陕西西安市第八十九中学2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题

2025～2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．A 3．C 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若有两个正确选项，则选对一个得2分，全部选对得5分；若有3个正确选项，则选对一个得1分，选对两个得3分，全部选对得5分；有选错的得0分． 9．ABC 10．ABD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12． 13．13.5 14． 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（下面答案仅供参考，学生若用其它方法作答，只要解答正确，可参照给分） 15．解：（1）因为，，， 则，所以 ． （5分） （2）若向量与相互垂直， 则 ，即， 解得． 所以实数的值为． （10分） 16．解：（1）因为，所以，即， 又因为，所以． （6分） （2）由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以． 所以的周长为． （12分） 17．解：（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1（频率和为1），组距为10， 所以，所以，解得， 因为：频率，人数， ：频率，人数， ：频率，人数， 三组样本总人数：， 抽样比为：，因此应抽取人数：人． （6分） （2）因为与的频率之比为， 又因为落在的市民的平均成绩是56，方差是5.6，落在的市民的平均成绩为65，方差是8，所以这两组市民成绩的平均数是， 这两组市民整体的方差是． （12分） 18．解：（1）设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为， ， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （4分） （2）设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 所以参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率为． （8分） （3）事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”， 事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得， ， 因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． （13分） 19．解：（1）证明：由题意得平面，因为平面，所以． 又，，，平面，所以平面． （4分） （2）由题意可知，圆锥底面半径为1，高为， 即，，设，则， 由（1）可知平面，因为平面，所以， 又，平面与平面相交于直线，平面，平面， 所以就是二面角的平面角， 在直角三角形中，， 因为，，， 所以， 故二面角的余弦值的取值范围为． （9分） （3）由（1）得，平面，因为，平面，所以，． 又，，平面，，所以平面． 因为，所以，， 在直角三角形中，由，得， 在直角三角形中，由，， 得， 又，所以， 所以． （14分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．连续抛掷一枚只有正反两面的均匀硬币，第100次抛掷时出现正面朝上的概率为 A．1 B． C． D． 2．已知i为虚数单位，复数，则“”是“为纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知事件，满足，，，则 A．0.9 B．0.5 C．0.4 D．0.2 4．现有一组数据2，4，3，5，18，2，则该组数据的第65百分位数是 A．4 B．3 C．5 D．18 5．某班有49名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了7人参加志愿者活动，其中男生3人，则该班女生人数为 A．21 B．24 C．28 D．32 6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列各组四棱锥的表面中，不满足互相垂直的一组是 A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 8．在平面直角坐标系中，若向量满足，，则称向量为“整向量”．模长为5的不同“整向量”共有 A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有 A．复平面内与对应的点在第一象限 B． C． D． 10．下列说法错误的有 A．连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B．已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D．如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 11．如图，在棱长为4的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是 A．存在点，使得平面 B．存在点，使得，，，四点共面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥与三棱锥体积相等 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 13．如图所示是某样本的频率分布直方图，可以据此估计总体的中位数大约为___________． 14．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分） 已知，，与的夹角为45°． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数的值． 16．（本小题满分12分） 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17．（本小题满分12分） 为了调查某市居民对AI的了解情况，随机选取1000名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ （2）若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5.6，考核成绩为的市民的平均成绩为65，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． 18．（本小题满分13分） 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 19．（本小题满分14分） 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值的取值范围； （3）若，求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $