精品解析：陕西西安市第八十九中学2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题

2025～2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 连续抛掷一枚只有正反两面的均匀硬币，第次抛掷时出现正面朝上的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】硬币每次抛掷是相互独立事件，均匀硬币只有正面、反面2种等可能结果， 即单次抛出正面概率恒为，故第次抛掷时出现正面朝上的概率为． 2. 已知为虚数单位，复数，则“”是“为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，结合充分性和必要性的判断，即可求解. 【详解】根据题意，当时，复数，复数为纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，则，解得或，故其必要性不成立. 所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件. 3. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【详解】由且，则. 4. 现有一组数据2，4，3，5，18，2，则该组数据的第65百分位数是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 18 【答案】A 【解析】 【详解】把这组数据按从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，18共6个数据， 由，所以这组数据的第65百分位数是4. 5. 某班有49名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了7人参加志愿者活动，其中男生3人，则该班女生人数为（ ） A. 21 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】通过分层随机抽样的特点，即各层抽取的比例相同，先求出抽取比例，则可求出该班女生人数. 【详解】由题意可知，抽取的女生人数为人，抽取比例为， 则该班女生人数为人. 6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，故B错误； 对于C，因为，由线面平行的性质定理，内有直线，使， 又，，则，又，则，C正确； 对于D，若，，，则或与异面，故D错误. 7. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列各组四棱锥的表面中，不满足互相垂直的一组是（ ） A. 平面与平面 B. 平面与平面 C. 平面与平面 D. 平面与平面 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由题意，平面，因为平面， 所以平面平面，故A错误； 对于B，由题意，平面，因为平面， 所以平面平面，故B错误； 对于C，因为为底面直径，所以， 又因为平面，平面， 所以，又因为，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故C错误； 对于D，在圆柱内，明显平面底面，与平面不垂直，故D正确. 8. 在平面直角坐标系中，若向量满足，，则称向量为“整向量”．模长为5的不同“整向量”共有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 12个 D. 16个 【答案】C 【解析】 【分析】根据“整向量”的概念，利用枚举法即可求解. 【详解】根据题意，向量的模长为5，且，， 则，即， 当时，，对应2个“整向量”； 当时，，对应4个“整向量”； 当时，，对应4个“整向量”； 当时，，对应2个“整向量”； 综上所述，满足模长为5的不同“整向量”共有12个. 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ） A. 复平面内与对应的点在第一象限 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】复数，其共轭复数， 复平面内与对应的点为，在第一象限，A选项正确； ，B选项正确； ，C选项正确； 和均为虚数，不能比较大小，故D选项错误 10. 下列说法错误的有（ ） A. 连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B. 已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C. 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D. 如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】由必然事件，不可能事件，互斥事件，对立事件的定义即可求解. 【详解】必然事件：在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，发生的概率为0； 互斥事件：在一次试验中不能同时发生的两个事件，且满足； 对立事件：在一次试验中，两个事件有且仅有一个发生，且满足且（为样本空间）， 对于A选项，连续投10次骰子，“连续投出10个1”是有可能发生、也有可能不发生的事件， 属于随机事件，并非必然事件，故A的说法错误，符合题干要求； 对于B选项，已知产品的次品率为，则该批产品存在次品，任取99件时“99件全是次品”是概率很小但仍有可能发生的事件， 属于随机事件，并非不可能事件，故B的说法错误，符合题干要求； 对于C选项，因为对立事件要求两个事件不能同时发生，所以对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件仅仅要求不能同时发生，不需要满足“两个事件的并集是整个样本空间”， 因此互斥事件不一定是对立事件，故C的说法正确，不符合题干要求； 对于D选项，两个事件的积事件是不可能事件，仅仅能说明两个事件为互斥事件， 但它们的并集不一定是整个样本空间，因此不一定是对立事件，因此D的说法错误，符合题干要求. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得，，，四点共面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥与三棱锥体积相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：取点为的中点，利用已知及线面平行的判定定理判断；B：延长交直线于点，利用平面的基本性质得到线段平面，结合已知判断；C：应用棱锥的体积公式求解判断；D：问题化为证明平面，连接，取的中点，连结、，利用平行四边形、线面平行的判定和性质判断即可. 【详解】A：当点为的中点时，因为是的中点， 所以是的中位线，故 因为、分别是、的中点，则 所以，且在平面内，而在平面外， 所以平面，故存在中点使得平面，故 A 正确， B：如图，延长交直线于点，易知， 连接，易知直线是平面与上底面的交线， 因为是中点，且，则，而， 所以，且，即为平行四边形， 其中是的中点，且为的对角线，则共线， 综上，直线线段，不在平面上，即线段平面， 因为是上（不含端点）的动点，所以不存在这样的点，故 B 错误， C：底面在侧面上，，且， 底面面积，点到侧面的距离就是棱的长，即， 三棱锥体积，故 C 正确， D：因为三棱锥与有共同的底面， 要证明体积相等，只需证明点与点到平面的距离相等，即证明平面， 连接，取的中点，连结、，则且， 所以四边形为平行四边形，则，， 在矩形中、是中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则，， 综上，，，则四边形为平行四边形， 因此，而在平面上，而在平面外，所以平面 ， 所以和到平面的距离相等，故两体积相等，故 D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理可得，， 则. 13. 如图所示是某样本的频率分布直方图，可以据此估计总体的中位数大约为___________． 【答案】13.5 【解析】 【分析】由中位数的定义，可在频率分布直方图中利用计算特定区间的矩形面积来确定中位数. 【详解】因为样本中属于区间内的数据的频率为， 样本中属于区间内的数据的频率为， 所以样本数据的中位数属于区间， 设中位数为，， 则， 解得：. 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设正四棱台上底面边长为，利用题设条件可求出石球的半径为，然后利用台体和球体的体积公式计算即可得到答案． 【详解】设正四棱台上底面边长为， 则其上底面的面积，下底面的面积，高， 故， 由题知石球与棱台上下底面相切，如图所示正四棱台，沿斜高作出如下截面， 则，故球的半径， 所以， 因此． 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式求出两向量的数量积，展开求出并开方求出模； （2）利用向量垂直构造关于的方程，解方程求出． 【小问1详解】 因为，，， 则，所以 ． 【小问2详解】 若向量与相互垂直， 则 ，即， 解得， 所以实数的值为． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【详解】解：（1）因为，所以，即， 又因为，所以． （2）由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以． 所以的周长为． 17. 为了调查某市居民对AI的了解情况，随机选取1000名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ （2）若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5.6，考核成绩为的市民的平均成绩为65，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． 【答案】（1）6人 （2）平均数是62，方差是25.2 【解析】 【分析】（1）先利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1的性质建立方程，求出的值，再分别计算出，，三组的总人数，以及组的人数，根据分层抽样的抽样比例即可计算该组应抽取的人数； （2）先根据频率分布直方图求出和两组的人数，用加权平均法计算两组成绩的总平均数，再结合分层方差的计算公式即可计算总方差． 【小问1详解】 因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1（频率和为1），组距为10， 所以，即，解得， 因为：频率，人数， ：频率，人数， ：频率，人数， 三组样本总人数：， 抽样比为：，因此应抽取人数：人． 【小问2详解】 因为与的频率之比为， 又因为落在的市民的平均成绩是56，方差是5.6，落在的市民的平均成绩为65，方差是8，所以这两组市民成绩的平均数是， 这两组市民整体的方差是． 18. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 【答案】（1）设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子，样本空间； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）列出全部样本空间与事件包含的基本事件，统计基本事件个数，直接套用古典概型公式计算取出两个风味不同粽子的概率； （2）顾客带走个粽子等价于第一问事件、事件同时发生，利用相互独立事件的概率乘法公式求出联合概率； （3）恰有一人带走个粽子拆解为 “甲成乙败、甲败乙成” 两个互斥事件之和，结合、相互独立，分别计算两部分概率再相加得到结果. 【小问1详解】 设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为， ， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． 【小问2详解】 设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则， 事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 所以参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率为． 【小问3详解】 事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”， 事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得， ， 因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． 19. 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值的取值范围； （3）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：由题意得平面，因为平面，所以． 又，，，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【详解】解：（1）略 （2）由题意可知，圆锥底面半径为1，高为， 即，，设，则， 由（1）可知平面，因为平面，所以， 又，平面与平面相交于直线，平面，平面， 所以就是二面角的平面角， 在直角三角形中，， 因为，，， 所以， 故二面角的余弦值的取值范围为． （3）由（1）得，平面，因为，平面，所以，． 又，，平面，，所以平面． 因为，所以，， 在直角三角形中，由，得， 在直角三角形中，由，， 得， 又，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 连续抛掷一枚只有正反两面的均匀硬币，第次抛掷时出现正面朝上的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则“”是“为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.2 4. 现有一组数据2，4，3，5，18，2，则该组数据的第65百分位数是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 18 5. 某班有49名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了7人参加志愿者活动，其中男生3人，则该班女生人数为（ ） A. 21 B. 24 C. 28 D. 32 6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列各组四棱锥的表面中，不满足互相垂直的一组是（ ） A. 平面与平面 B. 平面与平面 C. 平面与平面 D. 平面与平面 8. 在平面直角坐标系中，若向量满足，，则称向量为“整向量”．模长为5的不同“整向量”共有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 12个 D. 16个 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ） A. 复平面内与对应的点在第一象限 B. C. D. 10. 下列说法错误的有（ ） A. 连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B. 已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C. 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D. 如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得，，，四点共面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥与三棱锥体积相等 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 13. 如图所示是某样本的频率分布直方图，可以据此估计总体的中位数大约为___________． 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数的值． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 为了调查某市居民对AI的了解情况，随机选取1000名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ （2）若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5.6，考核成绩为的市民的平均成绩为65，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． 18. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 19. 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值的取值范围； （3）若，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $