 ， 即：.即：函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用赋值法令即可求出，再令，即可求出； （2）假设且，，赋值，，代入计算得即可证明其单调性； （3）对原不等式化简整理得，再进行等价转化，代入端点值得到不等式组，解出即可. (1) 小问详解： 令代入中， 则； 令，代入中，， 而，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由 又且，故： 又因为函数在上单调递增， 故等价于， 使得成立.即： . 令，则 ， 即：，则. 【点睛】 关键点点睛：本题第三问的关键是原不等式等价转化为使得成立，再代入端点值得到不等式组，利用换元法解出不等式组即可. 51．（25-26学年高一上·海南保亭黎族苗族自治县保亭中学·期中）已知函数． （1）判断函数单调性并证明； （2）求函数的值域； （3）设，，，求函数的最小值． 【答案】（1） 函数在上单调递增； 证明：任取且， ， ， ， ，即， 函数在上单调递增．     （2）     （3） 【分析】 （1）结合已知条件，利用定义法证明函数单调性； （2）利用函数单调性求值域； （3）结合（2）的结论对函数进行换元化简，利用函数的性质分情况讨论求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 函数在上单调递增， ， 的值域为． (3) 小问详解： 令，由（2）可知， ， ，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，函数在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值， 即； 当时，函数在上单调递减，． 综上，函数的最小值 ． 52．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知是定义在上的奇函数． （1）求的值，求证：函数在上是增函数； （2）若不等式成立，求实数的取值范围； （3）函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） 因为是定义在上的奇函数， 所以，解得，， 任取且， 则， 因为，可得且， 所以，即， 所以函数在上是增函数；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用奇函数先求，再利用单调性的定义即可得证； （2）由奇函数得，又由（1）知的单调性，得，利用一元二次不等式解出即可； （3）由得，又恒成立，得恒成立，设，即恒成立，利用均值不等式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为不等式恒成立，为奇函数， 所以恒成立， 由函数在上是增函数，所以， 即， 所以实数的取值范围为； (3) 小问详解： 当时，函数满足， 将代入，则， 不等式恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 设，则，即恒成立， 由均值不等式可得：当时，取最小值， 故，即实数的最大值为. 53．（25-26学年高一上·海南文昌中学）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． （1）已知定义上的函数的图象关于点中心对称，则有，当时，求的值； （2）探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． （3）运用第（2）问的结论，求的值，其中． 【答案】（1），     （2） 若为中心对称函数， 则在定义域内有恒成立． ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有成立，系数必须分别等于零： ，解得： ． 是中心对称图形，且对称中心是．     （3）      【分析】 （1）应用函数对称中心定义结合已知计算求解； （2）应用中心对称定义再应用待定系数法计算求解； （3）由（2）知，，再分组求和计算求值. (1) 小问详解： 由在上的函数的图象关于点中心对称，且， 则，，， ，， ，． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知，；， ． 经检验，时，一致；时，一致，所以． 54．（25-26学年高一上·海南文昌中学）已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数的单调性，分别求得函数和的值域构成的集合，结合题意，得到，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由题意，函数在为单调递减函数，可得， 即函数的值域为集合， 又由函数在区间 上单调递增，可得， 即函数的值域构成集合， 又由， ，使成立，即 , 则满足 ，解得 ， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 55．（25-26学年高一上·海南上学期学业水平诊断）已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则　　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 分离常数，易得关于对称，即可求解 【详解】 .因为是定义在上的奇函数，所以，故关于对称，所以4. 故答案为：4. 56．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是　　　　　　 【答案】 【分析】 根据条件分析函数的性质，结合函数简图分类讨论可解不等式. 【详解】 由题意得，，，函数在上单调递增， 函数的图象大致如下： ∵，∴ 或 ， 当时，或，解得， 当时，或，解得， 综上得，满足的x的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的性质画出简图，根据函数图象分析讨论可解不等式. 57．（25-26学年高一上·海南三亚实验中学·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有且当时，. （1）判断并证明的奇偶性； （2）求证：函数在上是减函数； （3）若，且，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明： 因为的定义域为，且对，，， 令，则，则； 令，则，则，即， 所以函数是奇函数.     （2） 证明：设任意的且，由， 则. 又当时，，所以当时，有， 所以，即， 所以函数在上是减函数.     （3）      【分析】 （1）根据所给关系式，令，即可求出，再令，即可得到与的关系，即可判断； （2）利用定义法证明，结合时，即可证明； （3）求出的值域，从而得到恒成立，设，即可得到 ，解得即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以， 又在上单调递减，所以， 所以恒成立， 等价于：恒成立， 即恒成立， 设，是关于的一次函数， 所以 ，即 ，则 ， 所以. 58．（25-26学年高一上·海南海口第一中学·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并简要说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是“依赖函数”；理由：是“依赖函数”，对于函数的定义域内任意， 若，则， 对任意，都有唯一的的倒数使得等式成立，故是“依赖函数”；     （2）     （3）      【分析】 （1）由进行判断. （2）根据函数的单调性列方程，结合“依赖函数”的知识求得. （3）根据函数的单调性列方程，化简不等式，利用判别式来求得的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，在是严格增函数， 故，即， 由，得，又，所以 ， 解得 ，故. (3) 小问详解： 因，故在上单调递增， 从而，即，进而， 解得或舍， 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立， 故，即， 整理，得对任意的恒成立. 即方程无实根或有两个相等的实根， 所以，解得，即实数的取值范围是 【点睛】 方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $