精品解析：陕西省榆林市横山中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

2025~2026学年度第二学期期末检测高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理;试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的实部为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数，所以的实部为. 2. 下列条件中，可以唯一确定一个平面的是（ ） A. 空间中的任意三个点 B. 空间中的任意两条直线 C. 空间中任意一点和一条直线 D. 空间中相交的两条直线 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据平面的公理3及其推论判断可得. 【详解】根据平面的基本性质逐一判断选项： 选项A：由公理3：经过不共线的三点确定一个平面. 若空间三个点共线，则过这三个点有无数个平面，无法唯一确定平面. 因此经过空间中的任意三个点不一定能唯一确定一个平面，A错误. 选项B：由公理3的推论，经过两条平行直线或者相交直线确定一个平面. 若空间中的两条直线为异面直线，不存在同时包含二者的平面； 若两条直线重合，也有无数个平面过它们，不能唯一确定平面. 因此空间中的任意两条直线不一定能唯一确定一个平面，B错误. 选项C：由公理3的推论，经过直线和直线外一点确定一个平面. 若点在已知直线上，则过这个点和这条直线可以作出无数个平面，无法唯一确定平面. 因此经过空间中任意一点和一条直线不一定能唯一确定一个平面，C错误. 选项D：根据平面的基本公理3的推论，经过两条相交直线有且只有一个平面， 可以唯一确定一个平面，D正确. 3. 一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】袋子内红球的个数约为（个）. 4. 中国古代科举制度始于隋，兴盛于明、清．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试后南卷地区录取人数为165人，则北卷地区录取人数为（ ） A. 140 B. 105 C. 70 D. 30 【答案】B 【解析】 【详解】因为南卷、北卷、中卷的录取比例为11：7：2，且南卷地区录取人数为165人， 所以北卷地区录取人数为（人）. 5. 已知某圆锥的侧面展开图为四分之一圆，则圆锥的高与底面半径的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的高与底面半径分别为,则有圆锥的母线，由题意可得，由此求解即可. 【详解】设圆锥的高与底面半径分别为，则圆锥的母线， 因为圆锥的侧面展开图为四分之一圆，所以，所以， 即，所以，所以， 所以. 6. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算直接求解即可. 【详解】由，可得， 解得. 7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面及面面的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，则或，故A错误； 对于B，当，时，满足，此时不成立，故B错误； 对于C，因为，则或相交或异面，故C错误； 对于D，因为垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 所以当，则，故D正确. 8. 我国自主研制的“JF－22”超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．倘若某次风洞平面流场研究中，科研人员取平面内一组夹角为的单位气流矢量作为基底，发现某位置的合气流矢量可以唯一表示为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到向量垂直，利用向量垂直得到数量积为零，即可求出，然后直接求解向量的模即可. 【详解】由题得，，， 所以， 所以，， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为实数 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用复数的运算法则计算出复数，然后根据复数的性质、共轭复数的定义等 知识逐项计算判断即可. 【详解】因为复数， 所以，A错误； ，是实数，B正确； ，C正确； 由于，实部大于0，虚部小于0，所以在复平面内所对应的点位于第四象限，D正确. 10. 同时抛掷两枚均匀硬币，记事件“出现两个反面”，事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与为互斥事件 D. 为必然事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】先列出个等可能基本事件，再根据古典概型计算事件，概率，再由互斥事件的定义判断C，由必然事件的定义判断D可得. 【详解】同时抛掷两枚均匀硬币， 共有个等可能基本事件：(正₁,正₂)、(正₁,反₂)、(反₁,正₂)、(反₁,反₂)， 选项A：因为事件“出现两个反面”，所以事件仅包含(反₁,反₂)共个基本事件， 故，A正确. 选项B：因为“出现一正一反”，所以事件包含(正₁,反₂)、(反₁,正₂) 共个基本事件， 故​，B正确. 选项C：事件“出现两个反面”满足事件“出现两个相同的面”的要求， 因此发生时也会一定发生，二者存在公共样本点， 不满足互斥事件“不能同时发生、交集为空”的定义， 因此与不是互斥事件，C错误. 选项D：事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”， 抛掷两枚硬币的所有结果都必然属于事件或，不存在其他情况， 因此是必然事件，D正确. 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图，二十四等边体就是一种半正多面体，可由正方体对称切割八个角后得到，其表面由八个正三角形和六个正方形围成，下列关于二十四等边体的说法正确的是（ ） A. 二十四等边体有24条棱 B. 二十四等边体有10个顶点 C. 若某二十四等边体的棱长为，则其表面积为 D. 若某二十四等边体的棱长为，则其体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】本题以阿基米德半正多面体为载体，考查空间几何体的棱、顶点计数，表面积与体积计算，核心思路是抓住 “二十四等边体由正方体切去八个角得到” 这一几何背景，将半正多面体的相关量转化为原正方体的量进行求解，需要结合空间想象能力与割补法处理立体几何问题. 【详解】二十四等边体由正方体截去 8 个相同的小三棱锥得到，表面由 8 个正三角形、6 个正方形组成.根据欧拉公式，面数. 选项 A：该几何体共有 14 个面，8 个正三角形、6 个正方形，所有面的棱总数为，每条棱属于两个面， 故总棱数，A 正确. 选项 B：代入欧拉公式，，顶点数为 12，不是 10，B 错误. 选项 C：表面积由 8 个正三角形与 6 个正方形组成，棱长，单个正方形面积， 单个正三角形面积，总表面积，并非，C 错误. 选项 D：该几何体棱长为，则原正方体棱长为 2，原正方体体积； 切去的每个小三棱锥三条直角棱长均为 1，单个小三棱锥体积，8 个小三棱锥总体积， 二十四等边体体积，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 空间中和两边分别平行，，则的大小是______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用等角定理可得结果. 【详解】因为空间中和两边分别平行，则和相等或互补， 又因为，则或. 13. 如图，两点在河的两岸，为了测量之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出，之间的距离是，则两点之间的距离为______m．（，结果保留整数） 【答案】71 【解析】 【分析】根据正弦定理计算即可. 【详解】解：因为，所以， 又，由正弦定理得， 故. 14. 在如图所示的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数中恰好有两个是偶数的概率为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式和对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为每行和每列均恰有1个方格被选中，用表示第一、二、三行里所选方格的数字， 则每种选法可标记为， 则每种选法可能的结果为，共有6种取法， 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，有2种选法， 所以所选方格中的3个数均为奇数的概率为， 因为不存在3个数全为偶数的情况， 所以所选方格中的3个数中恰好有两个是偶数的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，． （1）若，求； （2）若与的夹角为，求实数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，即可算出，求模即可； （2）因与的夹角为，则，即可算出值. 【小问1详解】 当时，， 则． 【小问2详解】 ， 因为与的夹角为，所以， 代入得，故． 16. 已知在某次飞行员选拔测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，回答下列问题： （1）求恰有1人通过测试的概率； （2）求至少有1人通过测试的概率． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【详解】解：记甲、乙通过测试的事件分别为， 由题意得． （1）恰有1人通过测试的事件为， 所以， 即恰有一人通过测试的概率为． （2）至少有1人通过测试的事件为， 所以， 即至少有一人通过测试的概率为． 17. 已知的内角所对的边分别为． （1）求； （2）设，求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角得到等式，结合角范围及已知条件求出 （2）先由求出，再用余弦定理结合与关系求出，最后根据三角形面积公式求出面积. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 而， 所以，又，所以， 因为，得， 又，所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 由余弦定理， 又，所以，即，且，解得． 所以． 18. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，其中分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的平面角的大小； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】（1）因为分别为的中点，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）． （3）． 【解析】 【详解】（1）略 （2）连接，易知， 因为，所以，即． 因为为中点，所以， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 所以二面角的平面角的大小为． （3）设点到平面的距离为， 因为是底面的垂线，，底面是等腰直角三角形， 所以， 由（2）知，又，所以为等边三角形， 所以， 因为，所以，即， 所以点到平面的距离为． 19. 某校高一年级举行“体育文化节”趣味竞赛活动，竞赛分为初赛和决赛两个环节．现从该校高一年级学生中随机抽取50名，记录他们的初赛成绩，将成绩数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的60百分位数；（结果保留1位小数） （2）在这50名学生成绩的样本中，随机取出样本容量为10的样本，其中男生5名，计算得到男生成绩的样本均值为，方差为；女生成绩的样本均值为，方差为．求这10名学生成绩的标准差； （3）通过初赛，确定2名水平相当的优秀选手进行决赛，决赛采取7局4胜制，胜者获得全部奖金，决赛期间前四局打成时因故终止．有人提出按分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？ 【答案】（1），81.4 （2）8 （3）不合理，理由如下： 设两位选手分别为甲、乙，每场比赛的两人获胜的概率为． 前4局，不妨设甲赢了3局，乙赢了1局． 若甲最终赢了比赛，可能是或或． 当时，甲赢得的概率为； 当时，甲赢得的概率是； 当时，甲赢得的概率是， 打成后，甲获得胜利的概率为，乙获得胜利的概率为． 所以应该按照的比例分配奖金更合理，而不是． 【解析】 【分析】（1）由面积和为求出，利用百分位数的定义计算； （2）利用分层抽样的方差公式计算； （3）前4局，不妨设甲赢了3局，乙赢了1局，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算甲、乙获胜的概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，，解得. 前个矩形面积和为，前个矩形面积和为， 所以60百分位数在区间内，为. 【小问2详解】 由题意得， 所以 ． 所以标准差为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末检测高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理;试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的实部为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 2. 下列条件中，可以唯一确定一个平面的是（ ） A. 空间中的任意三个点 B. 空间中的任意两条直线 C. 空间中任意一点和一条直线 D. 空间中相交的两条直线 3. 一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 4. 中国古代科举制度始于隋，兴盛于明、清．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试后南卷地区录取人数为165人，则北卷地区录取人数为（ ） A. 140 B. 105 C. 70 D. 30 5. 已知某圆锥的侧面展开图为四分之一圆，则圆锥的高与底面半径的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 我国自主研制的“JF－22”超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．倘若某次风洞平面流场研究中，科研人员取平面内一组夹角为的单位气流矢量作为基底，发现某位置的合气流矢量可以唯一表示为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为实数 C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限 10. 同时抛掷两枚均匀硬币，记事件“出现两个反面”，事件“出现一正一反”，事件“出现两个相同的面”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与为互斥事件 D. 为必然事件 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图，二十四等边体就是一种半正多面体，可由正方体对称切割八个角后得到，其表面由八个正三角形和六个正方形围成，下列关于二十四等边体的说法正确的是（ ） A. 二十四等边体有24条棱 B. 二十四等边体有10个顶点 C. 若某二十四等边体的棱长为，则其表面积为 D. 若某二十四等边体的棱长为，则其体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 空间中和两边分别平行，，则的大小是______． 13. 如图，两点在河的两岸，为了测量之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出，之间的距离是，则两点之间的距离为______m．（，结果保留整数） 14. 在如图所示的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数中恰好有两个是偶数的概率为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，． （1）若，求； （2）若与的夹角为，求实数． 16. 已知在某次飞行员选拔测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，回答下列问题： （1）求恰有1人通过测试的概率； （2）求至少有1人通过测试的概率． 17. 已知的内角所对的边分别为． （1）求； （2）设，求的面积． 18. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，其中分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的平面角的大小； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 19. 某校高一年级举行“体育文化节”趣味竞赛活动，竞赛分为初赛和决赛两个环节．现从该校高一年级学生中随机抽取50名，记录他们的初赛成绩，将成绩数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的60百分位数；（结果保留1位小数） （2）在这50名学生成绩的样本中，随机取出样本容量为10的样本，其中男生5名，计算得到男生成绩的样本均值为，方差为；女生成绩的样本均值为，方差为．求这10名学生成绩的标准差； （3）通过初赛，确定2名水平相当的优秀选手进行决赛，决赛采取7局4胜制，胜者获得全部奖金，决赛期间前四局打成时因故终止．有人提出按分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $