江西吉安市四所省重点中学2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试卷

吉安市四所省重点中学2025-2026学年上学期 高二第一次联考数学试卷 学校: 姓名: 班级: 考号: 一、单选题:每小题5分,共40分 1.直线3x-√3y-1=0的倾斜角为( A.30 B.60 C.45 D.120 2.直线xcos6+y-1=0(8eR)倾斜角的范围是() A.[0,) 3 4’4 「 C.4'4 D. 3.若直线2x+w-1=0与x+4y-2=0的交点在第二象限,则实数a的取值范围是() A.(-0,2) B.(-0,8) C.(-0,2] D.(2,8) 4.已知直线{+分+1=0与5:(a+1++2=0,则a=-2是4的〈) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知直线4:x-ay-1=0与2:2x+y=5平行,则两直线间的距离为() A.√5 B.3√5 C D.35 5 6.已知两点A(-2,1),B(4,2),直线1:x+y-a+1=0与线段AB相交,则直线1的斜率的取值范围是() am-[居- c.t D. 7.若直线+二=1(a>0.b>0)过点L,1),则a+b+边的最小值为(0 a b 2 A.7 C.6 D.45 8.过定点A的直线y+x-2=0与过定点B的直线x-y-2+4=0交于点P(P与A、B不重合),则 PAB面积的最大值为() A.√2 B.2√2 C.1 D.2 二、多选题:每小题6分,共18分;每小题全选对得6分,部分选对得部分分,有错选得0分 9.下列结论正确的有() A.倾斜角为30 的直线1的一个方向向量是a=(W5,1 B.直线(m+1)x+y-1=0恒过定点(0,-1) C.不论m为何实数,直线:x+y-3=0与直线2:x-y+2=0互相垂直 试卷第1页(共3页) D.在x,y轴上的截距为a,b的直线可表示为+=1 a b 10.己知直线1:y=3x+3,下列说法正确的是:() A.点P(4,5)关于1的对称点的坐标是(-2,7): B.直线y=x-2关于1的对称直线的方程是7x+y+22=0: C.直线1关于点A(3,2)的对称直线的方程是3x-y-17=0: D.过点P(4,5),垂直于直线1的直线的方程是x+3y-17=0 11.设m∈R,过定点A的动直线x+y=0和过定点B的动直线x-y-+3=0交于点P(x,y),则() A.AB=10 B.PAPB的最大值是5 C.PA+PB的取值范围是[10,2√5] D.|PA+2PB的最大值是5√2 三、填空题:每小题5分,共15分 12.直线1过点(2,1),且原点到直线1距离为2,则直线1的方程为一: 13.已知a>0,b>0,直线ax+2y-3=0和x+(亿-1)y+2=0垂直,则上+2的最小值为 a b 14.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线称为“欧拉线”. 已知 ABC的顶点A(2,0)、B(0,4),其“欧拉线”的直线方程为x-y+2=0,则 ABC的顶点C的坐标 四、解答题:共77分;第15题13分,第16、17题各15分,第18、19题各17分 15. ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3),求 (1)边AB上的中线所在直线的方程: (2)边BC上的高所在直线的方程: (3)边AC上的垂直平分线所在直线的方程: 16.已知三条直线1:ax+2y-3=0,12:2x-y-5=0,3:4x+3y-5=0」 (1)若,12,3交于一点,求实数4的值: (2)若,12,可以围成一个三角形,求实数a的取值范围. 17.已知三条直线4:2x-y+a=0(a>0),4:-2少-1-0,g:x+y-1=0,且4与4间的距离是75 10 (1)求a的值; 试卷第2页(共3页) (2)求过直线4与3的交点,且垂直于4的直线方程: (3)求与4平行且到4,2距离相等的直线1的方程 18.己知直线:(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求证:直线l过定点: (2)若P(2,1)到直线l的距离最大,求a的值: (3)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求1的方程. 19.已知光线经过已知直线1:3x-y+7=0和:2x+y+3=0的交点M,且射到x轴上一点N,0)后被x 轴反射. (1)求点M关于x轴的对称点P的坐标: (2)求反射光线所在的直线3的方程. (3)求与l3距离为√10的直线方程. 试卷第3页(共3页) 高二第一次联考数学试卷答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ⊙ 0 D D D C D AC ABC 题号 11 答案 BCD 1.B 【分析】将直线的一般方程转化为斜截式方程,求得其斜率,进而得到其倾斜角 【详解】由3x-v-1=0,得y=V5x- 3 设直线3.x-√3y-1=0的倾斜角为a,则tanw=√3 因为0 ≤a<180 ,所以=60 故选:B. 2.D 【详解】由xcos6+y-1=0的斜率为-cos0,其范围是[-1,1], 斜角为a,则-l飞tama≤L,解得E-+k杌十标L 4 4 因为倾斜角的范围是[0, ),所以&∈ 3.D 【分析】由两直线相交,求得交点坐标,再根据交点所在位置,得不等式组,求解即可. 4-2a x= 【详解】由题意得a≠8,解方程组{ 2x+y-1=0 8-a +4y-2=0’得 =8-a 因为直线2x+y-1=0与x+4y-2=0的交点在第二象限, (4-20<0 8-a 所以 解得2<a<8, 3 >0 8-a 即实数a的取值范围是(2,8). 4.C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若1,则1 1-Cx(a+1)=0,解得a=-2或a=1, 当a=1时,:x+2+1=0,:2x+y+2=0,两直线重合,不符: 当a=-2时,4:x-y+1=0,:-x+y+2=0,符合题意; 答案第1页(共11页) 所以a=-2,即“a=-2”是“/12”的充要条件 5.D 【分析】根据两直线平行,可得 值,代入两平行线间距离公式,即可得答案. 【详解】因为直线4:x-ay-1=0与2:2x+y-5=0平行, 21 写解得a=分侧直线为+号-1=0,印2+-2-0, 则两直线间的距离d=5-((2到_3_35 √22+1255 6.D 【分析】根据直线方程可得直线l经过定点PQ,-1),根据直线1:ax+y-a+1=0与线段AB相交,结合图形 则可得直线1的斜率取值范围. x-1=0 【详解】直线:ax+y-a+1=0,即a(x-1)+y+1=0,令 y+1=0'可得直线1经过定点P0,-), 阅专年1. -1-12 直线1:ax+y-a+1=0与线段AB相交, 3 2 B -3-2-10 234x -2 由图可得,则直线1的斜率取值范围是 故选:D 7.C 【详解)直线+=1过点Q,),代入得上+=1,即a+b=b,且a>0,b>0, a b a b 由此解得ba(>1),代入日标函数并化简得 2-a+a43 a+b+3 a a-1a-1 7a4a3 a-1 a+1+m-1(a-+4 -+2, a-1 因为a>1,所以a-1>0, 所以由基本不等式, 答案第2页(共11页) 得a22a02426 当且仅当a-1=4即a=3时取等, a-1 3b 故a+b+”的最小值为6. 8.D 【分析】由己知方程求得点A,点B的坐标,求得直线AB的方程:用m表示出点P的坐标,利用点到直 线的距离公式求得点P到直线AB的距离,并求得其取值范围,从而得到 PAB面积的最大值或根据方程 得两直线垂直,从而得到APAB面积为S=】xP4PB,根据不等式得到其最大值, 【详解】由y+x-2=0,得A(0,2); 由x-w-2+4=0,得B(2,4) 所以直线AB的斜率为太=42-1,所以直线AB的方程为y=x+2,即x-y+2=0. 2-0 f.2-2m [y+x-2=0 x= m+1 由 x-mw-2+4L=0' 得 y= 4nr-2m+2'且m≠1. 2+1 所以P 2-242-2+2 、m2+1’ 所以点P到直线AB的距离为 m2+1 2-2m4m2-2m+2 +2 d=m2+1 m2+1 √2 m2+1 2 因为m2+1≥1,且m2+1≠2,所以0< m十L,所以12m和 m2+1 即0<1-2 m2+1 s1且1-2 ≠0 2+1 所以A阳西套为8-612,当且议当m-0时,等号成立 2 所以当=0时, PAB面积取得最大值,最大值为2. 故选:D, 方法二:由y+x-2=0,得A(0,2): 由x-w-2+4L=0,得B(2,4).所以AB=22 易知直线y+x-2=0与直线x-y-2+4=0垂直. 所以PA+PB=AB=8. 答案第3页(共11页) 所以aPAB面积为S=)xP4 PBls+PB-2 2 所以PA=PB=2时, PAB面积取得最大值,最大值为2. 故选:D 9.AC 【分析】对于A,根据直线方向向量的概念求解即可;对于B,根据直线定点的求解方式求出直线定点即 可:对于C,根据直线位置的判定判断即可:对于D,根据截距式+’=1不能表示截距为0的直线判断 a b 即可. 【详解】对于A,直线1的倾斜角为30 ,斜率为 3 ,一个方向向量是 =(5,1,A正确: 对于B,直线(m+1)x+y-1=0,即x+x+y-1=0,恒过定点(0,1),B错误; 对于C,当m=0时,显然1h,当m≠0时,灰灰,=-m-1,所以41h,C正确: l 对于D,截距式+=1不能表示截距为0的直线,D错误. a b 10.ABC 【分析】A:利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标;B:先求出两条 直线交点,再在已知直线上任取一点算出其对称点,通过两点求出对称直线方程;C:直线关于定点对称 后斜率不变,求出原直线上一点的对称点,代入斜截式得到对应直线方程;D:根据垂直直线斜率关系写 出垂线点斜式,代入己知点验证, 【详解】A:设点P关于直线l的对称点为P(x,y,则线段PP的中点在直线l上,且直线PP垂直于直 线1, +5=3x+4+ +3 即2 2 x'=-2 y'-5 ,解得 3=-1 y=7 Ix-4 所以点P'的坐标为(-2,7),A正确. 5 y=3x+3 x= B:解方程组 得 2 59 在所求直线上. y=x-2 9 y2 则点22) 在直线y=x-2上任取一点M(2,O),设点M关于直线l的对称点为M'(,), 答案第4页(共11页) 西=3 +2+3 17 2 2 X0=一 则 ,解得 5 ,则点M (179) 也在所求直线上, 6x3=-1 9 55 -2 y%5 v+ x+ 2 由两点式得直线方程为9,9=175, 化简得7x+y+22=0,故所求直线的方程,B正确 5+2-5+2 C:在直线1上取两点E(0,3)、F(-1,0), 则E、F关于点A(3,2)的对称点分别为E'(6,1)、F(7,4) 因为点E、F在所求直线上,所以由两点式得所求直线方程为)-1=-6 4-17-6 即C正确 D:直线1斜率为3.故垂直于1的直线斜率为-3,过点P4,)的垂线正确方程为y-5= 1 3r-9. 整理得x+3y-19=0,故过点P(4,5)垂直于直线1的直线的方程是x+3y-17=0,故D错误. 11.BCD 【分析】根据直线方程确定定点坐标,再根据直线垂直的判定可得两直线相互垂直,结合勾股定理、基本 不等式有PA+PB=AB≥2PAPB,注意等号成立条件,即可求最大值,利用柯西不等式求解,确定 选项 【详解】设m∈R,过定点A的动直线x+y=0和过定点B的动直线x-y-+3=O交于点P(x,y), 则A(0,0),B(1,3), 所以PAL PB,点P在以AB为直径的圆上,所以|PA+PB=AB=10, 则AB=10,故A错误; 由10=PA+PB=AB≥2PAPB,所以PAPB≤5,故B正确: 由10=4+PaA时≥P4+PB,即24+1P9s25,当且仅当PM-P8=V5取等号. 由三角不等式,PA+PB≥AB=V10, 故P4+PB的取值范围是[0,25],故C正确: 由(d+b)(c2+d)-(ac+bd)2=(ad-bc)}2≥0,(d+b)(c2+d)≥(ac+bd)3, 则(PA+2PB)≤(PA+PB)1+4)=50,所以PA+2PBs5V巨,故D正确 答案第5页(共11页) mx-y-m+3=0 x-my=0 04 故选:BCD 12.x=2或3x+4y-10=0 【分析】当斜率不存在时,即x=2,符合题意;当斜率存在时,设出直线x-y-2k+1=0,由点线距离 公式列式解出k即可 【详解】当斜率不存在时,即x=2,符合题意; 当斜率存在时,设为y-1=k(x-2),即-y-2k+1=0,则有 -2k+=2,解得k=-,放直线为 Vk2+1 3x+4y-10=0 故答案为:x=2或3x+4y-10=0 a345 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出4,b的关系,再利用基本不等式“1'的妙用求出最小值, 【详解】由直线ax+2y-3=0和x+(b-1)y+2=0垂直,得a+2(b-1)=0, 11,21 即a+2b=2,而a>0,b>0,则二+ 子a片-兰吕 一十 写6+3会-号当且议当a=0子对汉等5, 所以2+名的最小值为号 9 a b 14.(-4,0) 【分析】设点C(m,n),由重心的坐标公式可得出m-n+4=0,求得线段AB的中垂线方程,与欧拉线方 程联立可得出 ABC的外心坐标,利用外心的性质可得出V(m+1)'+(-1)=-V(2+1)'+1P,求出m、n的 值,即可得解 【详解】设C(,n),由重心坐标公式得 ABC的重心为 2+m4+n 3,3 代入欧拉线方得2+m_4+”+2=0,整理得m-+4=0①, 33 因为线度4B的钟点为2).ka有9-2,所以48的中重线的斜率为宁, 答案第6页(共11页) 所以线段45的中垂线方程为y-2=-)小,即-2y+3=0. 联立 x-2y+3=0 x=-1 x-y+2=0,解得 y=1, 所以, ABC的外心坐标为(-1,1),则V(m+1)+(-1=V(2+1)2+1②, =-4 2=0 联立①②解得 或 n=0 n=41 当m=0,n=4时,点B、C两点重合,舍去. 所以,m=-4,n=0,即 ABC的顶点C的坐标为(-4,0) 故答案为:(-4,0) 15.(1)x-10y+30=0 (2)3x+2y-12=0 (3)8.x-6y-7=0 【分析】(1)先求出AB的中点坐标,再结合直线的两点式方程,即可求解. (2)根据己知条件,结合直线垂直的性质,以及直线的点斜式方程,即可求解 (3)根据已知条件,结合垂直的性质,先求出垂直平分线的斜率,结合AC的中点,列点斜式方程,即可 求解 7 【详解】(1)由已知,得AB的中点E的坐标为 5 又因为AB上的中线过C(0,3), 7 2=-5 所以直线C8的方程为,号0-5,即x-10v+30=0, 3- (2) BC边所在直线的斜率k=7-3_2 6-03 因为BC边上的高与BC垂直,所以BC边上的高所在直线的斜率为3 又BC边上的高经过点A(4,O),所以BC边上的高所在的直线方程为y=-一(x-4), 2 即3x+2y-12=0 (3)由已知,得直线4C的斜率为k=04子,AC的中点F的坐标为2号), 34 所以边4C上的垂直平分线所在直线斜率为,所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为y一23x-2,一 即8x-6y-7=0. 答案第7页(共11页) 16.(1)a=3 ou(4引8+】 【分析】(1)先求出2,3的交点,再应用交点在上,列式计算求参 (2)先求出,,不可以围成一个三角形时的参数取值,进而得出,1,3可以围成一个三角形时参 数范围。 2x-y-5=0,解得 =2, 【详解】(1)联立2与的方程,得 4x+3y-5=0, y=-1, 即l与3的交点坐标为(2,1), 由题意知点(2,-1)在4上,所以2a-2-3=0, a:月 5 (2)由(1)知a≠ 当长,时,号2,所以a4 当-时,号子所以a多 当4,人,马三条直线可以围成三角形,则a≠4且a≠且a+ 8 故a的取值范国为-,)(4引[》(管+) 17.(1)a=3 (2)3x+6y-8=0 (3)8.x-4y+5=0 【分析】(1)将马方程化为2xy20,利用两平行线距离公式列式求解即可 (2)先联立方程求得直线与l3的交点,然后利用垂直关系设所求直线方程为x+2y+m=0,将点的坐标 代入计算即可; 可设所求直线方程为2x=y+n=0,利用平行线距离列式求得片 【详解】(1)因为l,:2x-y- =0,4:2x-y+a=0(a>0), 2 1 a+- 所以,与l,间的距离为d a-2 2 7W5 V22+(-1)》 5 10 答案第8页(共11页) 即0+引子 因为a>0,质以a+分子解得a= = 2x-y+3=0 (2)由直线(与3的方程联立方程组 (x+少-1=0,解 3 1y-3 25 即两直线的交点坐标为P 33)1 设断术直线方程为2ym0,代入P气到得2 x写+m=0 解得州一昌 故所求的直线方程为x+2y-8=0,即3x+6y-8=0 3 (3)直线:2x-y+3=0,2:4x-2y-1=0, 由题可设所求直线1方程为2x-y+=0,则有n-3乳 V22+(-12V22+(1 所h斗所以a=n解= 4 5 故所求的直线方程为2-y+40,即8c-4y+5=0. 18.(1)证明:由直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1整理可得: w-2-y+3x-1=0,即a(y-2x)+(-y+3x-1)=0, y-2.x=0 x=1 则由 y+3x-1=0'即 y=2' 故直线1过定点2(1,2): (2)a=2 (3)2x+y-4=0 【分析】(1)要证明直线过定点,将直线方程转化,通过提出参数,令参数所乘的式子为0建立等式,求 出定点坐标: (2)直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离,当直线外的点与直线上定点的连线垂 直于直线时,可求最大距离; (3)根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式,利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数 的值,从而得到直线方程. 【详解】(1)略 答案第9页(共11页) (2)当动直线1满足定点Q(1,2)与直线外点P(2,1)的连线垂直于1时, P(2,1)到直线1的距离最大, 2-1 因为e=合21,则k=1: 因为1:(a-1)y=(2a-3)x+1,故k=2-3-1,解得a=2: a-1 (3)由1:(a-1)y=(2a-3)x+1可得: 当y=0时,x= 2a3:当x=0时,y= 1 a-1; 因为直线与坐标轴交于正半轴,故 120 2a-3 解得1<a<2 3 1 >0 a-1 时角形积为动。 2(2ad-5a+3) 要使面积取最小值,只需取y=2a2-5a+3的最小值即可; (51可知, 由y=2m2-5a+3=2a- -48 1 1 当a-时,y=2证-5a+3取最小值-日此时面积取最小值 S=1 2(2a2-5a+3) 2 1 8 比时直线方程为行少(2子小+1,即2x+4=0 191(2:2)=8)号或3 111 1 3 【解析】(1)解方程组求得M的坐标,然后得出其关于x轴的对称点的坐标; (2)解法一:根据反射原理,确定直线MN和直线l,的倾斜角的关系,进而利用斜率公式求得直线MN的 斜率,得到直线的斜率,进而用点斜式写出方程:解法二:反射光线所在的直线的方程就是直线PN 的方程,利用两点式可求: (3)利用直线平行的条件设出所求直线的方程,利用平行直线间的距离公式求出所求直线的方程. 「3x-y+7=0「x=-2 【详解】解:(1)由 2x++3=0得{y=1,M(-2,0. 得 所以点M关于x轴的对称点P的坐标(-2,1). (2)解法一: 答案第10页(共11页) 因为入射角等于反射角, 直线MN的倾斜角为a,则直线l的斜角180 -a. 0-1-1 公13)号所以直线名的斜华5专 1 故反射光线所在的直线马的方程为:y=(x-). 即y 解法二: 因为入射角等于反射角 所以反射光线所在的直线马的方程就是直线PN的方程. 直线PW的方程为:,0-1 -1-0-2-1 整理得:y=-1 3-3 故反射光线所在的直线马的方程为y=x-} 3x- 3 (3)设与马平行的直线为=亏x+b, 1 b+ 根据两平行线之间的距离公式得: =10, 1 ￥9 解得b=3,或b= 3 所以与距离为√10的直线方程为: 1 3 【点睛】本题关键是光线反射原理:入射角等于反射角,从而得到入射线与反射线所在直线的倾斜角的关 系,求到给定直线距离为定值的直线的方程,关键是根据直线平行的条件设出所求直线的方程,熟练掌握 平行直线的距离公式是解题的关键 答案第11页(共11页)